【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.2 三角形（第03期）（教师版含解析）

这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.2 三角形（第03期）（教师版含解析），共49页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A． 平行 B． 相交 C． 垂直 D． 平行、相交或垂直
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°

②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．学科&网
2．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）

A． 44° B． 40° C． 39° D． 38°
【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=×78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A． 4cm，5cm，9cm B． 8cm，8cm，15cm C． 5cm，5cm，10cm D． 6cm，7cm，14cm
【来源】湖南省长沙市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】
分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
详解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
4．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）

A． 6 B． 2 C． 3 D．
【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷
【答案】C


【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
5．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）

A． ①②③④ B． ②④ C． ①②③ D． ①③④
【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】
分析：只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
详解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正确，
故选：A．
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．
【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】
分析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
详解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选：C．
点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
7．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C． 1 D． 2
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．

易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到AB的距离为，
而CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
故选C．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 学科&网
8．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（　　）

A． 90° B． 95° C． 100° D． 120°
【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题
【答案】B

点睛：本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．
9．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　）

A． △ADF≌△CGE
B． △B′FG的周长是一个定值
C． 四边形FOEC的面积是一个定值
D． 四边形OGB'F的面积是一个定值
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】D

D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
详解：A、连接OA、OC，

∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB、DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G=AD，
∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项B正确；
C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），
故选项C正确；
D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，
过O作OH⊥AC于H，
∴S△OFG=•FG•OH，
由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，
故选项D不一定正确；
故选：D．
点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，
10．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）

A． B． 1 C． D．
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；
详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选：B．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
11．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）

A． 作∠APB的平分线PC交AB于点C
B． 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C． 取AB中点C，连接PC
D． 过点P作PC⊥AB，垂足为C
【来源】河北省2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．学科&网
12．如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（　　）

A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】
【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线的性质，即可得到∠B=∠D=40°．
【详解】∵∠DEC=100°，∠C=40°，
∴∠D=180°-∠DEC-∠C=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D=40°，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质的应用，运用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A． 线段DE B． 线段BE C． 线段EF D． 线段FG
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
【详解】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（　　）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】D

②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE•OC=，，代入可得结论．
【详解】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=，
∴BD=2OD=，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB=BC，BC=AD，
∴OE=AB=AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=，
∴S△AOE=S△EOC=OE•OC=××，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
15．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　）

A． 15 B． 12.5 C． 14.5 D． 17
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
二、填空题
16．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．

【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】6﹣2
【解析】分析：如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得，延长构建方程即可解决问题.
详解：如图作A′H⊥BC于H．


点睛：本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnBn+1Cn的面积为__．（用含正整数n的代数式表示）

【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】（）2n﹣2×
【解析】【分析】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，继而得到△AnBn+1Cn的边长为（）n﹣1×，然后根据等边三角形面积公式进行求解即可得.
【详解】由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，
△A2A3C2是等边三角形，边长为×，
△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，
△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，
…，
△AnBn+1Cn的边长为（）n﹣1×，
∴△AnBn+1Cn的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×，
故答案为：（）2n﹣2×.
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键.
18．如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=__．

【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】2
【解析】【分析】由作法得AD⊥ON于F，再由OP平分∠MON，可得∠EOF=∠MON=30°，在Rt△OEF中，求出OF=EF=，继而在Rt△AOF中，即可求出OA长.
【详解】由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°，
∵OP平分∠MON，∴∠EOF=∠MON=×60°=30°，
在Rt△OEF中，OF=EF=，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，∴OA=2OF=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了尺规作图——垂线，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
19．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=_____．

【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】2
【解析】分析：作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
详解：作EH⊥OA于H，


点睛：本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．学科&网
20．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为_____．

【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】9
【解析】
【分析】设AC与MN的交点为E，只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC=AB=6，从而求得DE、CE长，继而求得AC长，再根据三角形面积公式即可求得S△ADC.
【详解】如图，由作图可知，MN垂直平分线段AC，设AC与MN的交点为E，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC=AB=6，
∴DE=3，CE=，
∴AC=2CE=6，
∴S△ADC=AC•DE=9，
故答案为：9．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键.
21．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____．

【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】75°30′（或75.5°）
【解析】【分析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题.
【详解】∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为：75°30′（或75.5°）．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键.
22．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】9或1
【解析】【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【详解】有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD==5，
CD==4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
23．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】①③④

【详解】①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，故①正确；
②连接OC，
由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，
则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形，故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是：AC2=，故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．

【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷
【答案】（0，21009）
【解析】【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，
∵A1、A2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018==21009，
故答案为：（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
25．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=_____．

【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】

【详解】∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴∠C=60°，CB1=BB1=1，
又∵∠B1B2C=90°，∴∠CB1B2=30°,
∴CB2=，B1B2=，∴S1=，
同理，Rt△B2C1B3中，B2C1=B1B2=，∴C1B3=×=，B2B3=，
∴S2=，
同理，S3=
…，
∴Sn=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键．学科&网
26．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】3.6或4.32或4.8
【解析】【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，
故答案为：3.6或4.32或4.8．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．

【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】2＜AD＜8
【解析】【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，

在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点睛】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
28．（题文）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=_______°．

【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题
【答案】150
【解析】
分析：两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．
详解：如图，

∵m∥n，∠1=110°，
∴∠4=70°，
∵∠2=100°，
∴∠5=80°，
∴∠6=180°-∠4-∠5=30°，
∴∠3=180°-∠6=150°，
故答案为：150．
点睛：本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
29．如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．

【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷
【答案】37

【详解】∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°，
故答案为：37．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．

【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】15
【解析】
分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．

三、解答题
31．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．

【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】（1）75；4；（2）CD=4．
【解析】分析：（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
详解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．

点睛：本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
32．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．

【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由∠3=∠4可以得出∠ABD=∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．
【详解】
证明：∵∠ABC+∠3=180°∠ABD+∠4=180°，且∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴BD=CD．
【点睛】
本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．学科&网
33．下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．

【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析；（4）画图见解析.
【解析】分析：（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；
（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；
（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
详解：（1）如图（1）所示：

（2）如图（2）所示：

（3）如图（3）所示；

（4）如图（4）所示．

点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
34．如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．

【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】证明见解析.

考点：全等三角形的判定.
35．已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．

【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．
【详解】由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠COD=∠C′O′D′，
即∠A'O'B′=∠AOB．
【点睛】本题考查了基本作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图的基本方法以及利用SSS判定三角形全等的方法是解题的关键.
36．如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）如图2：DE﹣BC=DF；图3：BC+DE=DF．
【解析】【分析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．构造全等三角形即可解决问题；
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．
【详解】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴HE=DF，
∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．
∴BC﹣DE=DF．
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．
可得：DE﹣BC=DF；

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，
可得BC+DE=DF．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
37．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题
【答案】证明见解析.

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS证明△ACE≌△BDF．
38．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为或.
【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；
（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，
在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，
∴EK=2FK=4，OF=EK=2，
∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，
在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，
∴OP=.


【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键. 学科&网
39．已知△ABC中，∠A=90°．
（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC=2AD．

【来源】四川省攀枝花市2018年中考数学试题
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）如图1，作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；
（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC，从而得到BC=2AD．
详（1）解：如图1，AD为所作；

（2）证明：延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，
∵CD=BD，AD=ED，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵∠CAB=90°，
∴四边形ABEC为矩形，
∴AE=BC，
∴BC=2AD．
点睛：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的判定与性质．
40．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．
（1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值；
（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【来源】四川省攀枝花市2018年中考数学试题
【答案】（1）coaA=；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【解析】分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；
详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=•AC•BE=，
∴BE=，
在Rt△ABE中，AE=，
∴coaA=．
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵S△PQM=S△QCN，
∴•PQ2=•CQ2，
∴9t2+（9-9t）2=×（5t）2，
整理得：5t2-18t+9=0，
解得t=3（舍弃）或．
∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=QH，
∴3t=（9t-9），
∴t=，
综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
41．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．

【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】证明见解析.
【解析】分析：只要证明△BEO≌△DFO即可；
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
在△BEO和△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO，
∴BE＝DF．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
42．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）∠DEF=∠FDG，证明见解析；②结论：BD=k•DE．理由见解析.
【解析】分析：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E，想办法证明△AEC≌△AED即可；
方法二：如图3中，作∠DCF＝∠DCB，与AB相交于点F，想办法证明∠ACD＝∠ADC即可；
（2）①如图4中，结论：∠DEF＝∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD＝k•DE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK＝∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出＝，推出BK＝k•DE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD＝BK.
解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，
∴△AEC≌△AED，
∴AC=AD；
方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．


（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，
在△DFG中，∠GFD+∠G+∠FDG=180°，
∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，
∴∠DEF=∠FDG．
②结论：BD=k•DE，
理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC，

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，
∴∠EDF=∠ABK．
∵∠DFE=∠A，
∴△DFE∽△BAK，
∴＝，
∴BK=k•DE，
∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．
∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，
∴△BCD≌△BCK，
∴BD=BK，
∴BD=k•DE
点睛：本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题。学科&网