安徽省蚌埠市2019届高三第一次教学质量检查考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题）

1.已知全集2，3，，集合，集合，则（ ）

A.  B.  C.  D. 3，

【答案】B

【解析】

【分析】

由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果．

【详解】因为全集，集合，

则，

又因为集合，

所以 ；

故选B．

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.

2.已知复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于　　

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案．

【详解】,

,

则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选A．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为　　

A. 4 B. 5 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】

由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．

【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，

其中落入白色部分的有484个点，

则其中落入黑色部分的有605个点，

由随机模拟试验可得：，又，

可得，故选B．

【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

4.已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，

所以，

，

联立、可得：，，，

该双曲线的虚轴长2，故选C．

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

5.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据的范围和指数函数性质，估算出的范围，从而可判断大小.

【详解】解：，

，，，

．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数性质的应用，属于中档题．

6.设向量，，且，则m等于　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出关于的表达式，解方程即可得结果.

【详解】由题意，可知：

，．

，．

，

，解得：．

故选B．

【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属基础题．

7.将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解．

【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，

再把所得图象向左平移个单位，得到，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．

8.某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为　　

A. 9 B. 12 C. 18 D. 24

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，

则甲第4次获得的红包有3种情况，

前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，

则他获得奖次的不同情形种数为种；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖”的含义．还考查了分类思想，属于中档题.

9.已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，（b为常数），则　　

A. 3 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由奇函数的性质可得：，对赋值为0即可求得，再对赋值为1即可求得，再对赋值为即可解决问题。

【详解】解：，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，

所以，

，得，

则，

，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，考查了赋值法及计算能力，属于中档题。

10.已知，是椭圆的左右焦点，点M的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先推导出轴，从而，，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，求得，可得的坐标，由此能求出线段的中点,进而可得结果．

【详解】，，是椭圆的左右焦点，

，

轴，

，，

点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，

又，，

，线段的中点，

的角平分线的斜率．故选A．

【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，考查了斜率公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，是中档题．

11.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A，三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B，则线段MN的长度的最大值为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

画出几何体的直观图，判断的位置，然后结合直观图可求线段的长度的最大值．

【详解】

由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，

一条侧棱与底面垂直（平面），

为几何体的直观图如图，在上，重合，

当与重合时，

线段的长度的最大值为．

故选D．

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

12.已知函数，，若对，均有，则实数a的最小值为　　

A.  B.  C. 1 D. e

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数与方程的关系分别转化为两个函数图象间的关系，利用数形结合求出的取值的临界值，由此对的取值范围分类讨论的正负，即可判断是否在均成立，问题得解。

【详解】解：由，得，设，，则直线过定点，

当时，，即，当时，，即，

当直线经过B时，，即，

当直线经过C时，，即，

由得，

设，过定点

则，，即过的切线斜率，

当时，，即，

当直线经过D时，，即，

当时，，即此时，要使对，均有，

则，即，则，则此时，

此时，

当时，，即此时，要使对，均有，

则，即，则，则此时，

此时要求且，此时无解，

③当时，    ，则对，均有，但可取正值也可取负值，不满足对，均有，

综上满足条件的范围是，

则实数的最小值为1，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，利用数形结合分别转化为两个函数图象的高低是解决本题的关键，还考查了分类思想及计算能力，综合性较强，难度较大，属于难题。

二、填空题（本大题共4小题）

13.二项式展开式中的常数项为______．

【答案】60

【解析】

【分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【详解】解：的展开式的通项公式为，

令，求得，所以展开式中常数项为．

故答案为：60．

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.

【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为.

【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

15.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．

【答案】

【解析】

【分析】

取的中点，的中点，连接，，， 可得：四边形是平行四边形，可得.同理可得 可得面面平行，进而得出点轨迹．

【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．

可得：四边形是平行四边形，.

同理可得：．

．

平面平面，

点是正方形内的动点，若平面.

点在线段上．

点的轨迹长度．故答案为．

【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与线面平行的判断,属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

16.如图，平面四边形ABCD中，，，，，则的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

在中，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得的外接圆半径，即求得AC，从而求得AD，AB，即可求得的面积．

【详解】解：，，，

，

在中，，，

由余弦定理可得，

则的外接圆半径．

因为的外接圆就是四边形的外接圆，就是其直径，

，，，，．

的面积为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了正、余弦定理，三角形的面积计算，考查计算能力及转化能力，属于难题．

三、解答题（本大题共7小题）

17.已知数列满足：，．

设，证明：数列是等比数列；

设数列的前n项和为，求．

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

【分析】

（1）证明为常数即可。

（2）利用条件（1）可求得，利用分组求和方法即可求解。

【详解】解：数列满足：，．

由，那么，

；

即公比，，

数列是首项为2，公比为2的等比数列；

由可得，

那么数列的通项公式为：

数列的前n项和为

．

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式和前n项和公式，还考查了等差数列的前项和公式，还考查了分组求和法方法，属于中档题

18.如图，在四棱锥中，AC与BD交于点O，为直角三角形，，，均为等边三角形．

求证：；

求二面角的余弦值．

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

【分析】

由≌，可得，可得，即可得，又≌，可得，即可证得

由知平面ABCD，所以PO为三棱锥的高设，易得，，过C作于M，连接可得就是二面角的平面角，解即可．

【详解】证明：因为，，BD为公共边，

所以≌，

所以，又，

所以，且O为AC中点．

又，所以，

又，所以，结合，

可得≌，

所以，

即，所以．

解：由知平面ABCD，所以PO为三棱锥的高．

又，、、均为等边三角形，，

设，易得，，

，

如图，过C作于M，连接AM．

≌，

≌ ，

就是二面角的平面角．

中，PC边上的高等于，

，

在中，，，

．

二面角的余弦值为．

【点睛】本题主要考查了空间线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意作出二面角的一个平面角，还考查了解三角形及计算能力，属于中档题.

19.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．

请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值每组值用区间中点值代替；

企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分：质量指标值落在内的定为一等品，每件售价420元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价300元；其它的合格品定为三等品，每件售价180元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为单位：元，求X的分布列和数学期望．

表1：设备改造后样本的频数分布表．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

由频率分布直方图中的数据直接计算企业在设备改造前的产品质量指标的平均值．

根据样本频率分布估计总体，由样本中一、二、三等品的频率得出从所有产品中随机抽一件是一、二、三等品的概率值以及随机变量X的可能取值，分别求出相应随机变量X的取值的概率，即可求随机变量X的分布列和数学期望值．

【详解】解：根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下：

估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值为：

；

根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为、和，

故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为、和，

随机变量X的取值为360，480，600，720，840，

，

，

，

，

，

随机变量X的分布列为：

数学期望为．

【点睛】本题主要考查了平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的计算问题，也考查了频率分布直方图、频率分布表应用问题，属于中档题．

20.已知抛物线C：，直线与C相交所得的长为8．

求的值；

已知点O为坐标原点，一条动直线l与抛物线C交于O，M两点，直线l与直线交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

【分析】

设直线与抛物线的两交点坐标分别为：，，联立直线与抛物线方程可得，，再根据弦长公式列方程即可求出的值，

由可得，设，根据题意求出点N的坐标，即可表示出直线MN的方程，即可求得直线过定点．

【详解】解：（1）设直线与抛物线的两交点坐标分别为：，

由得，消x可得，

，，

弦长为，

解得或舍去，

.

由可得，

设，

直线OM的方程，

当时，

，

代入抛物线方程，可得，

，

直线MN的斜率，

直线MN的方程为，整理可得，

故直线MN过点

【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，还考查了韦达定理及弦长公式，考查直线过定点知识，属于中档题．

21.已知函数，是曲线的一条切线其中e为自然对数的底数

求的解析式；

证明：．

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

【分析】

求得的导数，设切点坐标为：，由切点分别在曲线、直线上列方程及导数的几何意义列方程可求得，即可得到所求解析式；

令，，求得的导数，再求得，由此可判断的单调性，从而可判断的单调性，可得最小值，问题得证．

【详解】解：函数，导数为，设切点坐标为：

则，解得：

所以；

证明：令，

，

所以，

即有在递增，

当时，，可得在上递增；

当时，，可得在上递减．

可得在处取得极小值，且为最小值1，

可得，即有．

【点睛】本题主要考查了导数的运用：求切线的斜率和函数的单调性、极值和最值，考查构造函数法和转化思想、方程思想，还考查了利用导数证明不等式知识，属于中档题．

22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

求的极坐标方程；

若直线与曲线相交于M，N两点，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换即可； 直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求出结果.

【详解】曲线的参数方程为：（为参数，

转换为直角坐标方程为：，

转换为极坐标方程为：．

直线的极坐标方程为．

转换为参数方程为：(t为参数)．

把直线的参数方程代入，

得到，和为M、N对应的参数，

故：，．

所以．

【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可．

23.已知函数．

当时，求不等式的解集；

若不等式在恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

【分析】

代入的值，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；问题转化为或在恒成立，求出的范围即可．

【详解】时，，

时，，不成立，

时，，解得：，

故，

时，，解得：，

故，

综上：不等式的解集是；

若不等式在恒成立，

则在恒成立，

故或在恒成立，

故或．

【点睛】本题考查了解绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题以及转化思想，是一道常规题．绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．