【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题3.3 二次函数（第03期）（教师版含解析）

这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题3.3 二次函数（第03期）（教师版含解析），共88页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A． 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B． 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C． 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D． 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】D

点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
2．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限，据此即可作出判断.
【详解】∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，
∴△=4﹣4（k+1）＞0，
解得k＜0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，
反比例函数y=的图象在第二四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x轴的交点情况确定出k的取值范围是解本题的关键.
3．二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）
A． a=3±2 B． ﹣1≤a＜2
C． a=3或﹣≤a＜2 D． a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：根据二次函数的图象性质即可求出答案．
详解：由题意可知：方程x2+（a-2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，
即x2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，
当△=0时，
即（a-3）2-12=0，
a=3±2，
当a=3+2时，
此时x=-，不满足题意，
当a=3-2时，
此时x=，满足题意，
当△＞0时，
令y=x2+（a-3）x+3，
令x=1，y=a+1，
令x=2，y=2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：-1≤a≤−，
当a=-1时，此时x=1或3，满足题意；
当a=-时，此时x=2或x=，不满足题意，
综上所述，a=3-2或-1≤a＜−.
故选：D．
点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案。学@科网
4．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A． ﹣＜m＜3 B． ﹣＜m＜2 C． ﹣2＜m＜3 D． ﹣6＜m＜﹣2
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），


【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.
5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（　 ）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断即可得答案．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，读懂图象、掌握二次根式的顶点坐标公式、二次根式图象上一些特特殊点的坐标特征是解题的关键.
6．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.
【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.
7．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
【详解】∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；
∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，
∴点C（0，﹣4），
当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
∴DM=，

如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，

【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（　　）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【来源】黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．
【详解】由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），
可得抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∵y=a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x=4时，y=a×5×1=5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b=﹣2a，c=﹣3a，
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，
整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.
9．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　）

A． 6＜t≤8 B． 6≤t≤8 C． 10＜t≤12 D． 10≤t≤12
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题.
【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键. 学@科网
10．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． m＜﹣1 B． m≥﹣5 C． m＜﹣4 D． m≤﹣4
【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】根据题意可以得到关于m的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m的取值范围．
【详解】∵满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，
∴m＜2x2-x-，
∴m≤﹣4，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（　　）

A． ac＞0 B． b2﹣4ac＜0
C． 对称轴是直线x=2.5 D． b＞0
【来源】辽宁省阜新市2018年中考数学试题
【答案】D

C、∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（-1，0）和（4，0），
∴对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；
D、∵a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，故此选项正确．
故选：D．
点睛：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握各项符号判断方法是解题关键．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；
④≥2．
其中，正确结论的个数为（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】
【分析】
由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.
【详解】
①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵0＜2a≤b，
∴＞1，
∴﹣＜﹣1，
∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；
③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，
∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+b+c≥2b，
∵b＞0，
∴≥2，故④正确，
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.
13．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
详解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
点睛：此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
14．对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）
A． 甲的结果正确
B． 乙的结果正确
C． 甲、乙的结果合在一起才正确
D． 甲、乙的结果合在一起也不正确
【来源】河北省2018年中考数学试卷
【答案】D

当直线经过（0,c）时，c=2此时，恰有两个交点
当直线经过（3,c）时，c=5，此时有一个交点.
综上所述，恰有一个交点时，或c=1.
又∵c为整数，∴c=1,3,4,5
故选D．
【点睛】
本题考查了一段二次函数与一次函数的交点问题，除考虑相切问题外，还要考虑边界点的问题．
二、填空题
15．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题
【答案】y=x2+2
【解析】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
【来源】贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题
【答案】（3，0）．
【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
17．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m．
【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷
【答案】216
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离.
【详解】y=60t﹣=(t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m，
当t=20-4=16时，y=576，
600-576=24，
即最后4s滑行的距离是24m，
故答案为：24.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.
18．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．

【来源】新疆自治区2018年中考数学试题
【答案】②③

详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．

【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】﹣2
【解析】分析：根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（-，-），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
详解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（-，-）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴-=a（-）2，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．学@科网
20．如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为__________．

【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由=，CD=x，得到DE=，CE=，则BE=10－，由ΔDEB的面积S等于△BDE面积的一半，即可得出结论．
详解：∵DE⊥BC，垂足为E，∴tan∠C==，CD=x，∴DE=，CE=，则BE=10－，∴S=S△BED=（10－）•
化简得：．
故答案为：．
点睛：本题考查了动点问题的函数解析式，解题的关键是设法将BE与DE都用含有x的代数式表示．

三、解答题
21．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元.
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大？
【来源】四川省甘孜州2018年中考数学试卷
【答案】（1）；（2）A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大.
【解析】
【分析】
（1）根据“利润=降价后的单件利润×降价后销售的商品的件数”即可得y与x之间的函数解析式；
（2）根据二次函数的性质进行求解即可得.

【点睛】
本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准各数量间的关系列出函数关系式是解题的关键.
22．如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段　NQ的长度等于　 　．

【来源】江苏省镇江市2018年中考数学试卷
【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2﹣3x；（2）①1﹣＜m＜1+，且m≠0；②6
【解析】
【分析】
(1)根据位似的性质得出A′（8，8），B′（6，0），将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法进行求解即可得；
（2）①如图1，由P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，可得P（m，m2﹣3m），根据待定系数法易求得OP的解析是为y=（m﹣3）x，继而可求得Q（2m，2m2﹣6m），过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，证明△OCP∽△ODQ，可得OQ=2OP，然后根据2AP＞OQ，可得AP＞OP，从而可得关于m的不等式，解不等式即可得；
②如图2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m），根据点Q在第一象限，可得m＞3，QQ′的表达式是y=2m2﹣6m，解方程组，可得点Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），继而可得OQ′的解析式为y=﹣mx，从而求得点P′（3﹣m，m2﹣3m），由QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N，求出点M、N的坐标，再根据△Q′P′M∽△QB′N，根据相似三角形的性质可得关于的方程，解方程求出m的值即可得答案.
【详解】
（1）如图1，由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，
得，
∵A（4，4），B（3，0），
∴A′（8，8），B′（6，0），
将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，
得，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x；
（2）①如图1，∵P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，
∴n=m2﹣3m，
∴P（m，m2﹣3m），
设直线OP的解析式为y=kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，
得mk=m2﹣3m，
∴k=m﹣3，
∴OP的解析是为y=（m﹣3）x，
∵OP与y═x2﹣3x交于Q点，
∴，解得（不符合题意舍去），，
∴Q（2m，2m2﹣6m），
过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D，
则OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|2m2﹣6m|，
∵，
∴△OCP∽△ODQ，
∴OQ=2OP，
∵2AP＞OQ，
∴2AP＞2OP，即AP＞OP，
∴，
化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；
②如图2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）
∵点Q在第一象限，
∴，解得m＞3，
由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m，
∵QQ′′交y=x2﹣3x交于点Q′，
，解得（不符合题意，舍），，
∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），

∵M在N左侧，
∴M（，2m2﹣6m），N（，2m2﹣6m），
∵△Q′P′M∽△QB′N，
∴，
∵，
即，
化简得：m2﹣12m+27=0，
解得：m1=3（舍），m2=9，
∴N（12，108），Q（18，108），
∴QN=6，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了几何与代数综合题，涉及了待定系数法、位似图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解不等式等，综合性较强，有一定难度，熟练掌握相关知识，正确画出图形是解题的关键.
23．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【来源】山东省莱芜市2018年中考数学试题
【答案】(1)y=﹣x2+x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是；（3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．
【详解】
（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；
（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，
，
解得，
∴y=-x+3，
设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1
，

（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF=，tan∠CFO==2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2
，
①若∠DCE=∠CFO，
∴tan∠DCE==2，
∴BG=10，
∵△GBH∽BCO，
∴
∴GH=8，BH=6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线CG的解析式为y=x+3，
∴，
解得x=，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，
同理可得BG=，GH=2，BH=，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，
∴，
解得x=或x=0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标．
24．综合与探究
如图，抛物线y=与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

【来源】山西省2018年中考数学试题
【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q点坐标为（，﹣4）或（1，﹣3）； （3）当m=2时，QF有最大值．
【解析】

（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=FQ，再证明△FGP～△AOC得到，则PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，设P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），利用PQ=-m2+m得到FQ=（-m2+m），然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）当y=0，x2−x-4=0，解得x1=-3，x2=4，
∴A（-3，0），B（4，0），
当x=0，y=x2−x-4=-4，
∴C（0，-4）；
（2）AC=，
易得直线BC的解析式为y=x-4，
设Q（m，m-4）（0＜m＜4），
当CQ=CA时，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=，m2=-（舍去），此时Q点坐标为（，-4）；
当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，-3）；
当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=（舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（，-4）或（1，-3）；
（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，

则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC为等腰直角三角形
∴∠OBC=∠QFG=45                                                           
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FG=QG=FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO，
∴∠FPG=∠ACO，
∵∠FGP=∠AOC=90°，
∴△FGP～△AOC．
∴，即，
∴PG=FG=•FQ=FQ，
∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，
∴FQ=PQ，
设P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），
∴PQ=m-4-（m2-m-4）=-m2+m，
∴FQ=（-m2+m）=-（m-2）2+
∵-＜0，
∴QF有最大值．
∴当m=2时，QF有最大值．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．学@科网
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？

【来源】四川省巴中市2018年中考数学试卷
【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【解析】

【详解】
（1）∵C（0，﹣2），
∴OC=2，
由tan∠BCO==2得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=t，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥OC，
∴∠BME=∠BCO，
则tan∠BME=tan∠BCO，即=2，
∴=，即 =，
则BE=t，
∴OE=OB﹣BE=4﹣t，
∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，
①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，
∵△PNE是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，
整理，得：t2﹣11t+10=0，
解得：t=1或t=10＞（舍）；
②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，
又且2t≤5，
∴＜t≤ ，
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，
由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，
整理，得：t2+t﹣10=0，
解得：t=＜0，舍去；或t=＞，舍去；
综上，当t=1时，△PNE是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．
26．如图，已知抛物线（＞0）与轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与轴交于点C。
（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交轴交于点E，若AE:ED＝1:4，求的值.

【来源】湖南省益阳市2018年中考数学试题
【答案】（1）；（2）点P的坐标为 ；（3）.
【解析】

【详解】
（1）若△ABC为直角三角形
∴△AOC∽△COB
∴OC2=AO•OB
当y=0时，0=x2-x-n
由一元二次方程根与系数关系
-OA•OB=OC2
n2=＝−2n
解得n=0（舍去）或n=2
∴抛物线解析式为y=；
（2）由（1）当=0时
解得x1=-1，x2=4
∴OA=1，OB=4
∴B（4，0），C（0，-2）
∵抛物线对称轴为直线x=-＝−
∴设点Q坐标为（，b）
由平行四边形性质可知
当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（，b+2）
代入y=x2-x-2
解得b=，则P点坐标为（，）
当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（-，b-2）
代入y=x2-x-2
解得b=，则P坐标为（-，）
综上点P坐标为（，），（-，）；
（3）设点D坐标为（a，b）
∵AE：ED=1：4
则OE=b，OA=a
∵AD∥AB
∴△AEO∽△BCO
∵OC=n
∴
∴OB=
由一元二次方程根与系数关系得，
∴b=a2
将点A（-a，0），D（a，a2）代入y=x2-x-n

解得a=6或a=0（舍去）
则n= .
【点睛】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．学@科网
27．已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A，和x轴的另一个交点为C．

求抛物线的解析式；
如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值；
如图2，经过点的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求的值．
备注：抛物线顶点坐标公式
【来源】黑龙江省绥化市2018年中考数学试卷
【答案】抛物线的解析式为；；．

先求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为，CP的解析式为，接下来求得点Q和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为，把代入得：，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得，最后，由ab的值可得到的值．
【详解】
把代入得：，解得：，
，
把点A的坐标代入得：，
抛物线的解析式为；
过点D作轴，交A与点H，

设，，
，
当时，DH最大，最大值为，
此时面积最大，最大值为；
把代入，得：，解得：或，
，
设直线CQ的解析式为，CP的解析式为，
，解得：或，
，
同理：，
设直线PQ的解析式为，把代入得：，
，
，
，，
解得：，
又，，
．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a、b的方程组求得ab的值是解题的关键．
28．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

求抛物线的表达式；
求证：AB平分；
抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【来源】甘肃省兰州市2018年中考数学试卷
【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或．
【解析】

【详解】
将，代入得：，
解得：，，
抛物线的解析式为；
，，
，
取，则，

由两点间的距离公式可知，
，，
，
，
在和中，，，，
≌，
，
平分；
如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为，则．
，，
，
，
，
，
，
同理：，
又，
，
，
点M的坐标为或．
【点睛】
本题考查的是二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义等，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键.
29．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【来源】云南省曲靖市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【详解】
（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．学@科网
30．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为=，求出点 E 的坐标；
（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点， 是否存在点 D，使 DA2=DM•DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由．

【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；（2）E 点坐标是（4，）；（3）D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．

【详解】
（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；
（2）∵EF⊥x 轴于点 F，
∴∠AFE=90°，
∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，
∴△AOD∽△AFE，
∵==，
∵AO=1，
∴AF=3，OF=3+1=4，
当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，
∴E 点坐标是（4，）；
（3）存在点 D，使 DA2=DM•DN，理由如下：
设 D 点坐标为（0，n），
AD2=1+n2，
当 y=n 时，﹣x2+x﹣=n
化简，得﹣3x2+21x﹣18﹣4n=0， 设方程的两根为 x1，x2， x1•x2=
DM=x1，DN=x2，
DA2=DM•DN，即 1+n2=，
化简，得
3n2﹣4n﹣15=0， 解得 n1=，n2=3，
∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何综合题，涉及了待定系数法、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与系 数的关系，熟练掌握相关知识，运用数形结合思想进行解题是关键.
31．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；
（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．

【来源】重庆市2018年中考数学试卷（b卷）
【答案】（1）；（2）（3），O2M的长或或或．
【解析】
【分析】
（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；
（2）令y=0，可求得A（-3，0），B（，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=x+，设E（x，x+），P（x，﹣x2﹣x+），表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=x+2，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=-2，此时P（-2，），确定要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，将点P向右平移个单位长度得点P1（-，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（-，-），可得结论；

【详解】
（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，

当x=0时，y=，
∴C（0，），
y=﹣x2﹣x+=-，
∴D（-，），
∴DK=，CK=-=，
∴CD=；
（2）在y=-x2﹣x+中，令y=0，则-x2﹣x+=0，
解得：x1=-3，x2=，
∴A（-3，0），B（，0），
∵C（0，），
易得直线AC的解析式为：y=x+，
设E（x，x+），P（x，-x2﹣x+），
∴PF=-x2﹣x+，EF=x+，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=x+，
∴PE+EC=（-x2﹣x+）-（x+）+（AC-AE），
=-x2-x+ [2-（x+）]，
=-x2-x-x，
=-（x+2）2+，
∴当PE+EC的值最大时，x=-2，此时P（-2，），
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（-，），连接P1B1，则PO1=P1B1，

再作点P1关于x轴的对称点P2（-，-），则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1（-，0），
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C=P2C=，
对应的点O1的坐标为（-，0），
∴四边形PO1B1C周长的最小值为；
（3）O2M的长度为或或2+或2-．
理由是：如图3，
∵H是AB的中点，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2（-2，），
①如图4，AN=MN，


②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=，

③如图6，AM=MN，

∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=；
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，

∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，C1E＝B2O2＝，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
综上所述，O2M的长是或或2+或2−．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．学@科网
32．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【解析】
【分析】
（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
【详解】
（1）y=300﹣10（x﹣44），
即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，
解得x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
33．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①当t=时，面积最小是；②t=、或2.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
【详解】
（1）由已知，B点横坐标为3，
∵A、B在y=x+1上，
∴A（﹣1，0），B（3，4），
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得，
，解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）①如图，过点P作PE⊥x轴于点E，

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度，
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0），
∴EQ=4﹣3t，PE=t，
∵∠PQE+∠NQC=90°，
∠PQE+∠EPQ=90°，
∴∠EPQ=∠NQC，
∴△PQE∽△QNC，
∴，
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2，
∵PQ2=PE2+EQ2，
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=；
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），C（3，0），
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QE=8﹣6t，
∴N点坐标为（3，8﹣6t），
由矩形对边平行且相等，P（﹣1+t，t），Q （3﹣2t，0），
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时，则有
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4，
解得t=，
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，
当N在抛物线上时，8﹣6t=4，
∴t=，
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点睛】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，熟练掌握相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
34．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　 　；
（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．

【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）动点C轨迹的函数表达式y=x2；（3）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用两点间的距离公式即可得出结论；
（2）利用两点间的距离公式即可得出结论；
（3）①先确定出m+n=2k，mn=﹣1，再确定出M（m，﹣），N（n，﹣），进而判断出△AMN是直角三角形，再求出直线AQ的解析式为y=﹣x+，即可得出结论；
②先确定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出结论．

∵点D到点A的距离等于线段AB长度，
∴x2+（y﹣）2=1，
故答案为：x2+（y﹣）2=1；
（2）∵过点B作直线l平行于x轴，
∴直线l的解析式为y=﹣，
∵C（x，y），A（0，），
∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），
∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，
∴x2+（y﹣）2=（y+）2，
∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；
（3）①如图，
设点E（m，a）点F（n，b），
∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，
∴M（m，﹣），N（n，﹣），
∵A（0，），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，
取MN的中点Q，
∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，
∴Q（k，﹣），
∵A（0，），
∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，
∵直线EF的解析式为y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圆的切线；
②∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴==2，
即：为定值，定值为2．

【点睛】本题是代数几何综合题，综合性较强，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出m+n=2k，mn=﹣1是解本题是关键．
35．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4


【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）y=﹣2x2+36x（0
【详解】（1）y=x（36﹣2x）=﹣2x2+36x（0 （2）由题意：﹣2x2+36x=160，
解得x=10或8，
∵x=8时，36﹣16=20＜18，不符合题意，
∴x的值为10；
（3）∵y=﹣2x2+36x=﹣2（x﹣9）2+162，
∴x=9时，y有最大值162，
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600，
∴a+7b=1500，
∴b的最大值为214，此时a=2，
需要种植的面积=0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214=162.8＞162，
∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的性质等是解题的关键. 学@科网
36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）抛物线的解析式为
y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.
【解析】【分析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．
【详解】（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得
A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），
把C点坐标代入函数解析式，得
a（0+3）（0﹣1）=3，
解得a=﹣1，
抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；
（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），
则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴，
∴EF==；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴，
∴EG===2（t+3），
∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．
【点睛】本题考查了代数与几何综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、分式的化简等；解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．
37．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【来源】辽宁省阜新市2018年中考数学试题
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．

详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
38．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【来源】湖北省十堰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）证明见解析；（3）点D的坐标为（，）或（，﹣）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可
（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【详解】（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；

设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，
tan∠PBM=，
∴BM=2PM，
∴4+x2﹣x﹣4=2x，
x2﹣6x=0，
x1=0（舍），x2=6，
∴P（6，8），
易得AP的解析式为：y=x+2，
BC的解析式为：y=x﹣4，
∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE=，
∴E（，0），
∵B（0，﹣4），
易得BE：y=，
则x2﹣x﹣4=x﹣4，
x1=0（舍），x2=，
∴D（，）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，
∵∠BEA=∠BEC，
∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，
∴，
设BE=2m，CE=4m，
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，
∴，
3m2﹣8m+8=0，
（m﹣2）（3m﹣2）=0，
m1=2，m2=，
∴OE=4m﹣4=12或，
∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，
∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，
﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，
x=或0（舍）
∴D（，﹣）；
综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定△BCE与△ABE相似并画出图形是关键．学@科网
39．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【来源】四川省攀枝花市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）①当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1；②存在点Q坐标为（，﹣3）

∴，
∴，
则c=-3，
∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由（1）点D坐标为（1，-4），
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点B坐标为（3，0），
①设点F坐标为（a，b），
∴△BDF的面积S=×（4-b）（a-1）+（-b）（3-a）-×2×4，
整理的S=2a-b-6，
∵b=a2-2a-3，
∴S=2a-（a2-2a-3）-6=-a2+4a-3，
∵a=-1＜0，
∴当a=2时，S最大=-4+8-3=1，
②存在.
由已知点D坐标为（1，-4），点B坐标为（3，0），
∴直线BD解析式为：y=2x-6，
则点E坐标为（0，-6），
连BC、CD，则由勾股定理得，

CB2=（3-0）2+（-3-0）2=18
CD2=12+（-4+3）2=2，
BD2=（-4）2+（3-1）2=20，
∴CB2+CD2=BD2，
∴∠BDC=90°，
∵∠BDC=∠QCE，
∴∠QCE=90°，
∴点Q纵坐标为-3，
代入-3=2x-6，
∴x=，
∴存在点Q坐标为（，-3）
点睛：本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求△BDF面积时，合理设出未知数可以简化计算．
40．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；
②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．

【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】（1）抛物线的解析式是y=﹣x2+4x+5；（2）①当F（﹣4，﹣3）时，S△ABF=6；当F（3，4）时，S△ABF=8；②F点的坐标为（，），（，），（，），（，）．
【解析】【分析】（1）将点A、E的坐标代入利用待定系数法进行求解即可得；
（2）①先利用待定系数法求得直线AE的解析式，然后利用旋转的性质求得点F坐标，分情况进行讨论即可得；
②由题意可知直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，求出平移后的解析式然后分别与二次函数的解析式联立组成方程组进行求解即可得.

当F（﹣4，﹣3）时，如图1，
，
S△ABF=S△BCF﹣S△ABC=BC•|xF|﹣BC•|xA|=BC•（xA﹣xF），
S△ABF=×4（﹣1+4）=6；
当F（3，4）时，如图2，
，
S△ABF=S△BCF+S△ABC=BC•|xF|+BC•|xA|=BC•（xF﹣xA），
S△ABF=×4（3+1）=8；
②如图3，

∵∠HCG=∠ACO，∠HGC=∠COA，∴△HGC∽△COA，
∵OA=OC=1，∴CG=HG=，由勾股定理，得HC==2，
直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，
l的解析是为y=x+3，l1的解析是为y=x﹣1，
联立，
解得，，
，解得，，
F点的坐标为（，），（，），（，），（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及到待定系数法、三角形面积、直线平移等，综合性较强，熟练掌握待定系数法、运用数形结合思想进行解题是关键.
41．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1

（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
【解析】分析：（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；
②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值．
详解：（1）∵OA=1，OB=4，
∴A（1，0），B（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
∵点C（0，﹣）在抛物线上，
∴﹣，
解得a=.
∴抛物线的解析式为y=.
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．
理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，
则tan∠ACO=，
∵tan∠OAD=，
∴∠OAD=∠ACO，

由AC2=OC2+OA2，得AC=，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需或，
则有或，
解得t1=，t2=，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，
理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，

在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，
在△ADC中，由S△ADC= ，
∴CN=，
∴S△AQP+S△AQC= ，
∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．学@科网
43．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．
【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
详解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式是y=x2+x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 ，
解得（不符合题意，舍），，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC=，
|MB﹣MD|取最大值为；

设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴，即，
∴，
解得x1=1，x2=0（舍去），
∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，
∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴，
即=3，
∴，
解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）
∴此时无符合条件的点P，
综上所述，存在点P（1，6）．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．
44．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5，顶点坐标为D（2，﹣9）；（2）①存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；②△PFH周长的最大值为.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）①求出直线BC解析式，表示PF，当PF=DE时，平行四边形存在．
②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值即可．
【详解】（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5，得
，解得：，
∴y=x2﹣4x﹣5=（x-2）2-9，
∴顶点坐标为D（2，﹣9）；
（2）①存在，
设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入得，解得：，
∴BC解析式为y=x﹣5，
当x=m时，y=m﹣5，
∴P（m，m﹣5），
当x=2时，y=2﹣5=﹣3，
∴E（2．﹣3），
∵PF∥DE∥y轴，
∴点F的横坐标为m，

解得m1=3，m2=2（舍去），
当m=3时，y=3﹣5=2，
此时P（3，﹣2），
∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；
②由题意，在Rt△BOC中，OB=OC=5，
∴BC=5，
∴C△BOC =10+5，
∵PF∥DE∥y轴，
∴∠FPE=∠DEC=∠OCB，
∵FH⊥BC，
∴∠FHP=∠BOC=90°，
∴△PFH∽△BCO，
∴，
即C△PFH=，
∵0＜m＜5，
∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合思想并能熟练运用相关知识是解题的关键.
45．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【来源】河南省2018年中考数学试卷
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．学@科网
46．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】（1）-3；（2）y=x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；
（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定二次函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】（1）将（0，﹣3）代入y=x+m，
可得：m=﹣3；
（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，
可得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：


②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，
∴OE=OC•tan60°=3，
设EC为y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，
联立两个方程可得：，
解得：，， ，
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，解方程组、解直角三角形等，熟练掌握待定系数法以及运用分类讨论思想进行解题是解题的关键．学@科网