河南省新乡市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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新乡市高一上学期期中考试数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知集合，则

A. {-1,2}    B. {-2,-1,0,1,2}    C. {1,-2}    D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对集合B中的等式求解，可以求出集合

【详解】因为，求出集合，所以，答案选A

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2.已知函数，则在[0，2］上的最小值为

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数的对称轴，判断所属区间在对称轴的右边，可求出的最小值为，代入求解即可.

【详解】，图象的对称轴方程为，故在上的最小值为.答案选B.

【点睛】本题考查二次函数的图像性质，使用数形结合的方法即可求解.

3.函数的定义域是

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求的定义域，只要注意分母不为0，偶次方根大于等于0，然后解不等式组即可.

【详解】因为，所以，解得或，答案选C.

【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题.

4.已知函数满足，则

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

把化简为，然后直接代入即可.

【详解】因为，所以，将x=1代入上式，则.答案选B.

【点睛】本题考查函数的求值问题，先化简等式再代入即可，属于简单题.

5.下列函数为奇函数，且在定义域上是减函数的是

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

奇函数必须满足以下两条件：（1）定义域关于原点对称；（2）；

A.设，定义域为，，奇函数，然后

用定义法判断该函数的单调性，该函数在定义域上为增函数，不符题意

B.设，定义域为，，偶函数，不

符题意

C. 设，明显为偶函数，不符题意.

D.设，定义域为，因为，所以，，奇函数，然后，用定义法判断该函数的单调性，该函数在定义域上为减函数，故选D.

【详解】因为，所以为奇函数，且在定义域上是减函数.答案选D.

【点睛】本题考查函数的定义域的求解，以及奇偶性与单调性的判断，属于中等题.

6.已知，则a，b，c的大小关系是

A. c<b<a    B. a<b<c    C. c<a<b    D. b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】

利用指数函数与对数函数的单调性，对a,b,c进行放缩比较大小即可.

【详解】因为 ，所以c＜a＜b.答案选C.

【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性问题，难点在于如何利用函数的单调性质进行放缩，进而比较大小，属于基础题.

7.设集合，则＝

A. (0,1)    B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性可以求出集合A，利用对数函数的单调性可以求出集合B，然后，利用A与B的补集关系可以求出答案.

【详解】由题意得，，则 ，答案选B

【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性问题，难点在于利用函数单调性的性质进行求解，属于基础题.

8.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为

A.     B.     C. (0,1)    D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为为R上单调递增函数，所以也为增函数，所以有，同时，为保证为R上单调递增函数，则要有，综上，可得，求解即可.

【详解】由题意得，解得.答案选D.

【点睛】本题考查分段函数的单调性问题，难点在于分段点处的值的处理，使用数形结合法会比较容易处理该类题目，属于中等题

9.若函数在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为

A. (0,2)    B. (0.1)    C. (1,2)    D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线的对称轴x=1，由数形结合可知，只要满足，即可满足函数在（0，2）上有两个零点，求解即可得到a的取值范围.

【详解】因为抛物线的对称轴为x=1，所以，解不等式得a的取值范围为（0，1），答案选B.

【点睛】本题考查二次函数的图像性质，难点在于判断对称轴与区间之间的关系，属于中等题.

10.奇函数是R上的增函数，且，则不等式的解集为

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由为奇函数，且不等式可得，等价于，等价于，再根据是在R上的增函数，即可求解.

【详解】因为是奇函数，所以，则等价于，因为，所以.因为在R上的增函数，所以，即.

答案选C.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，难点在于化简不等式，对于不等式可作如下转化进行化简，转化过程如下：，本题属于中等题.

11.已知函数，若对任意，任意x∈R，不等式恒成立，则k的最大值为

A.     B. 1    C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

化简不等式可得，，根据不等式恒成立的转化关系可得，等价于，等价于，其中为关于的一次函数，故分别代入和即可求出k的最大值

【详解】因为，所以，则不等式恒成立等价于，设，则，解得.答案选D.

【点睛】本题考查不等式恒成立的转化，以及利用函数的单调性求参数最值，难点在于对不等式恒成立进行转化，属于难题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上

12.函数的零点为_________。

【答案】0

【解析】

【分析】

对数函数的必过点为零点，直接令，即可求出零点.

【详解】令，解得x=0.

【点睛】本题考查对数函数的必过点，直接代入计算即可，属于简单题

13.已知函数是定义在R上的奇函数，则_____

【答案】

【解析】

【分析】

利用函数是定义在R上的奇函数，则有，可以求出，然后代入,求出函数值即可.

【详解】因为函数是奇函数，所以，则a=1.

故.

【点睛】本题考查奇函数的性质，直接计算即可，属于简单题.

14.某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为y＝－30x＋450，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为_______元.

【答案】10

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，，然后化简得二次函数的一般式，然后根据二次函数的性质即可求出利润的最大值.

【详解】由题意得该桶装水经营部每日利润为，整理得，则当x=10时，利润最大.

【点睛】本题考查函数实际的应用，注意根据题意列出相应的解析式即可，属于基础题.

15.已知函数．若总是存在实数a，b．使得，则b的取值范围为_____________。

【答案】

【解析】

【分析】

由，化简得，令，利用二次函数的性质可得，，则有，进而解得.

【详解】因为，所以，即，解得.

【点睛】本题考查二次函数的性质，利用等量代换，把题目的问题转化为二次函数求最值得题目即可求解，属于中等题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16.（1）计算

（2）已知，且，求m的值

【答案】（1）7；（2）4

【解析】

【分析】

(1)利用对数函数，指数函数的性质，以及四则运算关系即可求解.

(2)由题意，化简得，，然后代入中求解即可

【详解】（1）原式=

（2）因为，所以，，

所以，所以

因为m＞0，所以m=4.

【点睛】本题属于考查指数与对数的四则运算，直接计算即可，属于基础题

17.设集合.

（1）若a＝2时，求AB

（2）若，求a的取值范围

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)先求出A，代入，求出集合B，然后直接求出即可.

(2)由题意得，，可得，然后分类讨论：①当；②当；然后直接

【详解】（1）由题意得，

因为a=2，所以

则

（2）因为，所以

①当时，由题意得9-4a＜0.解得；

②当时，由题意得

解得.

综上，a的取值范围为.

【点睛】本题考查含参集合的交集和并集运算，难点在于不要遗漏空集情况的考虑，属于难题.

18.已知函数

（1）在答题卡中的网格中画出的草图

（2）求在［0，4］上的值域

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

(1)根据题意，去掉绝对值，化简为分类函数的情况来作图即可.

(2)根据第（1）问的图像找出在［0，4］上的最大最小值即可.

【详解】（1） .

（2）由1可知，在上是减函数，在上是增函数.

则在上的最小值为

因为，

所以在上的最大值为.

故在上的值域为.

【点睛】本题考查分类函数的图像，难点在于把函数化简成分类函数，然后作图，利用数形结合的分析方法即可求解.

19.已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数

（1）求的解析式

（2）若，求的取值范围

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)由幂函数的性质可得，，再由在上为增函数，则2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.

(2)由为R上的增函数，可得，求出a的范围，然后根据单调递增的特性，即可求出的取值范围.

【详解】（1）因为是幂函数，所以

即或

因为在上是增函数，所以2m+1＞0，即m＞-，则m=1

故=.

（2）因为为R上的增函数.

所以， 解得. 故的取值范围为.

【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题.

20.已知函数

（1）若为奇函数，求k的值

（2）若在R上恒成立，求k的最小值

【答案】（1）；（2）4

【解析】

【分析】

(1)根据为奇函数，所以，然后代入求解即可.

(2)根据恒成立的条件把不等式进行转化，即由，得，然后进行参变分离得，最后再次利用恒成立条件对不等式进行转化得，最后转化为进行求解即可.

【详解】（1）因为为奇函数，所以.

即1+k=0，则k=-1.

（2）由，得，即.

设，.

则.

因为在R上恒成立，所以.

故k的最小值为4.

【点睛】本题考查函数的奇偶性，以及根据恒成立的条件对不等式进行转化求参数范围，难点在于如何根据恒成立的条件对不等式进行转化，属于难题.

21.已知函数

（1）判断函数的单调性，并说明理由

（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

(1)根据题意，直接把函数代入，然后根据定义法判断该函数的单调性即可.

(2)根据题意，对函数的双变量问题一步步转化，对任意的，恒成立等价于恒成立，然后化简得，可令，即求恒成立，最终转化为，然后根据二次函数的性质进行讨论，即可求出a的取值范围.

【详解】（1） 的定义域为.

因为.

且在上单调递增.

在上单调递增，

所以在上单调递增.

（2）因为，所以在上的最大值为.

对任意的，恒成立等价于恒成立，

即.

①当时，即时，

，即，无解；

②当时，即时，

，即，又，所以.

③当时，即时，

，即，

又，此时无解.

综上，a的取值范围为

【点睛】本题对数函数的运算，以及根据函数的双变量求解参数范围的问题，本题难点有两个地方：一、对函数双变量恒等关系转化为不等式求解问题；二、对含参二次函数的分类讨论，本题在讨论的时候应围绕对称轴与x的取值范围之间的关系进行讨论，属于难题.