广东省惠州市第一中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题含解析

广东省惠州市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

，集合，则.故选B.

2.函数则f(f(-2018))= （   ）．

A. 1 B. -1 C. 2018 D. -2018

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得：，代入即可求解

【详解】由题意可得：

故选

【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础题。

3.下列运算中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据整数幂的运算规则分别检验即可.

【详解】，故A错.，故B错.当时，无意义，故C错.，故选D.

【点睛】本题考察指数幂的运算规则，属于基础题.

4.已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.

【详解】若f（x）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，

则满足

即 ，整理得.故选：B

【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.

5.已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先导出再由函数是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．

【详解】

由函数是增函数知，a＞1．

故选B．

【点睛】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视．

6.若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是                                                （　  ）

A. ＞＞ B. ＞＞

C. ＞＞ D. ＞＞

【答案】B

【解析】

【分析】

把,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．

【详解】由题意可得，,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，
结合图象可知当a＞b＞c＞0时，>>．
故选：B．

【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．

7.已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据偶函数定义求得t，再根据偶函数性质以及单调性化简不等式，最后解一元二次不等式组得结果.

【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以

因为函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，

所以等价于，

即,，选C.

【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

8.若实数满足,则关于的函数的图象大致是( ).

【答案】B

【解析】

分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．

详解：∵，

∴f（x）=（）|x﹣1|

其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，

又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，

对照选项，只有B正确．

故选：B．

点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.

9.根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

，  函数在区间上的零点为区间上的任何一个值，

故选D．

10.某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足. 某供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量(度)与相应电费 (元) 之间的函数关系如图所示.当月用电量为300度时,应交电费

A. 130元 B. 140元 C. 150元 D. 160元

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图象确定函数解析式，再计算用电量为300度时应交电费.

【详解】当时，，

所以当时，，选D.

【点睛】本题考查函数解析式，考查待定系数法以及基本求解能力.

11.如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图像的形状大致是下图中的（ ）．

【答案】A

【解析】

【分析】

随着点位置的不同，讨论三种情形，得到函数的解析式，画出图象，即可得到答案.

【详解】由点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数，

可得，画出分段函数的图象，

如图所示，

，故选A.

【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与分段函数的图象问题，其中解答中正确理解题意，得出分段函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

12.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为

则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数可知关于x=-1对称，所以，且，

令，则有，所以，再由图可知，可求解.

【详解】根据题中所给函数解析式，画出函数的图像，

可知要使函数有四个不同的零点，则有，

并且有，且，可得x1＝﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，

﹣2x2﹣x22＝﹣（x2+1）2+1，在﹣1＜x2≤0递减，可得的范围为[0，1）．

令，则有，

从而有，所以有，

所以，故选A.

【点睛】本题利用数形结合思想综合考查分段函数零点问题与函数对称问题，考查了二次函数韦达定理的应用，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.集合，若，则____．

【答案】0.

【解析】

【分析】

由AB＝B得集合A与B之间的关系，得的值，解出x

【详解】因为AB＝B，所以，又因为，所以，

【点睛】本题考查由集合间的关系反映出集合的元素之间的关系，属于基础题

14.已知幂函数的图象经过点，则的值为___________

【答案】2

【解析】

【分析】

设幂函数 ，由幂函数f（x）过点，列出关于的方程，求解即可得到f（x）的解析式，再将x=4代入，即可求得答案．

【详解】设幂函数，
∵幂函数f（x）的图象经过点(，
∴ ，∴ ，
故 ．
即答案为2．

【点睛】题考查幂函数的定义．属于基础题．

15.已知是定义在上偶函数，且当时，，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是           ．

【答案】

【解析】

试题分析：当时，在上单调递增，由得，又是定义在上的偶函数，，则，两边平方得 对任意实数都有恒成立，对任意实数都有恒成立，则，则实数的取值范围是．

考点：恒成立问题

【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当时的解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数的性质，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．

16.已知函数若存在实数满足

，则的取值范围是          ．

【答案】（16，24）

【解析】

【分析】

画出函数的图象，结合图象可得，又由题意可得，故可将转化为关于的二次函数，最后根据求二次函数最值的方法求解可得结果．

【详解】画出函数的图象，如下图所示，

由图象可得，，

则，，

，

，

，

令，即，解得或，

而二次函数的图象的对称轴为直线，

由图象知，，

点和点均在二次函数的图象上，

故有，

，

  ，

，

，

即．

∴的取值范围是．

【点睛】本题考查函数图象的画法及函数图象的应用，解题的关键有两个，一是根据图象得到的取值范围，而是将所求转化为关于的二次函数的问题处理．体现了数形结合和转化思想在解题中的应用，考考查了分析解决问题的能力．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.化简求值：

（1）

（2）．

【答案】（1）； （2）0.

【解析】

【分析】

（1）利用指数运算的法则进行计算可得答案；

（2）利用对数运算的法则进行计算可得答案；

【详解】解：（1）原式．

（2）原式．

【点睛】本题主要考察有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质，熟练掌握指数运算和对数运算的性质是解答本题的关键.

18.已知集合，

（1）已知，求

（2）若,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）。

【解析】

分析：（1）先求和Q，再求．（2）对a分类讨论，再根据子集的概念得到a的不等式，解不等式即得a的取值范围.

详解：（）当时，，或，

∵，

∴，

∴．

（）∵，

∴，

当时，即时，成立，

当时，，

∵，

则，

∴，

综上取值范围是．

点睛：（1）本题主要考查集合的交、并、补运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题是一道易错题，第2问容易漏掉，即漏掉集合

的情况.解答集合运算时，不要漏掉了空集的情况.

19.（1）函数的图象是由的图象如何变化得到的？

（2）在下边的坐标系中作出的图象．

（3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，设，请判断的符号．

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由函数平移的性质易得答案；

（2）利用函数的图像变换可得的图象；

（3）由已知条件可得，可得M的取值.

【详解】解：（1）函数的图象是由的图象向右平移1个单位得到的．

（2）在下边的坐标系中作出的图象，如图所示；

（3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，

∴．

【点睛】本题主要考察指数函数与对数函数的图像与性质，及函数图像的变换与作图，属于中档题型.

20.设函数．

（1）求证：不论为何实数总为增函数；

（2）确定的值，使为奇函数；

（3）在（2）条件下求的值域．

【答案】(1) 见解析； (2)

（3）奇函数时，其值域为

【解析】

（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；

（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x）恒成立，从而求得a值即可．

（3）由（2）知，利用指数函数y=2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．

(1)的定义域为R, 设，且,

则=,

,,

即,所以不论为何实数总为增函数．……………………5分

(2)为奇函数,,即,

整理得，

则，解得:

……………………10分

（4）由(2)知,

,,

故当为奇函数时，其值域为……………………14分

另解：由(2)知.

由，得，

当时，得，矛盾，所以；

故有.

当时，，所以，解得.

故当为奇函数时，其值域为………………14分

21.某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本万元，生产与销售均已百台计数，且每生产台，还需增加可变成本万元，若市场对该产品的年需求量为台，每生产百台的实际销售收入近似满足函数．

（）试写出第一年的销售利润（万元）关于年产量（单位：百台，，）的函数关系式：（说明：销售利润=实际销售收入-成本）

（）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过台，若第一年的年支出费用（万元）与年产量（百台）的关系满足，问年产量为多少百台时，工厂所得纯利润最大？

【答案】（1） .

(2).

【解析】

分析：（1）根据销售利润=实际销售收入-成本写出第一年的销售利润（万元）关于年产量的函数关系式.(2)利用二次函数的图像和性质求工厂所得纯利润最大值.

详解：（）由题意可得，，

即，．

（）设工厂所得纯利润为，则

．

∴当时，函数取得最大值．

当年产量为百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为万元．

点睛：（1）本题主要考查函数的应用，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2)二次函数是初中和高中一种比较重要的函数，对于它的图像和性质要理解掌握并灵活运用.

22.已知函数（，），在区间上有最大值4，最小值1，设．

（1）求常数的值；

（2）方程有三个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）对开口方向进行讨论，利用所给的在区间上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（2）可直接对方程进行化简、换元法令，结合函数图象可得有两个根，且 或，以及一元二次方程根的分布及树形结合思想即可获得问题的解答.

试题解析：（1），当时，在上为增函数，故；

当时，在上为减函数，故，∵，∴，

（2）方程化为，

，，令，则方程化为（），∵方程有三个不同的实数解，∴由的图象

知有两个根，且 或，，记，则或，∴