北京课改版八年级上册12.8 基本作图优秀学案设计

尺规作图及轴对称

知识点：基本作图

         温故

1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

2、角：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

3、角平分线：如果经过角的顶点的一条射线把一个角分成相等的两个角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。

4、线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

         知新

尺规作图：

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

常见基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

垂直平分线的定理：

定理1：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

定理2：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

4、作已知角的角平分线；

角平分线的性质：

定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等；

定理2：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、过一点作已知直线的垂线；

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .

求作：线段AB，使AB = a .

作法：

（1）       作射线AP；

（2）       在射线AP上截取AB=a .

则线段AB就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.

求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于　　

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　

　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）       作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：

（1）作射线O’A’；

（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；

（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；

（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P是直线AB上一点。

求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过D、Q作直线CD。

则直线CD是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线AB及外一点P。

求作：直线CD，使CD经过点P，

且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过P、Q作直线CD。

则直线CD就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.

作法：

（1）       作线段AB = c；

（2）       以A为圆心，以b为半径作弧，

以B为圆心，以a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）       连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠.

求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.

作法：

（1）       作∠A=∠；

（2）       在AB上截取AB=m ,AC=n；

（3）       连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠，∠，线段m . 

求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.

作法：

（1）       作线段AB=m；

（2）       在AB的同旁

作∠A=∠，作∠B=∠，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

         【百炼成钢】

1、在△ABC，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则的度数为多少度？

2、已知：线段a，c，∠α.

求作：△ABC，使BC=a,AB=c，∠ABC=∠α.

3、某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹必须用铅笔作图）

4、有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

5、已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。

（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹）   （2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE。

6、张庄A、李庄B位于河沿L的同侧，

现在河沿L上修一泵站C向张庄A、李庄B供水，

问泵站修在河沿L的什么地方，所用水管最少？

7、如图，一个人从点P出发，到条形草地OA处让马吃草，然后到河流OB处让马喝水，最后回到点P ,他应该怎样走，行程才最短？

8、已知：在∠AOB内部有两点M和N

求作：点P，使它到∠AOB的两边OA、OB的距离相等并且到点M和N的距离也相等。

9、作图，请你作出以线段a为腰，线段b为底边的等腰△ABC

10、已知：△ABC

求作：点P，使它到点A、B和C的距离都相等。

11、已知：△ABC，∠C = 90°，∠B = 30°把△ABC均匀分成三个大小、形状都相同的三角形。