人教版新课标A必修33.2.1古典概型优秀教案

这是一份人教版新课标A必修33.2.1古典概型优秀教案，共11页。


Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
我们一次向上抛掷红、黄、绿三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
1．基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的__随机__事件称为该次试验的基本事件，试验中其他的事件(除不可能事件)都可以用__基本事件__来表示．
(2)特点：一是任何两个基本事件是__互斥的__；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和__．
2．古典概型
(1)定义：如果一个概率模型满足：
①试验中所有可能出现的基本事件只有__有限__个；
②每个基本事件出现的可能性__相等__．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为
P(A)＝__eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)__．
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．某校团委要组建诗歌、绘画、演讲三个协会，某位学生只报了其中的2个，则基本事件共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 这个同学选报的协会可能为(诗歌，绘画)，(诗歌，演讲)，(绘画，演讲)，即有3个基本事件．
2．抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是( A )
A．向上的点数是奇数B．向上的点数是3
C．向上的点数是4D．向上的点数是6
[解析] 向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )
Aeq \f(1,10)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(3,10)D．eq \f(2,5)
[解析] 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)．
4．从1，2，3，6这4个数中一次随机取2个数，则所取2个数乘积为6的基本事件为__(2，3)，(1，6)__．
[解析] ∵所取两个数乘积为6，∴满足条件的基本事件有(2，3)，(1，6)．
5．在平面直角坐标系中，从五个点A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__eq \f(4,5)__．
[解析] 如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个．
而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE，BCD 2个，故构成三角形的概率P(eq \x\t(M))＝1－P(M)＝1－eq \f(2,10)＝eq \f(4,5)．
6．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
[解析] 解法一：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝eq \f(9,10).
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×eq \f(2,20)＋5.5×eq \f(8,20)＋6.5×eq \f(7,20)＋7.5×eq \f(3,20)＝6.05．
解法二：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10)．
(2)同解法一．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨列基本事件的常用法
典例1 将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
[解析] 解法一(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
共36个基本事件．
(2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
解法二(列表法)：
如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36．
(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
解法三(树形图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如下图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
『规律总结』 列基本事件的三种方法及注意点
(1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题．
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求．(注意点：要分清“有序”还是“无序”．)
〔跟踪练习1〕
袋中有红、白、黄、黑四种颜色但大小相同的四个小球．
(1)从中任取一球；
(2)从中任取两球；
(3)先后各取一球．
写出上面试验的基本事件，并指出基本事件的总数．
[解析] (1)这个试验的基本事件为{红}，{白}，{黄}，{黑}，基本事件的总数是4．
(2)一次取两球，如记{红，白}代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的基本事件为{红，白}，{红，黄}，{红，黑}，{白，黄}，{白，黑}，{黄，黑}，基本事件的总数是6．
(3)先后取两球，如记{红，白}代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的基本事件为{红，白}，{白，红}，{红，黄}，{黄，红}，{红，黑}，{黑，红}，{白，黄}，{黄，白}，{白，黑}，{黑，白}，{黄，黑}，{黑，黄}，基本事件的总数是12．
命题方向2 ⇨古典概型的判断
典例2 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
[分析] 根据判断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解．
[解析] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq \f(1,11)．
因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为eq \f(5,11)．
同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为eq \f(3,11)．
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．
『规律总结』 (1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；
①基本事件个数有限，但非等可能．
②基本事件个数无限，但等可能．
③基本事件个数无限，也不等可能．
〔跟踪练习2〕
下列问题中是古典概型的是( D )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
[解析] A，B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无数多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
命题方向3 ⇨古典概型概率的求法
典例3 有编号为A1，A2，…，A9的9道题，其难度系数如下表：
其中难度系数小于0.50的为难题．
(1)从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；
(2)从难题中随机抽取2道，求这2道题的难度系数相等的概率．
[分析] (1)先由题意得到难题的题目数，再求所抽题为难题的概率；(2)求出从难题中随机抽取2道的种数，即可求出这两道题目难度系数相等的概率．
[解析] (1)设“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M，9道题中难题有A1，A4，A6，A7四道．
故P(M)＝eq \f(4,9)．
(2)记从难题中随机抽取2道的基本事件为(A1，A4)，(A1，A6)，(A1，A7)，(A4，A6)，(A4，A7)(A6，A7)共6个，而仅有(A6，A7)的难度系数相等．
故从难题中随机抽取2道，这2道题的难度系数相等的概率为eq \f(1,6)．
『规律总结』 1.对于古典概型，任何事件A的概率为：
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数m,基本事件的总数n)．
2．求古典概型概率的步骤为：
(1)判断是否为古典概型；
(2)算出基本事件的总数n；
(3)算出事件A中包含的基本事件个数m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n)．
在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可．
4．处理较复杂事件的概率时，往往结合互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解．
〔跟踪练习3〕
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
[解析] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝eq \f(5,21)．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 对“有序”与“无序”判断不准
典例4 某校从A，B，C，D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．
[错解] 从A，B，C，D四名同学中随机选两人所得的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3个，∴P(M)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)．
[辨析] 错解中忽视了从A，B，C，D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的．
[正解] 从A，B，C，D四名同学中随机选派两人分别去参加甲、乙两个工厂所得的基本事件有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(C，D)，(D，C)共12个．
记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的基本事件有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，共6个．
∴P(M)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 概率与统计的综合问题
概率与统计相结合，是历年新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，利用相关知识求解即可．
典例5 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)求频率分布图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)受访职工中随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50)的概率．
[分析] (1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；(2)对该部门评分不低于80，即评分在[80，100]，再根据频率分布直方图求出频率，估计概率；(3)求出评分在[50，60)的受访职工人数和评分在[40，50)的受访职工人数，再用列举法列出所有可能，利用古典概型公式解答．
[解析] (1)由题意，得(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006．
(2)由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4．故该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3．
受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有等可能的结果分别是(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种．
其中所抽取的2人的评分都在[40，50)的结果有1种，取出(B1，B2)，
故所求的概率P＝eq \f(1,10)．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．下列试验中是古典概型的是( B )
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析] 根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等．故只有B项是古典概型．
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( C )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
[解析] 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩色的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)．故选C．
3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( D )
A．0.6B．0.5
C．0.4D．0.3
[解析] 设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为eq \f(3,10)＝0.3．
4．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则lgab为整数的概率是__eq \f(1,6)__．
[解析] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，(a，b)的所有可能结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种，其中lg28＝3，lg39＝2为整数，所以lgab为整数的概率为eq \f(1,6)．
5．连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b2)＝4 相切的概率为__eq \f(1,18)__．.
[解析] 连掷骰子两次得到的点数(a，b)有36个，使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切，则满足eq \f(|3a－4b|,5)＝2，即|3a－4b|＝10，满足|3a－4b|＝10的点为(2，4)，(6，2)，共2个，故所求概率P＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)．
6．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16)．
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)．
事件C包含的基本事件共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以P(C)＝eq \f(5,16)，
因为eq \f(3,8)>eq \f(5,16)，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．组号
分组
频数
1
[4，5)
2
2
[5，6)
8
3
[6，7)
7
4
[7，8]
3
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
难度系数
0.48
0.56
0.52
0.37
0.69
0.47
0.47
0.58
0.50