安徽省马鞍山市2019届高三一模数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的）

1.设集合，，则　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先解不等式得集合A，再根据补集以及交集定义求结果.

【详解】因为；

或；

．

故选：．

【点睛】本题考查集合运算以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据复数纯虚数的概念，得到实数所满足的关系式，求出参数值，再由复数的模长公式求得结果

【详解】设,则2-i=abi-b,故,解之得,则,故,

应选B.

【点睛】本题考查了纯虚数的概念和复数的模长的计算，复数中需要注意的有：（1）中的负号易忽略；（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.

3.同时掷两枚骰子，则向上的点数和是9的概率为(  )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

基本事件总数，利用列举法求出向上的点数和是9包含的基本事件有4个，由此能求出向上的点数和是9的概率．

【详解】同时掷两枚骰子，基本事件总数，向上的点数和是9包含的基本事件有：

，，，，共4个，则向上的点数和是9的概率，

故选C．

【点睛】本题主要考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据圆锥与圆柱表面积公式求解.

【详解】由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体，如图所示；

其中底面圆的半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，

组合体表面积为．

故选：．

【点睛】本题考查三视图以及圆锥与圆柱表面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.某数学教师为了解、两个班级学生的数学竞骞成绩，将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的成绩绘成茎叶图如图所示．设、两班的平均成绩分别为，中位数分别为、，则　　

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据茎叶图求平均数以及中位数，再比较大小.

【详解】由茎叶图可知：，，

，，

可得：，

故选：．

【点睛】本题考查茎叶图、平均数以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦函数与余弦函数对称轴与对称中心关系，确定选项.

【详解】函数的对称中心和的对称轴在一条直线上的，

若的对称中心为，则函数的一条对称轴为．

故选：．

【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数对称轴与对称中心关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

7.数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则　　

A.  B.  C. 7 D. 31

【答案】A

【解析】

【分析】

先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.

【详解】数列等比数列，，，

，解得，

，

数列的前项和为，

．

故选：．

【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

8.等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算.

详解：由已知，

，

故选A.

点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.

9.函数的大致图象为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

【详解】，排除，B，C，

当时，，

则时，，，排除A，

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。

10.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，双曲线的离心率为　　

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求双曲线渐近线方程，再根据垂径定理得圆心到渐近线的距离，最后解方程得离心率.

【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，

圆的圆心为，半径，

可得圆心到渐近线的距离为，

则，化为，

，

故选：．

【点睛】本题考查双曲线渐近线方程、离心率以及直线与圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题.

11.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据面面垂直性质定理得平面，再根据正弦定理求的外接圆的直径，最后根据球心位置列式求半径，即得结果.

【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，

，所以，是边长为的等边三角形，

由正弦定理得的外接圆的直径为，

所以，该球的直径为，则，

因此，三棱锥的外接球体积为．

故选：．

【点睛】本题考查面面垂直性质定理、正弦定理以及外接球体积，考查综合分析求解能力，属中档题.

12.若函数恰有一个零点，则实数的值为　　

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得的值.

【详解】函数的定义域为，

若函数恰有一个零点，

等价为恰有一个根，

即只有一个根，

即函数和的图象只有一个交点，

即当时，是函数的切线,

设，切点为，则，

因为，切线斜率，

则切线方程为，

切线过原点，

即，

因为

所以，此时，

故选：．

【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知实数、满足，则的最大值为__．

【答案】

【解析】

【分析】

先作可行域，再根据目标函数几何意义确定最优解，解得结果.

【详解】的几何意义是区域内的点到定点的斜率，

作出不等式组对应的平面区域，

由图象知的斜率最大，

由解得，

此时，

故答案为：．

【点睛】本题考查线性规划求最值以及直线斜率，考查综合分析求解能力，属中档题.

14.若函数，则不等式的解集为__．

【答案】，

【解析】

【分析】

先研究函数单调性与奇偶性，再根据函数性质化简不等式，解得结果.

【详解】，则函数是奇函数，

又在定义域上，是增函数，

则不等式等价为，

则，

即，

即不等式的解集为(，)，

故答案为：(，)

【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性以及利用函数性质化简不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

15.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则__．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据三角形中位线性质得，再根据条件求，最后根据抛物线定义求弦长.

【详解】如图，

由抛物线，得，

为中点，，则．

由焦点弦性质得，所以，

．

．

故答案为：．

【点睛】本题考查抛物线定义以及焦点弦性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

16.在中，角、、所对的边分别边、、，若，，则的取值范围是__．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果.

【详解】，，

，

，，又，

，

因此

， ，

，

故答案为．

【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

17.已知数列满足．

（1）求、；

（2）求证：数列为等差数列；

（3）求数列的前项和．

【答案】（1），； （2）见解析； （3）.

【解析】

【分析】

（1）根据递推关系式依次代入求解，（2）根据等差数列定义以及递推关系化简即得结果，（3）先求通项公式，即得，再利用裂项相消法求和.

【详解】（1），，

，；

（2），

，

，

数列是首项为1，公差为1的等差数列；

（3）由（2）知：，，

．

【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.

18.在一次“综艺类和体育类节目，哪一类节目受中学生欢迎”调查中，随机调查了男女各100名学生，其中女同学中有73人更爱看综艺类节目，另外27人更爱看体育类节目；男同学中有42人更爱看综艺类节目，另外58人更爱看体育类节目．

（1）根据以上数据填好如下列联表：

（2）试判断是否有的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．

参考公式：

临界值表：

【答案】（1）见解析； （2）有的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．

【解析】

【分析】

（1）根据题目中的数据对应填写表格，（2）根据公式计算，再对照数据作判断.

【详解】（1）根据题目中的数据填写列联表，如下；

（2）估计表中数据，计算，

所以有的把握认为“中学生更爱看综艺类节目还是体育类节目与性别有关”．

【点睛】本题考查列联表以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

19.如图，四棱锥中，，，，为中点，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

【分析】

（1）根据计算可得，再根据线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）取中点，利用面面垂直性质定理得平面，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】（1）证明：由，，，，

可得，，．

从而是等边三角形，，平分．

为中点，，，

又，，平面．

平面，平面平面；

（2）解：由（1）知，平面，则平面平面，

取中点，连接，则．

平面平面，平面平面，

平面．

，，

又．

．

【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.

20.在直角坐标系中，过点且斜率为的直线交椭圆于、两点．

（1）求的取值范围；

（2）当时，若点关于轴的对称点为，直线交轴于，证明：为定值．

【答案】（1），； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先将直线与椭圆方程联立方程组，再根据判别式大于零求结果，（2）先解出坐标，再利用韦达定理化简，解得结果.

【详解】（1）过点且斜率为的直线为：

代入椭圆得：，

若直线与椭圆有两个交点，

则△，

解得：，

（2）设，、，，，、

由（1）得：由，，

直线的方程为：

令，则点的横坐标为：，

故

即为定值1．

【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.

21.已知函数．

（1）当时，求在，（1）处的切线方程；

（2）当，时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式方程得结果，（2）先分类讨论，再变量分离转化为对应函数最值，利用导数确定函数单调性，利用极限求最值，即得结果.

【详解】（1）时，，

，

故（1），（1），

故切线方程是：，

即；

（2）当，时，恒成立，

即，

时，显然成立，

时，只需在恒成立，

令，，

则，

令，，

则，

故在递减，

故（1），

故恒成立，

故在递减，

而，

故．

【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.

22.在平面直角坐标系xOy中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

已知点且直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得由此能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程；

求出直线l的参数方程并代入，得：，结合，求解即可。

【详解】将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，

设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，

依题意，得．

由，得，

曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为．

直线l的直角坐标方程为．

点且直线l与曲线C交于A、B两点，在直线l上，

把直线l的参数方程代入，得：，

则，．

．

【点睛】本题考查图形的伸缩变换、极坐标方程与普通方程的转化，考查了直线的参数方程中的含义的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。

23.已知函数．

解不等式；

若，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

分三种情况去绝对值解不等式再取并集即可；由得，构造函数，，求出最小值为，转化为，可解即可。

【详解】解：或或

解得，

不等式的解集为.

由，有解，

得有解，

令，

当时，显然单调递增，

当时，，求导得,

显然在时，，即在时，单调递增，

则，

，.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式有解问题，构造函数是解决本题的关键点，属于中档题。