高中数学人教版新课标A必修33.2.1古典概型精品课时作业

这是一份高中数学人教版新课标A必修33.2.1古典概型精品课时作业，共6页。

A级 基础巩固
一、选择题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(8,25) D．eq \f(9,25)
[解析] 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)．
2．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,6)
[解析] 从1，2，3，4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1，3}，{2，4}，故所求概率是eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)．
3．有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9．从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(7,10)
C．eq \f(3,10)D．eq \f(9,10)
[解析] 从这五条线段中任取三条，所有基本事件为(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)共10个，其中不能构成三角形的有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为eq \f(7,10)．
4．在第1，3，4，5，8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( D )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(2,5)
[解析] 由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等车这，事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝eq \f(2,5)．
二、填空题
5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__eq \f(2,3)__．
[解析] 设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__eq \f(3,10)__．
[解析] 设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为eq \f(3,10)．
三、解答题
7．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．
[解析] 由题图可得，甲组同学答对题目的个数分别为：8，9，11，12，
∴eq \x\t(x)甲＝eq \f(8＋9＋11＋12,4)＝10，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,4)×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝eq \f(5,2)．
(2)由题图可得，乙组同学答对题目的个数分别为：8，8，9，11．分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，设“这两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，以(x，y)记录甲、乙两组同学答对题目的个数，基本事件有：(8，8)，(8，8)，(8，9)，(8，11)，(9，8)，(9，8)，(9，9)，(9，11)，(11，8)，(11，8)，(11，9)，(11，11)，(12，8)，(12，8)，(12，9)，(12，11)，共16个．
事件A包含的基本事件有：(9，11)，(11，9)，(12，8)，{12，8)，共4个．故P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4)．
8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解析] (1)抽样比为eq \f(6,27＋9＋18)＝eq \f(1,2)，所以应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2．
(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，所以事件A发生的概率P(A)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)．
B级 素养提升
一、选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是( C )
A．1B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,8)
[解析] 集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为eq \f(8,32)＝eq \f(1,4)．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
[解析] 记三个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)．
二、填空题
3．已知集合A＝{0，1}，B＝{2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为__eq \f(1,2)__．
[解析] 集合A＝{0，1}，B＝{2，3，4}，从A，B中各取一个数，有2×3＝6(种)取法，这两个数之和不小于4的情况为0＋4，1＋3，1＋4，共3种．故这两个数之和不小于4的概率P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)．
4．从集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为__eq \f(1,3)__．
[解析] 点P(m，n)的所有结果有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事件A即m2＋n2<9，则A包含的结果有(2，1)，(2，2)共2种，
∴P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)．
三、解答题
5．某地区有小学21所、中学14所、大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3；2所中学分别记为A4，A5；1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)．
C级 能力拔高
1．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[解析] (1)因x，y都可取1，2，3，4，5，6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．
记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)6个，所以事件A的概率P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)．
(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6个数对；
事件C包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个数对．
由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，P(C)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．
2．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20，25)之间的工人有6位．
(1)求m；
(2)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？
[解析] (1)根据直方图可知产品件数在[20，25)内的频率为5×0.06＝0.3，
则有0.3m＝6，解得m＝20．
(2)根据直方图可知产品件数在[10，15)，[15，20)组内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10，15)的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15，20)的4人分别是C，D，E，F．
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，2位工人不在同一组的结果有：
(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种，
则选取这2人不在同一组的概率为eq \f(8,15)．