【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题3.3 二次函数（第02期）（教师版含解析）

这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题3.3 二次函数（第02期）（教师版含解析），共71页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．【浙江省湖州市2018年中考数学试题】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）
A． a≤﹣1或≤a＜ B．≤a＜
C． a≤或a＞ D． a≤﹣1或a≥
【答案】A
【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
详解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．

观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥，
∵直线MN的解析式为y=-x+，

点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．【山东省威海市2018年中考数学试题】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

A． abc＜0 B． a+c＜b C． b2+8a＞4ac D． 2a+b＞0
【答案】D
【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
详解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知：＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故A正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故B正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，
∴＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故C正确；
（D）对称轴x=＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故D错误；
故选：D．
点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
3．【山东省威海市2018年中考数学试题】如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　）

A． 当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B． 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C． 小球落地点距O点水平距离为7米
D． 斜坡的坡度为1：2
【答案】A
【解析】分析：求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．

∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选：A．
点睛：本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
4．【湖北省恩施州2018年中考数学试题】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（　　）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】B
【解析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．
详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），
∴-=-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（-3，0），
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
-1.5＞-2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，
故选：B．
点睛：本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．【台湾省2018年中考数学试卷】已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A． 1 B． 9 C． 16 D． 24
【答案】A
【解析】分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；
详解：如图，

由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
6．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A． m≤5 B． m≥2 C． m＜5 D． m＞2
【答案】A

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，
△>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；
△=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；
△<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.
7．【北京市2018年中考数学试卷】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
8．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（　　）

A． ①③ B． ②③ C． ②④ D． ③④
【答案】D
【解析】分析：根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．
详解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴二次函数的图象的对称轴为x==1，
∴=1，
∴2a+b=0，故①错误；
②令x=﹣1，
∴y=a﹣b+c=0，
∴a+c=b，
∴（a+c）2=b2，故②错误；
③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；
④当a=1时，
∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4
将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；
故选：D．
点睛：本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
9．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则
y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】D
【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
详解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=−＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；

④∵−=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴-＜a＜-，故④正确
故选：D．
点睛：本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
10．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】B
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=-5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣=﹣2，=﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键.
11．【广西钦州市2018年中考数学试卷】将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（　　）
A． y=（x﹣8）2+5 B． y=（x﹣4）2+5 C． y=（x﹣8）2+3 D． y=（x﹣4）2+3
【答案】D
【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【详解】y=x2﹣6x+21
=（x2﹣12x）+21
=[（x﹣6）2﹣36]+21
=（x﹣6）2+3，
故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．
12．【河北省2018年中考数学试卷】对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）
A． 甲的结果正确
B． 乙的结果正确
C． 甲、乙的结果合在一起才正确
D． 甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】A
【解析】【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，根据题可知方程中的△=﹣4+4c=0，求出即可．
【详解】把y=x+2代入y=﹣x（x﹣3）+c得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，
即x2﹣2x+2﹣c=0，
∵一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，
所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，
解得：c=1，
所以甲的结果正确，乙的结果成为，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x的一元二次方程是解此题的关键．
13．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D


所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
点睛：此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
二、填空题
14．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
【答案】y=x2+2
【解析】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．【山东省淄博市2018年中考数学试题】已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
【答案】2
【解析】分析：先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．
详解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
16．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．

【答案】，
【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为
，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．
详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1，
故答案为x1=-2，x2=1．
点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题
17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
【答案】（﹣2，4）．
【解析】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
详解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
故答案为：（-2，4）．
点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
18．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____．

【答案】3

【详解】当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），
当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
19．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
【答案】（3，0）．
【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
20．【新疆自治区2018年中考数学试题】如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．

【答案】②③
【解析】分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
此题得解．
详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
21．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m．
【答案】216
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离.
【详解】y=60t﹣=(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m，
当t=20-4=16时，y=576，
600-576=24，
即最后4s滑行的距离是24m，
故答案为：24.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.
22．【浙江省湖州市2018年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．

【答案】﹣2

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．

三、解答题
23．【浙江省宁波市2018年中考数学试卷】已知抛物线经过点，
求该抛物线的函数表达式；
将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
【答案】抛物线解析式为；具体见解析.
【解析】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；
指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．
【详解】把，代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为；
抛物线解析式为，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
24．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
25．【河北省2018年中考数学试卷】如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．

【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v乙＞7.5
【解析】【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．

（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=，
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上，
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8），
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v乙＞7.5.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键.本题也考查了函数图象上的临界点问题．
26．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）

【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【详解】（1）依题意得 ，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
27．【四川省达州市2018年中考数学试题】 “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．

详解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w=（51+×3）（1500-1000-a），
=-（a-80）2+26460，
∵-＜0，
∴当a=80时，w最大=26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值．
28．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=，
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【答案】（1）W=；（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）李师傅共可获得160元奖金．
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．
【详解】（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，则有
，解得，，
即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数），
当1≤x＜10时，
W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，
当10≤x≤15时，
W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，
即W=；
（2）当1≤x＜10时，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，
∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324，
当10≤x≤15时，
W=﹣20x+520，
∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
（3）当1≤x＜10时，
令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，
当W＞299时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当10≤x≤15时，
令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），
即李师傅共可获得160元奖金．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数解析式，利用函数的性质进行解答是关键.
29．【江苏省无锡市2018年中考数学试题】一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？
【答案】（1）当2 000≤x≤2 600时，y=16x﹣15600；当2 600＜x≤3 000时，y=26000；
（2）当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．

（2）由题意得：
16x-15600≥22000
解得：x≥2350
∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．
点睛：本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．
30．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？

【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
【解析】分析：（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者作差即可得出结论；
（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出当x=4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：（1）当x=6时，y1=3，y2=1，
∵y1﹣y2=3﹣1=2，
∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
（2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．
将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n，
，解得：，
∴y1=﹣x+7；
将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，
4=a（3﹣6）2+1，解得：a=，
∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．
∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．
∵﹣＜0，
∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为，
即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．
（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．
设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，
根据题意得：2t+（t+2）=22，
解得：t=4，
∴t+2=6．
答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
31．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
【答案】（1）m=﹣，n=25；（2）18，W最大=968；（3）12天.
【解析】【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．
【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得
32=12m﹣76m，
解得m=，
当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，
则n=25，
故答案为：m=，n=25；

（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，
解得x1=25，x2=11，
∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，
∴11≤x≤25时，W≥870，
∴11≤x＜20，
∵x为正整数，
∴有9天利润不低于870元，
当20≤x≤30时，令28x+112≥870，
解得x≥27，
∴27≤x≤30
∵x为正整数，
∴有3天利润不低于870元，
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.
32．【湖南省怀化市2018年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
33．【湖南省湘西州2018年中考数学试卷】如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=；（2）点P坐标为（5，0）或（，0）（3）y=x﹣2；（4）F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.
【解析】【分析】（1）应用待定系数法进行求解即可得；
（2）分两种情况△OBA∽△OCP、△OBA∽△OPC分别讨论进行求解即可；
（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；
（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．
【详解】（1）由已知点B坐标为（5，5）
把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，），
∴OC=，OB=5，
当△OBA∽△OCP时，，∴，∴OP=，
当△OBA∽△OPC时，，∴，∴OP=5，
∴点P坐标为（5，0）或（，0）；
（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c，
∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°，
∴△MEN为等腰直角三角形，
当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，
∴点′E坐标为（a﹣b，b），
∵EE′平行于x轴，
∴E、E′关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴b=2a﹣3，
则点N坐标可化为（a，2a﹣3），
把点N坐标代入y=得：2a﹣3=，
解得：a1=1，a2=6，
∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0，
∴a=6舍去，
则点N坐标为（1，﹣1），
把N坐标带入y=x+c，则c=﹣2，
∴直线l′的解析式为：y=x﹣2；
（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2），
则△MOK为等腰直角三角形，
∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′，
∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形，
∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.
【点睛】本题考查了代数几何综合题，具体考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数对称轴、相似三角形的判定性质、等腰直角三角形的判定等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.解答过程中注意应用直线y=x与x轴正向夹角为45°这个条件．
34．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；
②∵﹣＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC=，
∴P点到直线BC的距离的最大值为，
此时点P的坐标为（，）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
35．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）OC=；（2）y=x﹣，抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，坐标为（，﹣）．
【解析】分析：分析：（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；
（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．
详解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC，
∴OC：OB=OA：OC，
∴OC2=OA•OB=3，
则OC=；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，
∴OC=BC，
∴点C的横坐标为，
又OC=，点C在x轴下方，
∴C（，﹣），

（3）点P存在，
设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，

则Q（x，x﹣），
∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，
当x=﹣时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．
点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
36．【广西钦州市2018年中考数学试卷】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；
（2）利用勾股定理计算出BC=5，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即；当时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即，然后分别求出m的值即可得到M点的坐标；
（3）连接DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三边的关系得到DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），然后计算出AD即可．
【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质等，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式、理解坐标与图形性质、会运用分类讨论的思想解决数学问题．
37．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值；
（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+x；（2）k=1；（3）P（﹣2，﹣2+2）．
【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式得出b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用根与系数的关系得出，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，转化已知条件，代入即可得出结论；
（3）先判断出OB=2PQ，进而判断出点C是OB中点，再求出AB解析式，判断出PC∥AB，即可得出PC解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得，，
∴ ，
∴抛物线解析式为y=x2+x；

（3）如图，取OB的中点C，
∴BC=OB，
∵B（4，8），
∴C（2，4），
∵PQ∥OB，
∴点O到PQ的距离等于点O到OB的距离，
∵S△POQ：S△BOQ=1：2，
∴OB=2PQ，
∴PQ=BC，∵PQ∥OB，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴PC∥AB，
∵抛物线的解析式为y=x2+x①，
令y=0，
∴x2+x=0，
∴x=0或x=﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵B（4，8），
∴直线AB解析式为y=x+4，设直线PC的解析式为y=x+m，
∵C（2，4），
∴直线PC的解析式为y=x+2②，
联立①②解得，（舍）或，
∴P（﹣2，﹣2+2）．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握待定系数法，判断出OB=2PQ是解本题的关键．
38．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，.

（1）点的坐标为________，点的坐标为________；抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；
（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.
①若，求点的坐标；
②如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.
【答案】（1），，：，：.（2）①符合条件的点的坐标为或.②.
【解析】分析：（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法求解析式；
（2）①根据P点关于直线CA或关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．
详解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，
则点C坐标为（-6，0），E点坐标为（2，0），
分别利用待定系数法求C1解析式为：y=-x2−4x−6，C2解析式为：y=-x2−2x+6
（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P，如图，


若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CH与抛物线C1的交点即为点P，如图，

易知OH=OA，
∴H（0，-2）
设直线CH的解析式为：y=k2x+b2
∴
解得
∴直线CH的解析式为：y=x-2
联立：，解得或（舍去），
∴；
∴符合条件的点的坐标为或.
②设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
过点作于点，则，

设P(x，-x2−4x−6)
∴，



，
，
，
当时，的最大值为21.
∵，当时，；
当时，；
当时，的取值范围是.
点睛：本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
39．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）（，﹣54）或（，）或（，﹣）

（3）如图2，作MH⊥x轴于H，AC=4，OA=，设M（x，-x2+x）（x＞0），根据三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当时，△OHM∽△OAC，即；当时，△OHM∽△CAO，即，则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M点能以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．
详解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x-），
把A（1，1）代入得a•1（1-）=1，解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-x（x-），
即y=-x2+x；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，

∵A（1，1），
∴OA=，∠DOA=45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2），
易得直线AD的解析式为y=-x+2，
解方程组得或，则C（5，-3），
∴S△AOC=S△COD-S△AOD=×2×5-×2×1=4；
（3）存在．如图2，

作MH⊥x轴于H，AC=，OA=，
设M（x，-x2+x）（x＞0），
∵∠OHM=∠OAC，
∴当时，△OHM∽△OAC，即，
解方程-x2+x =4x得x1=0（舍去），x2=-（舍去），
解方程-x2+x =-4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，-54）；
当时，△OHM∽△CAO，即，
解方程-x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），
解方程-x2+x=-x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，-）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠MON=∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴当M点的坐标为（，-54）或（，）或（，-）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
40．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解析式为y=﹣x2+4；（2）构造的三角形是等腰三角形的概率是；（3）存在，tan∠MAN的值为1或4或．

（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到•（﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．
【详解】（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，
把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，
∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；
（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；
（3）存在，
易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=AC•OB=×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC==4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC==1；
②当N点在BC上，如图2，
BC==2，
∵BC•AN=AC•BC，解得AN=，
∵S△AMN=AN•MN=2，
∴MN==，
∴∠MAC=；
③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，
由②得AH=，则BH=，
∵∠NBG=∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴，即，
∴MN=，
∵AN•MN=2，
即•（﹣t）•=2，
整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为1或4或．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的判定、概率公式、待定系数法、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度；理解二次函数图象的图象变换规律、坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式、记住两点间的距离公式，利用相似比表示线段之间的关系、运用分类讨论思想等是解题的关键.
41．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为
（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=B′D=m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，m），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得：（舍），，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），
∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；
或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点
M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
42．【山东省烟台市2018年中考数学试卷】如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，BD解析式为y=﹣；（2）t的值为、、．（3）N点坐标为（﹣2，﹣2），M点坐标为（﹣，﹣），.

详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=，
∵过点B的直线y=kx+，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD解析式为y=﹣；
（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，

当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴=，即=，
解得t=，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=，
即=，
解得：t=；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴=，即=，
解得：t=，
∴t的值为、、．
（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．
点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
43．【江苏省盐城市2018年中考数学试题】如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P的横坐标为，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积的最大值为8
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（-，），点Q的坐标为（，-）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面积公式找出
S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．
44．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．
（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；
（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．
①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；
②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

【答案】（1）点A（2，0），点C（6，0），点D（4，3），（2）①秒；（2）t=（1﹣）秒或t=秒．
【解析】【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；
（2）①由（1）知BD=AC、BD//OC，根据AB=AD=证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4-3t，解之即可；
②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【详解】（1）在中，令得，令得，
∴点、点，
将点代入抛物线解析式，得：，
解得：，
所以抛物线解析式为，
∵y，
∴点，对称轴为，
∴点C坐标为；
（2）如图1，

由（1）知，

∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴，即，
解得：，
即当时，秒；
②Ⅰ当点N在AB上时，，即，
连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，

∵、，，，
∴，，、，，
∴，

∵、，
∴直线AD解析式为，
∵点E在直线上，
∴点E的坐标为，
∵，
∴，
解得：舍或；
Ⅱ当点N在AD上时，，即，
∵，
∴点E、N重合，此时，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，当时，秒或秒
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，准确构造图形，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.
45．【四川省内江市2018年中考数学试卷】如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；
（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.
【解析】分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y＝kx＋1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，

∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．
46．【山东省威海市2018年中考数学试题】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；
（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4；（2）点D坐标为（﹣1，1）；（3）点P坐标为（，0）或（7，0）；（4）存在（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）

详解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣，
∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，
∴点D在对称轴上，
设点D坐标为（﹣1，m），
过点C做CG⊥l于G，连DC，DB，

∴DC=DB，
在Rt△DCG和Rt△DBH中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点D坐标为（﹣1，1）；
（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）
∴BC=，
∵EF为BC中垂线
∴BE=
在Rt△BEF和Rt△BOC中，
cos∠CBF=,
∴,
∴BF=5，EF=，OF=3
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切，
如图：

①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形P1Q1ER1是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
在Rt△BEF和Rt△FR1P1中
tan∠1=，
∴，
∴r1=，
∵sin∠1=，
∴FP1=，OP1=，
∴点P1坐标为（，0）
②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，
可求r2=，OP2=7
∴P2坐标为（7，0）
∴点P坐标为（，0）或（7，0）

②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等
则点M横坐标为﹣
则M纵坐标为﹣，
由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离，
当点N在D点上方时，点N纵坐标为，
此时点N坐标为（﹣1，），
当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣），
当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．
故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）
点睛：本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．