安徽省马鞍山市2021届高三下学期一模考试数学（文）试题 Word版含答案

马鞍山市2021年高三第一次教学质量监测

文科数学试题

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

 A．    B．  C．   D．

2．若复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为

 A．          B．           C．          D．

3．函数的图象大致为

4．习近平总书记在安徽考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔．为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从2020年1月1号起全面实施长江禁渔10年的规定．某科研单位需要从长江中濒临灭绝的白鳍豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是

A．         B．        C．              D．

5．已知平面向量与的夹角为，若，，则

A．    B．2    C．3    D．4

6．执行如图所示的程序框图，则输出的

A．      B．       C．       D．

7．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与所成角的余弦值为

A．    B．

C．    D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增          B．最小正周期为  

C．图象关于对称          D．图象关于对称

9．已知直线过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，若点的纵坐标为，则线段的长为

A．       B．         C．       D．

10．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则函数的最小值为

A．     B．   C．   D．1

11．设，分别是双曲线（）的左右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为

A．    B．     C．       D．

12．已知数列满足，且，则

A．          B．           C．           D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某班级为了解本班49名学生的体质健康状况，将这些学生编号为1，2，3，…，49，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取7名学生进行体质健康测试．若32号学生被抽到，则在8~14号学生中被抽到的是  ▲  号．

14．设实数满足约束条件，则的最大值为  ▲  ．

15．已知等比数列的前项和为，且则实数的值为  ▲  ．

16．如图，在三棱锥中，平面，，是中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为  ▲  ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17． （12分）

天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售．统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：副）的相关数据如下表：

（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）．

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

参考数据：，

18．（12分）

在中，角所对的边分别是，且C．

（1）若，求角的大小；

（2）若，求的面积．

19．（12分）

如图，为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，为的中点．

    （1）证明：平面平面；

  （2）设，圆柱的体积为，求四棱锥的体积．

20．（12分）

已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若过点的直线斜率存在，且直线与动点的轨迹相交于，两点．证明：直线与的斜率之积为定值．

21．（12分）

已知是自然对数的底数，函数，其中．

 （1）当时，若，求的单调区间；

 （2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到直线距离的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

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文科数学参考答案

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.11     14.5     15.   16.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17． (12分)

【解】（1）由表中数据，计算得，

，                   ……………………………… 2分

则，

，

所以关于的线性回归方程为．            ……………………………… 6分

（2）设定价为元，利润为，则

，         ……………………………… 9分

（元）时，最大，

所以为使得销售的利润最大，单价应该定为元．         ……………………………… 12分

18．(12分)

【解】（1）由题意，在中，，得，

由 ，得  又

所以                                            ………………………………3分

由，得，

又，得         ……………………………… 6分

（2）由（1）知，，又，根据余弦定理得，

     可得     ………………………………8分

当时，         

      当时，                      

所以△的面积为．                        ………………………………12分

19．(12分)

【证明】（1）根据题意可得，

.                     ………………………………2分

又为圆柱的母线，平面.

.                    ………………………………4分

平面.

又平面,

平面平面．      ………………………………6分

【解】（2）由题可设，由是底面圆的内接正三角形易得

，底面圆的半径．                   ………………………………8分

．                 ………………………………10分

由（1）可知，平面．  

．               ………………………………12分

20．（12分）

【解】（1）由已知得，圆心，半径

点在线段的垂直平分线上，

，又

，又

，

则动点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．

从而，

故所求动点的轨迹方程为．                ………………………………5分

（2）设：，，

由消去得，

显然

．                      ……………………………… 8分

，可设直线与的斜率分别为则

即直线与的斜率之积为定值．                   ……………………………… 12分

21．（12分）

【解】（1）当时，

令，则                        ………………………………2分

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增．

． 

在上单调递增．                               ………………………………5分

（2），

所以令，可得

设

  ……………8分

令，得，且

当时，，单调递增且

当时，，单调递减且

当时，，单调递增且  …………………………10分

当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点

的取值范围是．                            ………………………………12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解】（1）∵直线的参数方程为（为参数），

∴消去参数，得的普通方程为．        

∵曲线的极坐标方程为，

      ∴，

      ∴的直角坐标方程为，即． …………………………5分

（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，

则上的动点到距离． ……………………8分

∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，

∴上的动点到距离的取值范围是．      ………………………………10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解】（1）由不等式可得：，

可化为：或或   ……………………3分

解得：或，所以原不等式的解集为．  ………………………5分

（2）因为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．                            ………………………………7分

要对任意恒成立，只需，即：，

所以或，解得：或，

所以，实数的取值范围为．              ………………………………10分