第23讲 平面向量选择填空压轴题专练
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第23讲 平面向量选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1.(2018天津)如图,在平面四边形中,,,,
. 若点为边上的动点,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为坐标原点,所在直线为轴,建立如图的平面直角坐标系,
因为在平面四边形中,,,
所以,,,设,,
所以,,
因为,所以,
即,解得,即,
因为在上,所以,由,得,即,
因为,,
所以
,令,.
因为函数在 上单调递减,在上单调递增,所以.所以的最小值为,故选A.
2.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立坐标,则,,,设,所以,,
所以,
当时,所求的最小值为,故选B。
3.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记,,,则
A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3
【答案】C
【解析】因为,所以,选C.
4.在中,,,,的交点为,过作动直线分别交线段,于,两点,若,,(,),则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,,三点共线可得存在实数使得,同理由,,三点共线可得存在实数使得,∴,解得,∴,设,则,即,即,故,即的最小值为,故选:D.
5.已知点为内一点,,过作垂直于点,点为线段的中点,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,点为内一点,,过作垂直于点,点为线段的中点,∴,则
.中,利用余弦定理可得,因为可得,所以,∴,故选:D.
6.设向量,,且,,则的值等于( )
A.1 B. C. D.0
【答案】C
【解析】因为,,所以,即,所以,, ,,故选C.
7.如图,点,点在线段的延长线上,分别为的边上的点.若与共线,与共线,则的值为( )
A.-1 B.0 C. 1 D.2
【答案】B
【解析】设,以所在直线为轴,建立直角坐标系,可得,直线的方程为,由于与共线,在的角平分线上,可得所在直线方程是,设与共线得的纵坐标为,将代入直线方程,得,可得直线的方程为,再令得,可得点坐标为,故选B.
8.在正四棱锥中,为正方形的中心,,且平面与直线交于,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为正方形的中心,所以为的中点,又,所以在线段上,平面与交于,即的延长线与交于,在平面中,取的中点,连接,则,所以相似于,相似比为,因此,又,,所以,,故选A.
9.由点向圆:引两条切线,切点为,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设,则,,,,所以的最小值是.
10.在△中,,,是边上的一点,且,则的值为( )
A.0 B.4 C.8 D.
【答案】B
【解析】,
,故选B.
11.在平面内,定点满足,,动点满足,,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】甴已知易得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则.设由已知,得,又,所以,所以,它表示圆上的点与点的距离的平方的,所以,故选B.
二、填空题
12.(2019天津卷理)在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则 .
【答案】
解析 因为,,,所以在等腰三角形中,,
又,所以,所以.
因为,所以.又,
所以
.
13. ,则
【答案】
【解析】 ,则
14.已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是_______.
【答案】4,
【解析】设向量的夹角为,由余弦定理有:,
,则:,
令,则,
据此可得:,
即的最小值是4,最大值是.
15.已知点,,若圆:上存在一点,使得,则正实数的最小值为 .
【答案】.
【解析】由题意可知,问题等价于以为直径的圆与圆有交点,故以为直径的圆:,而圆化为标准方程:,圆心距为,
∴,即实数的最小值是,故填:.
16.分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且,则__________.
【答案】
【解析】依题意有,故.
17.已知正方形的边长为1,当每个取遍时,的最小值是________,最大值是_______.
【答案】最小值为0,最大值为.
解析:正方形ABCD的边长为1,可得,,,
,
由于2,3,4,5,取遍,可得,,
可取,可得所求最小值为0;
由,,
可取可得所求最大值为.
B组
一、选择题
1.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
【答案】A
【解析】如图,建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是,即圆的方程是
,若满足
即 , ,所以,设 ,即,点在圆上,所以圆心到直线的距离,即 ,解得,所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A.
2..设是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点)且,则的值为( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】A
【解析】由题意得:,所以,.设点,
所以由可得:,即. 由双曲
线的第二定义可得:,所以,所以,所以
,故应选.
3.在平面直角坐标系中,设直线与圆交于两点,为坐标原点,若圆上一点满足,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,由,解得,,
由,得,,点在圆上,因此
,解得.故选D.
4.如右图所示,已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于两点,且,则的最小值为( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为三点共线,所以,因为是重心,所以,,所以,化简得,解得题目所给图像可知.由基本不等式得
,即.当且仅当,即时,等号成立,故最小值为.
5.在矩形中,点为的中点,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
.
6.如图,在中,分别是的中点,若,且点落在四边形内(含边界),则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分三种情况讨论:①当在线段上时,设,则.由于,所以,,故;②当在线段上时,设,则.由于,所以,,故;③当在阴影部分内(含边界),则,故选C.
7.在△ABC中,BC=7,.若动点P满足,则点P的轨迹于直线AB,AC所围成的封闭区域的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】.
【解析】设,因为
所以三点共线,所以点的轨迹为直线,如图:
在中,,,,由正弦定理,解得,
,
,,所以,故选B.
二、填空题
8.已知是的中线,,,则的最小值是 .
【答案】
【解析】,,.
9.如图,在菱形中,,,为的中点,则的值是 .
【答案】
【解析】由已知,.
C组
一、选择题
1.如图,在梯形中,,,,,,分别是,的中点,对于常数,在梯形的四条边上恰有8个不同的点,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
以CD中点为坐标原点,CD所在直线为x轴建立直角坐标系,则,当P在CD边上时,设,则;当P在AB边上时,设,则;当P在BC边上时,设,则;当P在AD边上时,设,则;因此实数的取值范围是,选D.
2.已知是内一点,且满足,记,的面积依次为,则等于( )
A. 1:2:3 B. 1:4:9 C. 6:1:2 D. 3:1:2
【答案】D
【解析】取AC、BC中点D、E,连接PA、PB、PC、PD、PE,
由,得,∴, 即;
同理得,∴,;
∴,;∴P到BC的距离等于A到BC距离的,
设的面积为S,则;∴P到AC的距离等于B到AC距离的,
∴,,∴.故选D.
3.已知点,是椭圆上的动点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,因,且,故,所以,
,故应选B.
4.设,点为所表示的平面区域内任意一点,,为坐标原点,为的最小值,则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】.A
【解析】
由题意, f(x)=(0,-5)•(x,y)=-5y,当y取最大值时,f(x)取最小值f(m),
所表示的平面区域如图所示
由,可得y=,所以f(m)=-5×=-5(1-)=-5+,
由于m≥2,所以当m=2时,f(m)max=,故选A.
5.设为抛物线的焦点,为抛物线上三点,若为的重心,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】.C
【解析】试题分析:由条件,∵是的重心,则有,即,而.
6.如图,边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动,则的最大值是( )
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】如图令,由于故,,
如图,AB=1,故,,故,同理可求得,所以,
所以的最大值为2.
二、填空题
7.在直角梯形分别为的中点,点在以为圆心,为半径的圆弧上变动(如图所示).若,其中,则的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】以为坐标原点,分别为轴建立平面直角坐标系,依题意得,,设,依题意,即,,两式相减得,,.
8.在中,,,设交于点,且,,则的值为 .
【答案】.
【解析】由题设可得,即,
也即,所以,解之得,故,应填
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