2020-2021学年河南省焦作市武陟县八年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省焦作市武陟县八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列所给的图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）长度分别为2，5，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．17cmB．15cmC．13cmD．13cm或17cm
4．（3分）一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20B．10，35C．6，9D．5，5
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
6．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
7．（3分）在△ABC中，∠BAC＝110°，DE，FG分别垂直平分AB，AC，则∠EAG的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．8C．9D．10
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件： ，能使△BAC≌△ABD（只添一个即可）．
12．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为 ．
13．（3分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
14．（3分）如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）如图：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
17．（9分）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A，B，准备建一个燃气控制中心站D，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
18．（9分）如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB＝CD，BC＝AD，请说明：∠A＝∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．
19．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
21．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；
（3）求∠BEC的度数
22．（10分）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以acm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．
（1）若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
（2）若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
23．（11分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．
2020-2021学年河南省焦作市武陟县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列所给的图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：从左到右第三、四个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第一、第二个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以其中是轴对称图形的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2．（3分）长度分别为2，5，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，解不等式，确定x的取值范围，然后可得答案．
【解答】解：∵长度分别是2，5，x的三条线段能组成一个三角形，
∴5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜7，
∴x的值可以是5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．17cmB．15cmC．13cmD．13cm或17cm
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（3分）一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20B．10，35C．6，9D．5，5
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有 条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，
∴360÷45＝8，
∴这个正多边形是正8边形，
∴＝20（条），
∴这个正多边形的对角线是20条．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为 条．
5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，
∵P为MN上任一点，
∴AP＝A'P，
∴△AA'P是等腰三角形，
∴A选项不符合题意；
∵AP＝A'P，CP＝C'P，
∴MN垂直平分AA'、CC'，
∴B选项不符合题意；
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C'面积相等，
∴C选项不符合题意；
∵由轴对称的性质，可知直线AB、A'B'的交点一定在MN上，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的性质是解题的关键．
6．（3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
7．（3分）在△ABC中，∠BAC＝110°，DE，FG分别垂直平分AB，AC，则∠EAG的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质DA＝DB，得到∠DAB＝∠B，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理，∠GAC＝∠C，
∴∠DAB+∠GAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAG＝∠BAC﹣（∠DAB+∠GAC）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
9．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．8C．9D．10
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
10．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件： BD＝AC（本题答案不唯一） ，能使△BAC≌△ABD（只添一个即可）．
【分析】本题要判定△ABD≌△BAC，已知AB是公共边，∠BAC＝∠ABD具备了一组边、一对角对应相等，故添加BD＝AC后可以根据SAS判定△ABD≌△BAC．
【解答】解：添加BD＝AC，证明如下：
在△DAB与△CBA中，
，
∴△DAB≌△CBA（SAS）；
故答案为：BD＝AC（本题答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
12．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为 ﹣1 ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得（a+b）2019的值．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2019＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．（3分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
14．（3分）如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方是 8+4 ．
【分析】连接AE交BF与点O，连接AC交BF于点P，连接PE，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，构造EP+CP的最小为AC的长．
【解答】解：连接AE交BF与点O，连接AC交BF于点P，连接PE，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，
∴点E与点A关于BF所在的直线对称，
∴此时EP+CP的值最小，最小值为EP+CP＝AP+PC＝AC，
∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，
∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，∠EBC＝60°，
在Rt△BCG中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝1，BG＝＝，
∴AC2＝CG2+AG2＝8+4，
即这个最小值的平方为8+4．
故答案为：8+4．
【点评】本题主要考查了最短路径问题以及勾股定理的应用，熟练掌握最短路径模型，作出正确辅助线是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 1或2 ．
【分析】首先由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从∠AFE＝90°与∠EAF＝90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠EFB＝∠B＝30°，DF＝BD，EF＝EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED＝90°﹣∠EFD＝60°，∠BEF＝2∠FED＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，
∴AC＝BC•tan∠B＝3×＝，∠BAC＝60°，
如图①若∠AFE＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠EFD+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，
∴∠FAC＝∠EFD＝30°，
∴CF＝AC•tan∠FAC＝×＝1，
∴BD＝DF＝＝1；
如图②若∠EAF＝90°，
则∠FAC＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴CF＝AC•tan∠FAC＝×＝1，
∴BD＝DF＝＝2，
∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．
【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）如图：
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即得到关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）此处由于三角形ABC的边和相应的高不好求出，可以利用间接方法求出其面积．
（3）根据关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出△A2B2C2的各点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×3×2＝6.5；
（3）如图所示，△A2B2C2的各点坐标为A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
【点评】本题考查的是轴对称变换作图，点的平移及三角形面积的求法，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
17．（9分）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A，B，准备建一个燃气控制中心站D，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
【分析】连接AB，作出∠EOF的平分线OH及线段AB的垂直平分线ED，两线的交点即为所求．
【解答】解：①连接AB，
②先作∠EOF的平分线OH，再作线段AB的垂直平分线ED，ED与OH相交于点D，则D点即为所求点．
同法∠EOF的补角的平分线与线段AB的垂直平分线的交点D′也满足条件．
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，涉及到最短路线问题、线段垂直平分线及角平分线的性质，具有一定的综合性．
18．（9分）如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB＝CD，BC＝AD，请说明：∠A＝∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．
【分析】已知BC＝AD，不能作为证明△OAB，△OCD全等的对应边的条件，通过作辅助线，把他们放到两个三角形中，作为对应边．
【解答】解：∵AB＝CD，BC＝AD，
又∵BD＝DB，
在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠A＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；需要把相等的线段，通过转化，放到两个三角形中，作为对应边，证明三角形全等．
19．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．
【分析】证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，根据全等三角形的判定定理和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
21．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；
（3）求∠BEC的度数
【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可得到判定△ABD≌△ACE的条件；
（2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD＝CE，DE＝AE，进而得到AE+CE＝BE，代入数值即可得出结果；
（3）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出∠BEC的度数．
【解答】（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE 是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵DE+BD＝BE，
∴AE+CE＝BE，
∴BE＝2+3＝5；
（3）解：∵△ADE 是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以acm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．
（1）若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
（2）若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
【分析】（1）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）分两种情况；①当∠BPD＝90°时，由∠B＝60°，得到∠BDP＝30°，求得2BP＝BD＝10，求出x＝2.5；②当∠BDP＝90°时，根据三角形的内角和得到∠BPD＝30°，求出x＝10；即可得到当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝20cm，D是AB的中点，
∴BD＝10cm，
①当BD＝QC，BP＝CP时，△BDP≌△CQP，
∵BC＝16cm，
∴BP＝CP＝8cm，
∵BP＝2t
∴t＝4，
∴CQ＝at＝4a＝10，
∴a＝，
②当BD＝PC，BP＝CQ时，△BDP≌△CPQ，
∴CP＝16﹣2t＝10，
∴t＝3，
∴BP＝6，CQ＝at＝3a＝6，
∴a＝2，
综上所述，当a＝或2时，△BPD和△CQP全等；
（2）①当∠BPD＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BDP＝30°，
∴2BP＝BD＝10，
∴BP＝5，
即2x＝5，
∴x＝2.5；
②当∠BDP＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPD＝30°，
∴BP＝2BD＝20，
即2x＝20，
∴x＝10；
∴当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23．（11分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用已知得出∠CAE＝∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE＝BD+CE；
（2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，得出∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE＝BD，AD＝CE，即可证出DE＝BD+CE；
（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF＝∠CAF＝60°，则∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，则∠DBF＝∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF＝EF．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE．理由如下：
如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（2）如图2，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD+CE＝AE+AD＝DE；
（3）DF＝EF．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CAE，
BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
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日期：2021/10/18 10:18:27；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971