【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.2 三角形（教师版+学生版+含解析）

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专题 4.2三角形
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　
A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
【来源】2018年江苏省南通市中考数学试卷
【答案】A
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】
考查勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
2．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（  ）

A． B．3- C．-1 D．3-
【来源】2018年四川省绵阳市中考数学试卷
【答案】D
【解析】
【分析】
如图设交于，连接，作于，于．想办法求出的面积．再求出与的比值即可解决问题；
【详解】
如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
,
,



，
在Rt△ADB中，，
∴AC=BC=2，
，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM=ON，
∵,
.
故选：．
【点睛】
考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系.

3．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（　　）

A． B．3 C．3 D．3
【来源】2018年山东省青岛市中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】
折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【详解】
解：






AB＝AC，
,
故选：B.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
4．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【来源】2018年山东省枣庄市中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.
【详解】
如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选B．

【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法是解答的关键.
5．如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【来源】2018年内蒙古包头市中考数学试题
【答案】D
【解析】
【分析】
由AB=AC知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED-∠C可得答案．
【详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED-∠C=10°，
故选D．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
6．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ）

A．5 B． C．4 D．
【来源】辽宁省辽阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．
【详解】
由题意可得，
OC为∠MAN的角平分线，
∵OA=OB，OC平分∠AOB，
∴OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB，
∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3，
∴CD=4，
∵，
∴，
解得，BE=，
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
7．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【来源】2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可证得△AED≌△FDC 进而求得CD的长.
【详解】
解:由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1,CF=BC=3,∠EFC=∠B=
ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF,
在△AED与△FDC中有: AD=CF,∠A=∠DFC=,∠AED=∠CDF
△AED≌△FDC, ED=CD,
设CD的长为x，在Rt△EAD中，
有,
即:,解得;x=5，
故答案为:B.
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键.
8．顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的（　　）
A．重心 B．外心 C．内心 D．中心
【来源】广西百色市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】
【分析】
三角形的重心是三角形三边中线的交点，据此进行判断即可．
【详解】
三角形三条中线的交点是三角形的重心．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点．
9．在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=（　　）
A．35° B．55° C．65° D．145°
【来源】广西百色市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用直角三角形两锐角互余分析得出答案．
【详解】
在△OAB中，∵∠O=90°，∠A=35°，∴∠B=90°﹣35°=55°．
故选B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，正确掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
10．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
【来源】福建省2018年中考数学试题（b卷)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】
A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
11．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【来源】【全国校级联考】江西省吉安市永新县2017-2018学年八年级下期期末考试数学试卷
【答案】D
【解析】
解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
12．如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是　　

A．
B．
C．
D．
【来源】青海省2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
【详解】
，，，
≌，
，，
过点C作轴，垂直为D，则，

，，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
二、填空题
13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．
【来源】2018年江苏省南通市中考数学试卷
【答案】22
【解析】
【分析】
底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
【详解】
试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．
故填22．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
14．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为______度．
【来源】2018年吉林省中考数学试卷
【答案】36
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，
∴∠A：∠B=1：2，
即5∠A=180°，
∴∠A=36°，
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理与等腰三角形的性质，解题的关键是能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理与已知条件得出5∠A=180°．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．

【来源】四川省南充市2018届中考数学试卷
【答案】24
【解析】
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
16．如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___．

【来源】2018年山东省枣庄市中考数学试卷
【答案】9﹣5
【解析】
【分析】
根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为：9-5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．

【来源】【市级联考】湖南省衡阳市2019届中考数学试卷
【答案】16
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.
18．现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有_____种．
【来源】湖南省永州市2018年中考数学试卷
【答案】4．
【解析】
【分析】
根据点A、B可以在直线的同侧或异侧两种情形讨论即可.
【详解】
当A、B位于输出油管道的同侧时，若输油管道与AB平行，且到AB的距离为0.5km，则符合题目要求，有两种方案，如解图中直线a和b所示；
当A、B在输油管道的两侧时，有两种情况，如图所示，输油管道经过线段AB的中点且与AB的夹角为30°时，点AB到输油管道的距离为0.5km符合要求，有两种方案，如图中的直线c和d所示，
综上所述，有4种符合题目要求的设计方案，
故答案为：4.

【点睛】
本题考查整体应用与设计，涉及了点到直线的距离和30°角的直角三角形的性质，关键是灵活画图确定点到直线的距离，有一定的难度，容易漏答案.
19．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．

【来源】2018年浙江省丽水市中考数学试卷
【答案】AC=BC
【解析】
【分析】
添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【详解】
添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
20．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．

【来源】内蒙古赤峰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【详解】
（1）如图：

（2）∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．
21．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．

【来源】2018年四川省遂宁市中考数学试卷
【答案】山高BC=100+100米.
【解析】
【分析】
作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题
【详解】
作于．

，米，
，
，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．已知抛物线的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　　．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【来源】内蒙古赤峰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：yx2x+2．
故答案为：yx2x+2；
（2）当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；
（3）yx2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：
①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；
②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；
③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．
综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．
23．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

【来源】内蒙古赤峰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CD=BD=AD．再由∠B=60°，得到△BDC为等边三角形，从而可以证明∠HDA=30°，进一步得到 AH=HD，由等腰三角形的性质得到MD=AM，ND=NB．即可得到结论；
（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题．
【详解】
（1）如图1．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4．
∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=2．
在Rt△ADG中，AG4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．
（2）如图2中，结论：DM=DN．
理由：∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴CD=BD=AD．
又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°．
又∠EDF=90°，∴∠HDA=30°．
∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=AM．
在等边三角形 BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．
又AD=BD，∴MD=ND．

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．
则AH=AG•cos30°=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合，∴DD′=DB=2．
【点睛】
本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？

【来源】2018年江苏省常州市中考数学试卷
【答案】(1)证明见解析；（2）①作图见解析；②结论：是的中点．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明FC=FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；
【详解】
（1）证明：如图1中，

垂直平分线段，
，
，
，
．
（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．

理由：垂直平分，
，，
，
，
点即为所求．
②结论：是的中点．
理由：设交于．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
是的中点．
【点睛】
考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
25．在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
（2）如图2当=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=，请直接写出△BDE的面积.

【来源】辽宁省辽阳市2018年中考数学试卷
【答案】（1）;（2）;（3）2
【解析】
【分析】
（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．