2021年浙江省湖州市吴兴区中考数学二模【试卷+答案】

这是一份2021年浙江省湖州市吴兴区中考数学二模【试卷+答案】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省湖州市吴兴区中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．﹣5的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
2．2020年湖州市生产总值为3201.4亿元，3201.4亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.32014×1012 B．3.2014×1011
C．32.014×1010 D．3.2014×1010
3．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．

A．0.5 B．1 C．2 D．4
5．引体向上是男生体育中考上肢力量选考科目之一，现有六位男生引体向上成绩如下：7，3，11，8，2，8（单位：个），这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．7，8 B．7.5，8 C．9.5，8 D．7.5，16
6．关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（，） C．（﹣，） D．（4，1）
8．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣2，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（　　）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）

A．2 B． C． D．
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，点P为BC边上一动点，连接AP，在AP左侧构造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．当点P由点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为（　　）

A． B． C．π D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：3x2﹣6xy+3y2＝　 　．
12．如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则∠QPN＝　 　．

13．有三张背面完全相同，正面分别写有如下二次函数：①y＝x2﹣3；②y＝x2+2x+1；③y＝2x2﹣x+3，从中随机抽取一张，则抽出的二次函数的图象与x轴没有交点的概率是 　 　．
14．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 　 　cm．

15．建党百年之际，我们要大力发扬“三牛精神”．现由边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“孺子牛”造型，则矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为 　 　．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABO的顶点A在y轴上，AB＝OB，tan∠AOB＝2，抛物线y＝﹣x2+bx+2过点A．
（1）若点O关于AB中点的中心对称点O'也恰好在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝　 　；
（2）若将△ABO绕点A按逆时针方向旋转45°，得到△A'B'O′，点B'在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：﹣110+|2﹣（﹣3）2|+÷（﹣）．
18．解方程组：．
19．为建设新农村，全面实现“村村亮”，某市在其辖区内的每个村庄都安装了如图1所示的太阳能路灯，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C．已知∠MAC＝75°，∠ACB＝15°，AB＝20cm，BN＝280cm，求点C到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：tan75°≈3.732，tan15°≈0.268，tan60°≈1.732）

20．我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
甲班
a
85
c
70
乙班
85
b
100
160
（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是　 　分，乙班3号选手的预赛成绩是　 　分，　 　班的预赛成绩更平衡，更稳定；
（2）求出表格中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为　 　．

21．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

22．织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
23．（1）发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为 　 　，最小值为 　 　；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 　 　；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；
（3）拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　 　．

24．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标为，将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C．
（1）求k的值与点A的坐标；
（2）若△ABC的面积为2，求平移后的直线函数解析式；
（3）在（2）的条件下，将△ABC绕着点A逆时针旋转∠BAC，求点B、点C旋转后的点B'和C′的坐标．



参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．﹣5的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】依据相反数的定义求解即可．
解：﹣5的相反数是5．
故选：C．
2．2020年湖州市生产总值为3201.4亿元，3201.4亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.32014×1012 B．3.2014×1011
C．32.014×1010 D．3.2014×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
解：3201.4亿＝32014000000＝3.2014×1011，
故选：B．
3．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．

A．0.5 B．1 C．2 D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵点D、E、F分别是各边的中点，
∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，
∴＝＝＝，
∴△EFD∽△ABC，且相似比为，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4cm2，
∴△DEF的面积是1cm2，
故选：B．
5．引体向上是男生体育中考上肢力量选考科目之一，现有六位男生引体向上成绩如下：7，3，11，8，2，8（单位：个），这些成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．7，8 B．7.5，8 C．9.5，8 D．7.5，16
【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可．
解：将这六名学生的成绩从小到大排列为2，3，7，8，8，11，处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5，因此中位数是7.5，
出现次数最多的是8，共出现2次，因此众数是8，
故选：B．
6．关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，解不等式得到m的范围，然后确定m的最小整数值．
解：根据题意得Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，
解得m≥﹣2，
所以m的最小整数值为﹣2．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（，） C．（﹣，） D．（4，1）
【分析】过点B作BD⊥y轴于点C，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，通过说明△BFA≌△AEO可得AF＝OE，BF＝AE；利用B（1，4），可得BD＝1，EF＝4；通过说明四边形ODFE为矩形，可得DF＝OE．计算出线段OE，AE的长即可求得结论．
解：过点B作BD⊥y轴于点C，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，如图，

∵BD⊥y轴，AE⊥x轴，OD⊥OE，
∴四边形ODFE为矩形．
∴EF＝OD，DF＝OE．
∵点B（1，4），
∴OD＝4，BD＝1．
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝AB，∠BAO＝90°．
∴∠OAE+∠BAF＝90°．
∵AE⊥x轴，
∴∠OAE+∠AOE＝90°．
∴∠BAF＝∠AOE．
在△BAF和△AOE中，
，
∴△BAF≌△AOE（AAS）．
∴BF＝AE，AF＝OE．
∴DF＝AF＝OE．
∴OE+AE＝EF＝4，OE﹣AE＝BD＝1．
∴OE＝，AE＝．
∴A（，）．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣2，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（　　）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】当直线y＝kx﹣1过点A时，求出k的值，当直线y＝kx﹣1过点B时，求出k的值，介于二者之间的值即为使直线y＝kx﹣1与线段AB有交点的x的值．
解：①当直线y＝kx﹣1过点A时，将A（﹣2，1）代入解析式y＝kx﹣1得，k＝﹣1，
②当直线y＝kx﹣1过点B时，将B（1，2）代入解析式y＝kx﹣1得，k＝3，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥3或k≤﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB有交点．
故选：A．
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】延长AD、BC，两线交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根据勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
解：延长AD、BC，两线交于O，


在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，点P为BC边上一动点，连接AP，在AP左侧构造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．当点P由点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为（　　）

A． B． C．π D．
【分析】由题意，可知O点的运动轨迹为线段OO'，当P点在B点时，∠OPC＝90°，当P点在C点时，∠ACO＝30°，则△OAO'是等边三角形，求出OO'＝OB＝OP＝，即可求点O的轨迹长．
解：如图，∵∠ACB＝60°，∠AOC＝120°，
∴A、O、P、C四点共圆，
∵OA＝OP，∠AOP＝120°，
∴∠APO＝∠OAP＝30°，
∵＝，
∴∠ACO＝∠APO＝30°，
∴∠ACO＝∠ACB＝30°，
∴点O在∠ACB的角平分线上运动，
∴O点的运动轨迹为线段OO'，
当P点在B点时，∠OPC＝90°，
当P点在C点时，∠ACO＝30°，
∴∠OCB＝30°，
∵AB＝3，
∴OP＝CB•tan30°＝3×＝，
∵OA＝O'A，∠AOO'＝60°，
∴OO'＝OB＝OP＝，
∴点O的运动路径长为，
故选：B．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：3x2﹣6xy+3y2＝　3（x﹣y）2　．
【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．
故答案为：3（x﹣y）2
12．如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，则∠QPN＝　70°　．

【分析】由作图可知，PO＝PQ，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
解：由作图可知，PO＝PQ，
∴∠PQO＝∠O＝35°，
∴∠QPN＝∠O+∠PQO＝70°，
故答案为：70°．
13．有三张背面完全相同，正面分别写有如下二次函数：①y＝x2﹣3；②y＝x2+2x+1；③y＝2x2﹣x+3，从中随机抽取一张，则抽出的二次函数的图象与x轴没有交点的概率是 　　．
【分析】首先确定各个二次函数与x轴的交点个数，然后利用概率公式求解即可．
解：①y＝x2﹣3的图象与x轴没有交点；
②y＝x2+2x+1的图象与x轴有一个交点；
③y＝2x2﹣x+3的图象与x轴有两个交点，
所以从中随机抽取1张，则抽出的二次函数的图象与x轴没有交点的概率是，
故答案为：．
14．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 　12　cm．

【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为60cm，
∴OB＝OC＝30cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），
即水的最大深度为12cm，
故答案为：12．

15．建党百年之际，我们要大力发扬“三牛精神”．现由边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“孺子牛”造型，则矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为 　　．

【分析】七巧板的面积不变，所以可以根据正方形的面积求出“孺子牛”面积，再根据七巧板各边的关系求出矩形面积然后求出比值即可．
解：∵“孺子牛”是由七巧板拼成的，
∴“孺子牛”的面积为2×＝8，
由七巧板各边的关系可以得出，矩形EFGH的宽为2+，长为7+，
∴矩形EFGH的面积为（7+）（2+）＝15+8，
∴矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABO的顶点A在y轴上，AB＝OB，tan∠AOB＝2，抛物线y＝﹣x2+bx+2过点A．
（1）若点O关于AB中点的中心对称点O'也恰好在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝　　；
（2）若将△ABO绕点A按逆时针方向旋转45°，得到△A'B'O′，点B'在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，则b＝　　．

【分析】（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于C，令x＝0可得点A的坐标，根据三角函数的定义可得BC＝2，确定点B的坐标（2，1）代入抛物线的解析式中可得b的值；
（2）如图2，过点B'作B'H⊥AB于H，过H作GM⊥y轴于G，过点B'作B'M⊥GM于M，证明△AHB'是等腰直角三角形，得AH＝B'H＝，证明△AGH≌△HMB'（AAS），根据三角函数可得AG＝HM＝，GH＝B'M＝，确定点B'的坐标，代入抛物线的解析式中可得b的值．
解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于C，
当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵AB＝OB，

∴OC＝OA＝1，
∵tan∠AOB＝＝2，
∴BC＝2，
∴B（2，1），
∴AB的中点坐标为（1，），
∴点O关于AB中点的中心对称点O的坐标为（2，3），
∵该点O'也恰好在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴﹣4+2b+2＝3，
∴b＝；
故答案为：；
（2）如图2，过点B'作B'H⊥AB于H，过H作GM⊥y轴于G，过点B'作B'M⊥GM于M，

由（1）得：AB＝，
由旋转得：AB'＝AB＝，∠BAB'＝45°，
∵∠AHB'＝90°，
∴△AHB'是等腰直角三角形，
∴AH＝B'H＝，
∵∠AGH＝∠GAH+∠AHG＝∠AHG+∠MHB'＝90°，
∴∠GAH＝∠MHB'，
∵∠AGH＝∠M＝90°，AH＝B'H，
∴△AGH≌△HMB'（AAS），
∴GH＝B'M，HM＝AG，
∵tan∠BAO＝＝2，
∴AG＝HM＝，GH＝B'M＝，
∴OG＝2﹣，
∴B'（，2+），
∵点B'在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴﹣++2＝2+，
∴b＝．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．计算：﹣110+|2﹣（﹣3）2|+÷（﹣）．
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算除法运算，最后算算加减运算即可求出值．
解：原式＝﹣1+|2﹣9|+×（﹣）
＝﹣1+7﹣
＝6﹣
＝．
18．解方程组：．
【分析】解此题时先找出某个未知数系数的最小公倍数，用加减消元法进行解答．
解：原方程组变形为：，
（1）﹣（2）得：y＝﹣，
代入（1）得：x＝6．
所以原方程组的解为．
19．为建设新农村，全面实现“村村亮”，某市在其辖区内的每个村庄都安装了如图1所示的太阳能路灯，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C．已知∠MAC＝75°，∠ACB＝15°，AB＝20cm，BN＝280cm，求点C到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：tan75°≈3.732，tan15°≈0.268，tan60°≈1.732）

【分析】如图，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠MAC＝75°，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝∠MAC﹣∠ACB＝60°，
在Rt△CDA中，tan∠MAC＝，
∴CD＝ADtan75°，
在Rt△CDB中，tan∠ABC＝，
∴CD＝BDtan60°，
∴tan75°•AD＝tan60°（AD+AB），
解得：AD≈17.32，
∴DN＝AD+AB+BN＝17.32+20+280≈317（cm），
答：点C到地面的距离约为317cm．

20．我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
甲班
a
85
c
70
乙班
85
b
100
160
（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是　80　分，乙班3号选手的预赛成绩是　100　分，　甲　班的预赛成绩更平衡，更稳定；
（2）求出表格中a＝　85　，b＝　80　，c＝　85　；
（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人预赛成绩的平均分数为　94　．

【分析】（1）结合条形统计图可得甲班2号选手成绩和乙班3号成绩，根据条形统计图给出的数据可判断出成绩稳定性；
（2）根据中位数、平均数和众数的概念求解可得；
（3）根据平均数的定义计算出学校选取的5名同学的预赛成绩的平均数即可得．
解：（1）甲班2号选手的预赛成绩是80分，乙班3号选手的预赛成绩是100分，
由折线统计图知，甲班预赛成绩波动幅度小，
∴甲班的预赛成绩更平衡，更稳定；
故答案为：80，100，甲；

（2）甲班成绩重新排列为75、80、85、85、100，
则甲班成绩的平均数a＝×（75+80+85+85+100）＝85（分），
甲班的众数c＝85（分），
乙班成绩重新排列为70、75、80、100、100，
则中位数b＝80（分），
故答案为：85，80，85；

（3）学校选取的5名同学的预赛成绩为：100，100，100，85，85；
则这5人预赛成绩的平均分数为：（100×3+85×2）÷5＝94 （分）．
21．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；
（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠EBA+∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ABE，由平行线的性质得到∠AED＝∠BAE，等量代换即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
理由：如图2中，连接BE．
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠AED+∠ACD＝90°．


22．织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
（1）求出甲、乙两种拉链的进价；
（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
【分析】（1）甲种拉链的进价的进阶为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意：该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，由题意：专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）求出利润是恒值，即可得出结论．
解：（1）设甲种拉链的进价的进阶为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种拉链的进价的进阶为1.6元，乙种拉链的进价为2元；
（2）设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，
由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18﹣m，
∵m、n为正整数，
∴或或或，
即有4种购买方案：
①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条；
（3）不发生变化，理由如下：
∵利润w＝0.4m+2×25%×（18﹣m）＝9（元），
∴不同方案专卖店获利不发生变化．
23．（1）发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为 　a+r　，最小值为 　a﹣r　；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 　2﹣2　；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；
（3）拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　3﹣3　．

【分析】（1）当P在BA延长线上时，PB最大，PB最大为AB+PA＝a+r，当P在线段BA上时，PB最小，PB最小为：AB﹣PA＝a﹣r；
（2）①由沿EF将△AEF翻折得到△PEF，可知EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的轨迹是以E为圆心，以2为半径的半圆，故当E、P、B共线时，PB最小，此时BE＝＝2，即得PB最小值为：BE﹣EP＝2﹣2；
②连接BC，由△APC和△BPD是等腰直角三角形，可证明△DPA≌△BPC（SAS），即得AD＝BC，故当BC最大时，AD就最大，而AP＝3，△APC是等腰直角三角形，可得当C、A、B共线时，BC最大此为AC+AB＝13，故AD最大为13；
（3）以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，由AB为半圆O的直径，∠ABC＝60°，可得∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，AC＝AB•cos30°＝3，从而有∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，根据∠ADC+∠AGC＝180°，即知D的轨迹是以G为圆心，3为半径的，由∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，得BG＝＝3，即有△BGD中，BD＞3﹣3，可得当G、D、B共线时，BD最小为3﹣3．
解：（1）当P在BA延长线上时，PB最大，如图：

∴PB最大为：AB+PA＝a+r，
当P在线段BA上时，PB最小，如图：

∴PB最小为：AB﹣PA＝a﹣r，
故答案为：a+r，a﹣r；
（2）①如图：

∵沿EF将△AEF翻折得到△PEF，
∴EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的轨迹是以E为圆心，以2为半径的半圆，
∴当E、P、B共线时，PB最小，此时BE＝＝＝2，
∴PB最小值为：BE﹣EP＝2﹣2；
故答案为：2﹣2；
②连接BC，如图：

∵△APC和△BPD是等腰直角三角形，
∴PD＝PB，PA＝PC，∠DPB＝∠APC，
∴∠DPB+∠APB＝∠APC+∠APB，即∠DPA＝∠BPC，
∴△DPA≌△BPC（SAS），
∴AD＝BC，
∴当BC最大时，AD就最大，
∵AP＝3，△APC是等腰直角三角形，
∴AC＝AP＝6，
∵AB＝7，
∴当C、A、B共线时，BC最大，如图：

∴此时BC＝AC+AB＝13，
∴AD最大为13；
（3）以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，如图：

∵AB为半圆O的直径，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝AB•cos30°＝3，
∵CD⊥CP，
∴∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，
∵△GAC是等边三角形，
∴∠AGC＝∠GAC＝60°，GA＝AC＝3，
∴∠ADC+∠AGC＝180°，即D的轨迹是以G为圆心，3为半径的，
而∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，
∴BG＝＝＝3，
△BGD中，BD＞BG﹣GD，
∴BD＞3﹣3，
∴当G、D、B共线时，BD最小，如图：

∴BD最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．
24．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标为，将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C．
（1）求k的值与点A的坐标；
（2）若△ABC的面积为2，求平移后的直线函数解析式；
（3）在（2）的条件下，将△ABC绕着点A逆时针旋转∠BAC，求点B、点C旋转后的点B'和C′的坐标．

【分析】（1）将y＝代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；
（2）根据反比例函数的中心对称性得出B的坐标，过点C作CD∥y轴交AB于点D，则S△ABC＝＝2，求得CD的长就是平移的距离．
（3）分别过B′、C′作y轴的平行线，与过A、B′点分别作的x轴的平行线相交于D、E、F，解析式联立成方程组，求得C的坐标，由直线AB的解析式为y＝x+2可知∠B′AD＝45°，即可求得AD＝BD′＝，即可求得B′的坐标，通过证得△AC′F∽△C′B′E，得出＝＝＝＝，设AF＝a，FC′＝b，则EC′＝2a，EB′＝2b，
即可得到，解得，从而求得C′的坐标．
解：（1）把y＝代入y＝﹣x得，＝﹣，解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
∵反比例函数y＝的图象经过A点，
∴k＝﹣×＝﹣；
（2）∵直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A（﹣，），
∴B（，﹣），
过点C作CD∥y轴交AB于点D，则S△ABC＝＝2，
∴CD＝，
∴平移后的直线函数解析式为y＝﹣+；
（3）分别过B′、C′作y轴的平行线，与过A、B′点分别作的x轴的平行线相交于D、E、F，
由解得或，
∴C（﹣，），
∵AC2＝（﹣+）2+（﹣）2＝2，BC2＝（+）2+（﹣﹣）2＝8，AB2＝（﹣﹣）2+（+）2＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝∠AC′B′＝90°，
设直线AB′的解析式为y＝ax+b，
把A、C的坐标代入得，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝x+2，
∴∠B′AD＝45°，
∴AD＝BD′＝AB′＝AB＝×＝，
∴B′的坐标为（﹣+，+），
∵∠AC′B′＝90°，
∴∠AC′F+∠B′C′E＝90°＝∠C′B′E+∠B′C′E，
∴∠AC′F＝∠C′B′E，
∴△AC′F∽△C′B′E，
∴＝＝＝＝，
设AF＝a，FC′＝b，则EC′＝2a，EB′＝2b，
则，解得，
∴点C′的坐标为（﹣﹣，+）．