高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.2 函数的表示方法课时练习

5.2　函数的表示方法

基础过关练

题组一　函数的表示法及其应用

1.已知函数f(x)由下表给出,则f(11)=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

2.观察下表:

则f(f(-1)-g(3))=(　　)

A.-1 B.-3 C.3 D.5

3.如图,李老师早晨出门锻炼,一段时间内沿半圆形路径M→A→C→B→M匀速慢跑一周,那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是　(　　)

题组二　函数解析式的求法

4.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3x-2 B.2x+3

C.3x+2 D.2x-3

5.若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)等于(　　)

A.-1 B.0

C.1 D.3

6.已知函数f(x)=x-的图象过点(5,4),则实数m的值为　　　　. 

7.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　.  

8.已知函数y=f(x)满足f(x)=2f+3x,那么f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  

9.某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y=ax+,其中,当x=2时,y=100;当x=7时,y=35,且此产品生产件数不超过20.则y关于x的解析式为　　　　　　　　. 

题组三　分段函数问题的解法

10.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考)已知f(x)=则f(2)等于(　　)

A.2 B.3 C.5 D.4

11.已知函数f(x)=则下列函数图象正确的是(　　)

12.函数f(x)=的值域是(　　)

A.R B.[0,+∞)

C.[0,3] D.[0,2]∪{3}

13.已知f(n)=则f(f(8))=　　　　. 

14.已知函数f(x)=1+.

(1)用分段函数的形式表示函数f(x);

(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;

(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g(x)=(x>0)的图象,观察图象,写出当x>0时,不等式f(x)>的解集.

能力提升练

题组一　函数的表示法及其应用

1.(2020河北石家庄二中高一上月考,)若函数f(x-1)=2x-5,且f(2a-1)=6,则a等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.

C. D.

2.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,都有一个确定的y与之对应,不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f的值为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

3.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,)函数y=x+的图象是(　　)

题组二　函数解析式的求法

4.()设函数f:R→R满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 019)=(　　)

A.0 B.1

C.2 019 D.2 020

5.(多选)()已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.f(-3)=4 B.f(x)=

C.f(x)=x2 D.f(3)=9

6.(2020黑龙江哈尔滨第三中学高一上第一次阶段性验收,)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0)的图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)若函数y=g(x)满足g(2x+1)=f(x),求函数y=g(x)的解析式.

题组三　分段函数问题的解法

7.(2019河南济源四中高一上月考,)已知函数f(x)=且f(a)+f(1)=0,则实数a的值为(　　)

A.-3 B.-1

C.1 D.3

8.(多选)()已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A. f(x)的值域为(-∞,4)

B. f(1)=3

C.若f(x)=3,则x的值是

D. f(x)<1的解集为(-1,1)

9.(2019浙江温州十校联合体高一上期末,)设定义在R上的函数f(x),对于给定的正数p,函数fp(x)=则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.关于函数f(x)=x2-2x-1的“2界函数”,下列等式不成立的是(　　)

A. f2(f(0))=f(f2(0)) B. f2(f(1))=f(f2(1))

C. f2(f(2))=f(f2(2)) D. f2(f(3))=f(f2(3))

10.(2020重庆高一上月考,)已知函数f(x)=若f(x)=12,则x=　　　　.易错 

11. (2020北京人大附中高一上期中,)已知函数f(x)=则方程f(x)=x2的解集为　　　　. 

12.(2019山东泰安一中高一上检测,)设函数 f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是　　　　. 

13.()函数y=f(x)的图象如图所示.

(1)求函数y=f(x)的定义域;

(2)求函数y=f(x)的值域;

(3)y为何值时,只有唯一的x值与之对应?

14.(2019湖南衡阳一中高一上第一次检测,)湖南省某自来水公司每个月(记为一个收费周期)对用户收一次水费,收费标准如下:当该用户用水量不超过30立方米时,按每立方米2元收取;当该用户用水量超过30立方米但不超过50立方米时,超出部分按每立方米3元收取;当该用户用水量超过50立方米时,超出部分按每立方米4元收取.

(1)记某用户在一个收费周期的用水量为x立方米,所缴水费为y元,写出y关于x的函数解析式;

(2)在某一个收费周期内,若甲、乙两用户所缴水费的和为214元,且甲、乙两用户用水量之比为3∶2,试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量.

15.()学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系如下:当x∈(0,12]时,图象是开口向下的二次函数图象的一部分,顶点是A(10,80),且过点B(12,78);当x∈(12,40]时,图象是BC所在直线的一部分,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.

(1)试求y=f(x)的函数解析式;

(2)教师在什么时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳?请说明理由.深度解析

答案全解全析

5.2　函数的表示方法

基础过关练

1.C　由题表可知f(11)=4.

2.D　由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4,∴ f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,故选D.

3.D　由题意得,从M到A的过程中,李老师与M的距离在增加,由A经C到B的过程中,李老师与M的距离不变,都是半圆的半径长,由B到M的过程中,李老师与M的距离逐渐减少,故选D.

4.A　设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),则f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b,由f(x-1)=3x-5得ax-a+b=3x-5,

即解得

∴f(x)=3x-2.故选A.

5.A　解法一:令2x+1=t,则x=,故f(t)=(t2-6t+5),

即f(x)=(x2-6x+5),故f(3)=×(32-6×3+5)=-1.

解法二:令2x+1=3,得x=1.

从而f(3)=f(2×1+1)=12-2×1=-1.

6.答案　5

解析　∵f(5)=5-=4,∴m=5.

7.答案　3x-2

解析　 设f(x)=kx+b(k≠0),则整理得

解得所以f(x)=3x-2.

8.答案　f(x)=-x-(x≠0)

解析　函数y=f(x)满足f(x)=2f+3x,即f(x)-2f=3x,

用代替上式中的x,可得f,由消去f,得f(x)=-x-(x≠0).

9.答案　y=x+(0<x≤20且x∈N*)

解析　由题意知

即解得

所以所求函数的解析式为y=x+(0<x≤20,且x∈N*).

10.D　因为f(x)=

所以f(2)=f(5)=f(8)=8-4=4.

11.A　当x=-1时, f(x)=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时, f(x)=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时, f(x)=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.

12.D　当x∈[0,1)时, f(x)∈[0,2);

当x∈[1,2)时, f(x)∈{2};

当x∈[2,+∞)时, f(x)∈{3}.

所以f(x)的值域为[0,2]∪{3}.

13.答案　10

解析　∵f(n)=

∴f(8)=8+5=13,

∴f(f(8))=f(13)=13-3=10.

14.解析　(1)当x≥0时, f(x)=1+=1;

当x<0时, f(x)=1+x+1.

所以f(x)=

(2)函数f(x)的图象如图所示.

(3)函数g(x)=(x>0)的图象如(2)中图象所示,当f(x)>时, f(x)的图象在g(x)的图象的上方,所以由(2)中图象可知f(x)>的解集是{x|x>1}.

能力提升练

1.A　依题意得解得

故选A.

2.D　∵∈(-∞,1],∴f=1,则10f=10,∴f=f(10).

又∵10∈[2,+∞),∴f(10)=3,故选D.

3.C　y=x+根据选项可知C正确.

4.D　f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(0)=1,

当x=0时, f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,

当y=0时, f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,因此f(x)=x+1,

所以f(2 019)=2 020,故选D.

5.AB　令t=2x+1,则x=,

所以f(t)=,

则f(x)=,故B正确,C错误;

f(-3)==4,故A正确;

f(3)==1,故D错误.故选AB.

6.解析　(1)由题意得

解得∴f(x)=-x2-2x+3.

(2)g(2x+1)=f(x)=-x2-2x+3,

设2x+1=t,则x=,

∴g(t)=--2·,∴g(x)=-.

7.A　因为f(1)=2×1=2, f(a)+f(1)=0,

所以f(a)=-2.

若a>0,则f(a)=2a=-2,即a=-1(舍去);

若a≤0,则f(a)=a+1=-2,即a=-3.

综上,实数a的值为-3.

8.AC　当x≤-1时, f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1<x<2时, f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故A正确;当x=1时, f(1)=12=1,故B错误;当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,由x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确;当x≤-1时,由x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,由x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误.故选AC.

9.B　令x2-2x-1=2,解得x=-1或x=3.根据“p界函数”的定义,有f2(x)=所以f2(f(0))=f2(-1)=2, f(f2(0))=f(-1)=2,故A选项中的等式成立;f2(f(1))=f2(-2)=2, f(f2(1))=f(-2)=7,故B选项中的等式不成立;f2(f(2))=f2(-1)=2, f(f2(2))=f(-1)=2,故C选项中的等式成立;f2(f(3))=f2(2)=-1, f(f2(3))=f(2)=-1,故D选项中的等式成立.故选B.

10.答案　2或-2

解析　依题意得或⇒或⇒或⇒x=2或x=-2.

故x的值为2或-2.

易错警示　解分段函数问题时,要根据自变量不同的取值范围确定相应的函数解析式.解题时一要防止出现用错解析式导致解题错误,二要防止出现自变量的取值范围与求出的结果间的逻辑关系错误.

11.答案　 {-1,1}

解析　方程f(x)=x2等价于或解得x=-1或x=1,因此方程f(x)=x2的解集为{-1,1}.

12.答案　(-∞,-1)

解析　当a≥0时,由f(a)>a得a-1>a,解得a<-3,与a≥0矛盾,舍去;

当a<0时,由f(a)>a得>a,整理得a2-1>0,即(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1,因为a<0,所以a<-1.

综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1).

13.解析　(1)由题图知函数y=f(x)的定义域为[-3,0]∪[1,4].

(2)由题图知函数y=f(x)的值域为[-2,2].

(3)由题图知,当y∈(0,2]时,只有唯一的x值与之对应.

14.解析　(1)由题意知,

y=

(2)假设乙用户用水量为30立方米,则甲用户用水量为45立方米,甲、乙两用户所缴水费之和为60+105=165(元),因为165<214,所以甲、乙两用户用水量都超过30立方米.设甲用户用水量为3a立方米,则乙用户用水量为2a立方米.

若甲、乙两用户用水量都超过50立方米,则12a-80+8a-80=214,解得a=18.7,但2a<50,舍去;

若甲、乙两用户用水量都在30到50立方米之间,则9a-30+6a-30=214,解得a≈18.3,但3a>50,舍去;

因此甲用户用水量超过50立方米,乙用户用水量在30到50立方米之间,故12a-80+6a-30=214,解得a=18,则3a=54,2a=36.

综上,甲、乙两用户用水量分别为54立方米、36立方米.

15.解析　(1)①当x∈(0,12]时,设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0),将(12,78)代入,解得a=-,则f(x)=-(x-10)2+80.

②当x∈(12,40]时,设y=kx+b(k≠0),易得y=-x+90.

综上所述,

f(x)=

(2)由题意得f(x)>62,

即或

解得4<x≤12或12<x<28,∴4<x<28.

因此,教师在x∈(4,28)时间段安排核心内容教学,能使学生学习效果最佳.

解题模板　已知函数类型求函数解析式,可用待定系数法解题.在分段函数类型问题中可根据自变量的取值不同,分别设出解析式并进行求解,最后再合并到一起利用函数知识解决实际问题.