还剩20页未读，
继续阅读
甘肃省武威市民勤县第六中学2020-2021学年九年级上学期第二次诊断数学【试卷+答案】
展开
这是一份甘肃省武威市民勤县第六中学2020-2021学年九年级上学期第二次诊断数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年甘肃省武威市民勤六中九年级第一学期第二次诊断数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
3．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
6．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
7．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）
A．1500πcm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm2
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
9．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于 °．
14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 ．
15．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 cm．
16．在平面直角坐标系中，点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为 ．
17．⊙O的半径为1，弦AB＝，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB＝ ．
18．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ ．
三、解答题：（共66分）
19．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
21．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长及⊙O的半径．
23．⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，CD＝6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离．
24．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
25．如图：在三角形ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，求其内切圆的半径．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：D．
2．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
解：旋转角∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+90°＝150°．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．
解：∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，
∴点B和点B1关于原点对称，
∵点B的坐标为（2，1），
∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
4．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．
解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；
能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．
故选：A．
5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：B．
6．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．
解：如图，在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∴cos30°＝，
∴OA＝OG÷cos 30°＝2．
这个正六边形的周长＝12．
故选：B．
7．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）
A．1500πcm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
解：烟囱帽所需要的铁皮面积＝×20×2π×15＝300π（cm2）．
故选：B．
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
解：如图所示，连接OA、OB．
∵PA、PB都为圆O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝∠AOB＝×144°＝72°．
故选：B．
9．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝OC＝2，
故选：B．
10．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
解：由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，即OM＝＝＝3；
当OM是半径时最长，OM＝5．
所以OM长的取值范围是3≤OM≤5．
故选：A．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 6π ．
【分析】直接利用弧长的计算公式计算即可．
解：弧长是：＝6π．
故答案是：6π．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于 30 °．
【分析】先判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠C的度数．
解：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°．
故答案为30．
14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 30 ．
【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．
解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝15；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝30．
即△PCD的周长是：30．
故答案为：30．
15．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 2 cm．
【分析】根据题意：过O作OE⊥CD于E，根据垂径定理可以求出AE、CE的长度，AC的长度也就不难求出．
解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝AB＝×10＝5cm，
CE＝CD＝×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为2．
16．在平面直角坐标系中，点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为 2 ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征求解．
解：∵点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，
∴2a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，
故答案为：2．
17．⊙O的半径为1，弦AB＝，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB＝ 45°或135° ．
【分析】根据题意画出图形，先判断出∠AOB＝90°，再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可．
解：∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝45°，
点C在劣弧上时，∠AC'B+∠ACB＝180°，
∴∠AC'B＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACB＝45°或135°，
故答案为：45°或135°．
18．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ 4﹣1 ．
【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA＝1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC
∴OE＝CE＝OC，
∴OE＝，
在Rt△OPE中，
OE＝OP•cos30°＝2，
∴＝2，
∴t＝4﹣1，
故答案为：4﹣1．
三、解答题：（共66分）
19．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
【分析】在等腰△ABD中，根据三角形的外角性质可求出外角∠BAC的度数；而∠BAC、∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOC的度数．
解：△ABD中，AB＝AD，则：∠ABD＝∠D＝30°；
∴∠BAC＝∠ABD+∠D＝30°+30°＝60°；
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
【分析】（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度90°得到点A、B的对应点A1，B1，连接得到△OA1B1即可；根据点A1、B1所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点画出图形，并直接写出答案．
解：（1）如图所示：
A1（0，4），B1（﹣2，4）；
（2）如图所示：
△OAB关于原点O的中心对称图形，点A、B对称点的坐标分别为：A′（﹣4，0），B′（﹣4，﹣2）．
21．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．
【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，得∠ACE＝∠E＝60°，然后由三角形的外角性质即可求出∠DAC的度数．
解：由旋转的性质得：∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，
∵∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝∠E＝60°，
∵∠ACE是△ACD的外角，
∴∠DAC＝∠ACE﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
故答案为：20°．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长及⊙O的半径．
【分析】由切线长定理和AB∥CD可证明∠BOC＝90°，在Rt△BOC中由勾股定理可求得BC，连接OF，利用等积法可求得OF的长，即为半径．
解：
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
连接OF，如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∴OB•OC＝OF•BC，
∴6×8＝10OF，解得OF＝cm，
即⊙O的半径为cm．
23．⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，CD＝6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离．
【分析】先根据题意画出图形，注意圆心与两弦的位置关系有两种情况：同旁或两旁，画出图形，求出OE和OF，即可求解．
解：①当AB、CD在圆心O同侧时，
过O作OE⊥CD交CD于E点，OE交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，
∴OA＝OC＝5cm，CE＝DE＝3cm，AF＝FB＝4cm，E、F、O在一条直线上，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE＝＝4（cm），
同理，OF＝3（cm），
∴EF＝OE﹣OF＝1（cm），
②当AB、CD位于圆心O两旁时，如图所示：
同①可得：OE＝4cm，OF＝3cm；
则AB与CD的距离为：OE+OF＝7（cm）．
综上所述，两弦之间的距离为1cm或7cm．
24．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，再利用等腰三角形的性质求得相应线段即可．
解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴＝2π，
解得n＝120°，
所以展开图中∠DAE＝120°÷2＝60°，
根据勾股定理求得：AD＝，ED＝，
所以蚂蚁爬行的最短距离为BD＝．
25．如图：在三角形ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，求其内切圆的半径．
【分析】作AD⊥BC，设BD＝x，则CD＝8﹣x，根据勾股定理可求出AD的长度，进而求得△ABC的面积，最后根据△ABC的面积＝r（AB+BC+AC），利用等面积法即可求出内切圆半径．
解：过A作AD⊥BC，设内切圆圆心为O，连接OA、OB、OC，如图所示．
设BD＝x，则CD＝8﹣x，
由勾股定理可知，
AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，
即25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，
解得x＝．
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
设内切圆的半径为r，
∴由三角形的内切圆性质可得，
S△ABC＝r（AB+BC+AC）＝10，
∴r＝＝．
即内切圆的半径为．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，求出∠ACB＝90°，求出∠B＝∠OCB＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，根据∠B+∠CAB＝90°推出∠OCA+∠DCA＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，CE，得出OC∥AE，求出∠B＝60°，推出△OBC是等边三角形，△OEA是等边三角形，推出OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC＝S△EOC，得出S阴影＝S△ADC﹣S扇形EOC，分别求出△ADC和扇形EOC的面积，代入后求出即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，又∠MCA＝∠CBA，
∴∠MCA＝∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA＝90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B＝＝，
∴∠B＝60°，
∴OC＝OB＝BC＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO＝∠COB＝60°，
∵OE＝OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC＝S△EOC，
于是S阴影＝S△ADC﹣S扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝6，∴AC＝3，
在Rt△ADC中，AC＝3，∠DCA＝∠B＝60°，∴DC＝，AD＝，
∴S△ADC＝AD•DC＝，而S扇形EOC＝＝，
于是S阴＝S△ADC﹣S扇形EOC＝．
2020-2021学年甘肃省武威市民勤六中九年级第一学期第二次诊断数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
3．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
6．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
7．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）
A．1500πcm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm2
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
9．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于 °．
14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 ．
15．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 cm．
16．在平面直角坐标系中，点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为 ．
17．⊙O的半径为1，弦AB＝，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB＝ ．
18．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ ．
三、解答题：（共66分）
19．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
21．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长及⊙O的半径．
23．⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，CD＝6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离．
24．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
25．如图：在三角形ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，求其内切圆的半径．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：D．
2．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
解：旋转角∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+90°＝150°．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．
解：∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，
∴点B和点B1关于原点对称，
∵点B的坐标为（2，1），
∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
4．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．
解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；
能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．
故选：A．
5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：B．
6．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．
解：如图，在Rt△AOG中，OG＝，∠AOG＝30°，
∴cos30°＝，
∴OA＝OG÷cos 30°＝2．
这个正六边形的周长＝12．
故选：B．
7．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）
A．1500πcm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
解：烟囱帽所需要的铁皮面积＝×20×2π×15＝300π（cm2）．
故选：B．
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
解：如图所示，连接OA、OB．
∵PA、PB都为圆O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝∠AOB＝×144°＝72°．
故选：B．
9．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝OC＝2，
故选：B．
10．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
解：由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，即OM＝＝＝3；
当OM是半径时最长，OM＝5．
所以OM长的取值范围是3≤OM≤5．
故选：A．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 6π ．
【分析】直接利用弧长的计算公式计算即可．
解：弧长是：＝6π．
故答案是：6π．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝OA＝OB，则∠C等于 30 °．
【分析】先判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠C的度数．
解：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°．
故答案为30．
14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 30 ．
【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．
解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝15；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝30．
即△PCD的周长是：30．
故答案为：30．
15．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为 2 cm．
【分析】根据题意：过O作OE⊥CD于E，根据垂径定理可以求出AE、CE的长度，AC的长度也就不难求出．
解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝AB＝×10＝5cm，
CE＝CD＝×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为2．
16．在平面直角坐标系中，点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，则a﹣b的值为 2 ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征求解．
解：∵点P（2，b）与点P′（2a，3）关于原点对称，
∴2a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，
故答案为：2．
17．⊙O的半径为1，弦AB＝，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB＝ 45°或135° ．
【分析】根据题意画出图形，先判断出∠AOB＝90°，再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可．
解：∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝45°，
点C在劣弧上时，∠AC'B+∠ACB＝180°，
∴∠AC'B＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACB＝45°或135°，
故答案为：45°或135°．
18．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ 4﹣1 ．
【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA＝1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC
∴OE＝CE＝OC，
∴OE＝，
在Rt△OPE中，
OE＝OP•cos30°＝2，
∴＝2，
∴t＝4﹣1，
故答案为：4﹣1．
三、解答题：（共66分）
19．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
【分析】在等腰△ABD中，根据三角形的外角性质可求出外角∠BAC的度数；而∠BAC、∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOC的度数．
解：△ABD中，AB＝AD，则：∠ABD＝∠D＝30°；
∴∠BAC＝∠ABD+∠D＝30°+30°＝60°；
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；
（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
【分析】（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度90°得到点A、B的对应点A1，B1，连接得到△OA1B1即可；根据点A1、B1所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
（2）根据关于原点对称的点的坐标特点画出图形，并直接写出答案．
解：（1）如图所示：
A1（0，4），B1（﹣2，4）；
（2）如图所示：
△OAB关于原点O的中心对称图形，点A、B对称点的坐标分别为：A′（﹣4，0），B′（﹣4，﹣2）．
21．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．
【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，得∠ACE＝∠E＝60°，然后由三角形的外角性质即可求出∠DAC的度数．
解：由旋转的性质得：∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，
∵∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝∠E＝60°，
∵∠ACE是△ACD的外角，
∴∠DAC＝∠ACE﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
故答案为：20°．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长及⊙O的半径．
【分析】由切线长定理和AB∥CD可证明∠BOC＝90°，在Rt△BOC中由勾股定理可求得BC，连接OF，利用等积法可求得OF的长，即为半径．
解：
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
连接OF，如图，
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∴OB•OC＝OF•BC，
∴6×8＝10OF，解得OF＝cm，
即⊙O的半径为cm．
23．⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，CD＝6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离．
【分析】先根据题意画出图形，注意圆心与两弦的位置关系有两种情况：同旁或两旁，画出图形，求出OE和OF，即可求解．
解：①当AB、CD在圆心O同侧时，
过O作OE⊥CD交CD于E点，OE交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，
∴OA＝OC＝5cm，CE＝DE＝3cm，AF＝FB＝4cm，E、F、O在一条直线上，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE＝＝4（cm），
同理，OF＝3（cm），
∴EF＝OE﹣OF＝1（cm），
②当AB、CD位于圆心O两旁时，如图所示：
同①可得：OE＝4cm，OF＝3cm；
则AB与CD的距离为：OE+OF＝7（cm）．
综上所述，两弦之间的距离为1cm或7cm．
24．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，再利用等腰三角形的性质求得相应线段即可．
解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴＝2π，
解得n＝120°，
所以展开图中∠DAE＝120°÷2＝60°，
根据勾股定理求得：AD＝，ED＝，
所以蚂蚁爬行的最短距离为BD＝．
25．如图：在三角形ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，求其内切圆的半径．
【分析】作AD⊥BC，设BD＝x，则CD＝8﹣x，根据勾股定理可求出AD的长度，进而求得△ABC的面积，最后根据△ABC的面积＝r（AB+BC+AC），利用等面积法即可求出内切圆半径．
解：过A作AD⊥BC，设内切圆圆心为O，连接OA、OB、OC，如图所示．
设BD＝x，则CD＝8﹣x，
由勾股定理可知，
AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，
即25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，
解得x＝．
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
设内切圆的半径为r，
∴由三角形的内切圆性质可得，
S△ABC＝r（AB+BC+AC）＝10，
∴r＝＝．
即内切圆的半径为．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，求出∠ACB＝90°，求出∠B＝∠OCB＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，根据∠B+∠CAB＝90°推出∠OCA+∠DCA＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，CE，得出OC∥AE，求出∠B＝60°，推出△OBC是等边三角形，△OEA是等边三角形，推出OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC＝S△EOC，得出S阴影＝S△ADC﹣S扇形EOC，分别求出△ADC和扇形EOC的面积，代入后求出即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，又∠MCA＝∠CBA，
∴∠MCA＝∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA＝90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B＝＝，
∴∠B＝60°，
∴OC＝OB＝BC＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO＝∠COB＝60°，
∵OE＝OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC＝S△EOC，
于是S阴影＝S△ADC﹣S扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝6，∴AC＝3，
在Rt△ADC中，AC＝3，∠DCA＝∠B＝60°，∴DC＝，AD＝，
∴S△ADC＝AD•DC＝，而S扇形EOC＝＝，
于是S阴＝S△ADC﹣S扇形EOC＝．
相关试卷
甘肃省武威市民勤县2023-2024学年九上数学期末质量检测试题含答案： 这是一份甘肃省武威市民勤县2023-2024学年九上数学期末质量检测试题含答案，共8页。
甘肃省武威市民勤县2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研试题含答案： 这是一份甘肃省武威市民勤县2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研试题含答案，共9页。
甘肃省民勤县第六中学2023-2024学年八上数学期末联考模拟试题含答案： 这是一份甘肃省民勤县第六中学2023-2024学年八上数学期末联考模拟试题含答案，共6页。试卷主要包含了下列各式中正确的是，下列命题是真命题的是，已知A等内容，欢迎下载使用。
