第五讲_命题简单逻辑联结词

第一讲:命题简单逻辑联结词

   本讲主要涉及命题的概念，四种命题及相互关系，简单逻辑联结词（或，且，非）三个方面的知识点

一:命题的相关概念

1.命题

  在数学中我们把用语言，符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称命题，其中判断为真的语句为真命题，判断为假的命题为假命题

  注意:命题的判断把握两个点①陈述句②可以判断真假

举例: ⑴空集是任何集合的子集

      ⑵2+4＝7

      ⑶x＞5

      ⑷今天是星期一吗？

对于上面给出的四个语句，⑴⑵是命题且同时满足既可以判断真假又可是陈述句，但⑶不是命题因为⑶虽然是陈述句，但不能判断真假。⑷也不是命题因为他是疑问句而不是陈述句，因此在判断是否为命题这两个条件①②缺一不可。

2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系

注意：（1）两个命题互为逆否命题，他们具有相同的真假性。

     （2）两个命题为互逆或互否命题，他们真假性没有关系。

4.简易逻辑联结词（且，或，非）

在数学中，用联结词且，或，非把命题p和命题q联结起来就得到一个新的命题，记作p∧q,p∨q,他们的真假关系如下:

注意: (1)对于p且q的真假判断都真为真，有一假为假

     (2)对于p或q的真假判断都假为假，有一真为真

     (3)对于非p的真假判断p和非p的真假相反

5.全称量词和存在量词

6.全称命题和特称命题

二：例题讲解

1.基本概念题型

例1．（2014湖南）已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①   ②  ③  ④中，真命题是（ ）

A．①③      B．①④      C．②③      D．②④

解析：对于P命题是真命题，q命题是假命题，则是假命题，是真命题由此可知①假②真③真④假，所以选C

例2．（2014江西）下列叙述中正确的是（ ）

A．若，则的充分条件是

B．若，则的充要条件是

C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”

D．是一条直线，是两个不同的平面，若，则

解析: 推不出，因为与的符号不确定，当a=0,则由得b=0取c=-2不等式不成立，所以A不正确；当 时，由推不出，所以B不正确；“对任意，有”的否定是“存在，有”，所以C不正确．选D．

例3．（2012湖南）命题“若，则”的逆否命题是（ ）

A．若，则   B．若，则

C．若，则    D．若，则

解析：因为若，则的逆否命题为若，则，所以 若，则的逆否命题是 若，则．选C

例4．（2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

解析：根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B．

例5．（2011山东）已知，命题“若=3，则≥3”，的否命题是（ ）

 A．若，则<3

 B．若，则<3

 C．若，则≥3

 D．若≥3，则

解析：由于否命题是既否定条件，又否定结论，的否定是，≥3的否定是<3，故选A．

2.根据命题真假确定参量的取值范围

①含有逻辑联结词的题型(此类题目先把p,q命题为真命题的前提下求出参量的取值范围，假命题对应的是其参量的补集，然后根据含有逻辑联结词的命题真假进行对p,q命题真假的讨论，最后给出相应参数的取值范围）

例1:(2017届湖北百校联考)设p：实数a满足不等式3a≤9；q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值点．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________．

分析：解此类型的题目首先在p,q为真命题的前提下给出参量的取值范围 

      其次根据p或q为真得知p,q一真一假分类讨论，p和q为假时写出其为真时相应参量a的补集 最后对a的取值范围作并集

解：，得  

函数f(x)无极值点，

恒成立，

由于“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，所以p与q只有一个命题为真命题．

（1）若p真q假，则解得a＜1；

（2）若p假q真，则解得2＜a≤5.

综上（1)(2)实数a的取值范围是(－∞，1)∪(2,5]．

例2：给定命题p：成立；q：关于x的方程有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

分析：p∨q为真命题，p∧q为假命题可知P,q一真一假故写出P和q是真命题时对应a的取值范围，在分类讨论

解：当p为真命题时，

（1）当a=0时，则有1>0恒成立，故满足条件

（2）当时，则有

综合（1）（2）可得

当q为真命题时，关于x的方程有实数根

，

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，

∴p，q一真一假．

（1）若p真q假，则

（2）若p假q真，则

故实数a的取值范围为

例3：已知p：方程有两个不相等的负实根；q：方程无实根，若p或q为真，求m的取值范围．

分析：解此类型的题目首先在p,q为真命题的前提下给出参量的取值范围 

      其次根据p或q为真得知p,q一真一假分类讨论，p和q为假时写出其为真时相应参量m的补集

      最后对m的取值范围作并集

解：当p为真时，

解得，m>2.

当q为真时，

解得，1<m<3.

所以当p或q为真时，m>1.

②全称命题与特称命题中参量的取值范围（此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系以及特称命题为真时与存在性问题的联系）

例1．（2015山东）若“，”是真命题，则实数的最小值为  1  ．

解：，”是真命题“，”恒成立

即令则有

“，”恒成立等价于，

即m的最小值为1

例2：(2017届辽宁大连二模)命题p：“∃，sin2x0＋cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是(D　　)

A．a＜1  B．a＜

C．a≥1  D．a≥

分析： 由题意可知命题p的否定是真命题，则：“，sin2x＋cos2x≤a”应为真命题，即，sin2x＋cos2x≤a恒成立，令，，只需要即可，所以实数a的取值范围是故选D.

③全称命题，特称命题的否定及否命题（注意区分否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论）

例1．（2015浙江）命题“ 且的否定形式是（ D ）

A．且

B．或

C．且

D．或

解析：根据全称命题的否定是特称命题，故命题“且

”的否定为“或”选D．

例2．（2014福建）命题“”的否定是（ C）

A．       B．

C．      D．

解析:根据全称命题的否定把量词“”改为“”，把结论否定，故选C

例3．（2013重庆）命题“对任意，都有”的否定为（ D ）

A．对任意，都有        B．不存在，都有

C．存在，使得         D．存在，使得

解析：否定为：存在，使得，故选D．

例4．（2012湖北）命题“，”的否定是

A．，           B．，

C．，                    D．，

解析：特称命题的否定是全称命题则，对结论否定为

故选D

三：同类型历年真题练习

1．（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，满足，则；

：若复数，则．

其中的真命题为

A．，      B．，      C．，     D．，

25．设z是复数, 则下列命题中的假命题是

A．若, 则z是实数     B．若, 则z是虚数

C．若z是虚数, 则     D．若z是纯虚数, 则

9．（2015新课标）设命题：，，则为

A．            B．

C．            D．

21．（2014陕西）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是

A．真，真，真      B．假，假，真      C．真，真，假     D．假，假，假

33．（2012福建）下列命题中，真命题是

A．                 B．

C．的充要条件是    D．,是的充分条件

37．(2012山东)设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是

A．p为真　　 B．为假　　　 C．为假　　 D．为真

13．(2017届山东潍坊质检)已知命题p：∀x＞0,2ax－ln x≥0.若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是________．

48．（2010安徽）命题“存在，使得”的否定是      

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