北京师大实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

2018-2019学年北京师大实验中学高一（上）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合，全集，则集合中的元素共有

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

【答案】A

【解析】

试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．

考点：集合的运算．

2.函数的定义域是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

要使函数有意义，则需，解得：，所以函数的定义域是：

，故选．

3.设集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则满足C⊆A∩B的集合C的个数是（　　）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出A∩B，然后根据A∩B中元素的个数确定C的个数．

【详解】A∩B{（1，2）}，

∴C是∅或{（1，2）}，共有2个．

故选：C．

【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．

4.下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．

【详解】A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；

B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；

C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；

D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．

5.已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（　　）

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，先求f（x+1）的表达式，可得，进而分析可得f（x）单调递减，且其图象与y轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．

【详解】根据题意，可得，f（x）单调递减；

同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；

A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；

只有B的图象符合两点，

故选：B．

【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．

6.如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

二次函数y＝x2﹣（k+1）x+k+4有两个不同的零点可得，x2﹣（k+1）x+k+4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.

【详解】∵二次函数y＝x2﹣（k+1）x+k+4有两个不同的零点

∴x2﹣（k+1）x+k+4＝0有两个不同的实根

∴△＝（k+1）2﹣4（k+4）＝k2﹣2k﹣15＝（k+3）（k﹣5）＞0

∴k＜﹣3或k＞5

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.

7.下列大小关系正确的是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.

考点：指数函数与对数函数的值域

点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。

8.已知函数是上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：设，则，因为函数是上的奇函数，

所以，故选A．

考点：函数的奇偶性的应用．

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

9.若映射f：x→y=2（x-2），则8的原象是______，8的象是______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

正确理解象与原象的概念，代入计算即可．

【详解】∵8＝2x﹣2

∴x＝5；

 y＝28﹣2＝26＝64．

故答案为：(1).     (2). ．

【点睛】本题考查映射的概念，解决的关键是理解象与原象的概念，是容易题．

10.设函数，则f（f（-1））=______．

【答案】

【解析】

【分析】

按照先内后外的顺序：先求内层f（﹣1）＝5，再求外层f（5）即可．

【详解】∵﹣1＜0，∴f（﹣1）＝﹣1+6＝5＞0，

 则f（f（﹣1））＝f（5）＝52﹣4×5+6＝11．

故答案为：11．

【点睛】本题考查分段函数求函数值，求解过程中始终要注意自变量的取值范围，代入相对应的解析式计算，属于基础题.

11.=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据对数的运算律：lgM+lgN＝lg（M•N），，lgMn＝nlgM．计算可得结果．

【详解】根据对数的运算律知：

．

故答案为：4．

【点睛】本题考查对数式的求值及对数的运算律，重点在于公式的熟练程度和计算能力.

12.奇函数f（x）在[3，7]上是减函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据奇函数在对称区间上单调性一致，判断出区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f（﹣6）＝1，最小值为f（﹣3）＝﹣8，代入即可得到答案．

【详解】∵函数f（x）在[3，7]上是减函数，

在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，

∴函数f（x）在[﹣7，﹣3]上也是减函数，

区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f（﹣6）＝1，最小值为f（﹣3）＝﹣8，

∴2f（﹣6）+f（﹣3）＝2﹣8＝﹣6,

故答案为﹣6.

【点睛】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数单调性的性质，奇函数，其中根据函数奇偶性和单调性求出f（﹣6）及f（﹣3）的值，是解答本题的关键．

13.函数f（x）=（x2-2x-3）的单调递增区间为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}，要求函数的单调递增区间，只要求解函数t＝x2﹣2x﹣3在定义域的单调递减区间即可

【详解】函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}，

令t＝x2﹣2x﹣3，则y，

因为y在（0，+∞）单调递减，

t＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增，

由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），

故答案为：（﹣∞，﹣1）.

【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，注意函数的单调增区间的写法，属于基础题．

14.给出下列四个命题中：

①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题．

②命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2-4x+3≠0”．

③“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件

④关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为R，则m≤4．

其中所有正确命题的序号是______．

【答案】②③④

【解析】

【分析】

命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x＞1，则|x|＞0．若|x|＞0，则x不一定大于1；对于④，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|表示数轴上点x到﹣1和3的距离之和．

【详解】对于①，显然为假命题；

对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；

对于③，若x＞1，则|x|＞0．若|x|＞0，则x不一定大于1；

对于④，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|表示数轴上点x到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以.

故答案为②③④．

【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．

15.已知f（x+y）=f（x）f（y）对任意的非负实数x，y都成立，且f（1）=4，则=______．

【答案】

【解析】

【分析】

在f（x+y）＝f（x）f（y）中，令y＝1可得，f（x+1）＝f（x）f（1），进而可得，将其代入所求中，可得答案．

【详解】根据题意，在f（x+y）＝f（x）f（y）中，

令y＝1可得，f（x+1）＝f（x）f（1），，

则；

故答案为8040．

【点睛】本题考查抽象函数的运用，解决这类问题一般用赋值法．

16.若f（x）是定义在实数集上的偶函数，且f（x+5）=-f（x），当x∈（5，7.5）时，，则f（2011）的值等于______．

【答案】

【解析】

【分析】

由f（x+5）＝﹣f（x）可求得f（x）的周期，再利用x∈（5，7.5）时，，即可求得f（2011）的值．

【详解】∵f（x+5）＝﹣f（x），

∴f（x+10）＝﹣f（x+5）＝f（x），

∴f（x）是以10为周期的函数，

∴f（2011）＝f（1）＝﹣f（6），

又当x∈（5，7.5）时，，

∴f（6），

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数的周期性，关键是求得f（x）的周期，再转化到给定的区间上，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.设集合A={x|y=lg（x2-x-2）}，集合B={y|y=3-|x|}．

（1）求A∩B和A∪B；

（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负，列出不等式求得A,B代表函数的值域，分别求得A、B后直接求交集，并集即可.

（2）由题意知解得p即可．

【详解】（1）x2-x-2＞0，

∴（x-2）（x+1）＞0，

∴x＞2或x＜-1，

∴A={x|x＜-1或x＞2}；

y=3-|x|≤3，

∴B={x|x≤3}；

∴A∩B={x|x＜-1或2＜x≤3}；

A∪B=R．

（2），

∵C⊆A，

∴，

∴p≥4.

∴p的取值范围为[4，+∞）

【点睛】本题是比较常规的集合与一元二次不等式的解法的交汇题，主要考查交集、并集及其运算属于基础题．

18.已知二次函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先由题意设f（x）＝ax2+bx+c，再结合f（2+x）＝f（2﹣x）得到x＝2是对称轴，从而建立a，b，c的关系式，即可求得a，b，c．最后写出函数f（x）的解析式即可；

（2）由于对称轴为x＝2，且f（2）＝1，得到f（0）＝f（4）＝3，从而有：2≤m≤4，即m的取值范围为[2，4]．

【详解】（1）设f（x）=ax2+bx+c，

∵f（2+x）=f（2-x），

∴x=2是对称轴，

故f（0）=c=3,f（2）=4a+2b+c=1，

∴，

∴.

（2）∵对称轴为x=2，且f（2）=1，

∴f（0）=f（4）=3，为了使得f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，

∴2≤m≤4，

∴m的取值范围为[2，4]．

【点睛】本小题主要考查二次函数的性质、二次函数在闭区间上的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

19.设函数f（x）=x2-x+m，且f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）．

（1）求a，m的值；

（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．

【答案】（1）；（2）当时，取得最小值.

【解析】

【分析】

（1）由题意，可由f（log2a）＝m，log2f（a）＝2，（a≠1）建立方程求出a，m的值．

（2）由（1）得，当时  f（x）取得最小值，故可令求出函数取最小值时x的值.

【详解】（1）f（log2a）=log22a-log2a+m=m,

∴log2a（log2a-1）=0∴a=1（舍）或a=2,

∴a=2,f（2）=2+m,

∴log2f（a）=log2f（2）=log2（m+2）=2,

∴m=2,

综上：a=2，m=2.

（2）

当时,f（x）取得最小值

∴时，f（log2x）取得最小值.

∴时，f（log2x）最小，

【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征.

20.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x2+bx+c

（1）当b=2，c=-6时，求函数f（x）的不动点；

（2）已知f（x）有两个不动点为，求函数y=f（x）的零点；

（3）在（2）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集．

【答案】（1）或；（2）或；（3）.

【解析】

【分析】

（1）设x为不动点，则有f（x）＝x，变形为x2+x﹣6＝0，解方程即可．

（2）根据题中条件得x2+（b﹣1）x+c＝0利用根与系数的关系得出b，c的值，最后解方程f（x）＝0即可得出f（x）的零点．

（3）由题意得f（x）＞0即（x+2）（x﹣1）＞0，解之即可．

【详解】（1）f（x）=x2+2x-6，

由f（x）=x，

∴x2+x-6=0，

∴（x-2）（x+3）=0，

∴x=2或x=-3，

∴f（x）的不动点为2或-3.

（2）∵f（x）有两个不动点，即f（x）=x有两个根，

∴x2+（b-1）x+c=0，

∵，，

∴b=1，c=-2，

∴f（x）=x2+x-2，

令f（x）=0，

即（x+2）（x-1）=0，

解得x=-2或x=1，

∴f（x）的零点为x=1或x=-2.

（3）f（x）＞0，

∴（x+2）（x-1）＞0，

∴x＞1或x＜-2，

∴f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）.

【点睛】本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数的零点．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．

21.某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式P=-750x+15000，其中P为零售商进货的数量（单位：件），x为零售商支付的每件产品价格（单位：元）．现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用以外的其他费用），为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？并求此时的最大利润．

【答案】每件收取元，最大利润为万元.

【解析】

【分析】

根据生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元，可建立函数关系式，利用配方法可求函数的最值．

【详解】工厂获得的利润为y元．则根据利润等于销售额减去材料和劳动生产费，减去总固定成本可知

y=x•P-4P-7000=（x-4）（-750x+15000）-7000=-750（x2-24x+80）-7000=-750[（x-12）2-64]-7000

当x=12时，y最大．

此时y=41000

∴工厂对零售商每件收取12元，此时最大利润为4.1万元．

【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查二次函数最值的求解，解题的关键是挖掘本质，抽象出函数模型．

22.已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有．

（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：；

（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

【答案】（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

（2）．

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．

【解析】

（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

（2）由在上是增函数知：

，

故不等式的解集为．

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．