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数学3.3.1几何概型精品教案及反思
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这是一份数学3.3.1几何概型精品教案及反思，共9页。
Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
1777年的一天，法国数学家蒲丰邀请许多朋友到家里，要做一次实验．他在桌上铺好一张大白纸，白纸上画满了一条条等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，每根小针的长度都是平行线间距离的一半．然后对客人说：“请大家把这些小针一根一根地往这张白纸上随便扔吧！”客人们你看看我，我看看你，谁也弄不清楚他要干什么，但还是把小针一根一根地往白纸上乱扔．扔完后，蒲丰让他们把针捡起来再扔，同时蒲丰在一旁认真地记数．他统计的结果是：大家共掷了2212次，其中小针与纸上平行线相交704次．接着蒲丰做了一次除法：2212÷704≈3.142，最后他宣布说：“诸位，这个数就是圆周率π的近似值．”客人们觉得十分奇怪：这样乱扔和圆周率π怎么会有关系呢？同学们，你们知道这是为什么吗？
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
1．几何概型
(1)定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度__(面积或体积)成__比例__，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型．
(2)计算公式．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
P(A)＝__eq \f(构成事件A的区域长度或面积或体积,试验的全部结果构成的区域长度或面积或体积)__．
2．均匀分布
当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是__等可能__的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀__随机数__．
3．几何概型与古典概型的异同
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．下列关于几何概型的说法错误的是( A )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
[解析] 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限个，古典概型中的基本事件有有限个．
2．在区间[－1，4]上随机选取一个实数x，则x≤1的概率为( A )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(2,3)
[解析] 在区间[－1，4]上随机选取一个实数x，x≤1的概率P＝eq \f(1－－1,4－－1)＝eq \f(2,5)．
3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(π,8)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(π,4)
[解析] 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq \f(1,2)S圆＝eq \f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq \f(S黑,S正方形)＝eq \f(\f(π,2),2×2)＝eq \f(π,8)．
故选B．
4．在1 000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__eq \f(3,1 000)__．
[解析] 发展草履虫的概率P＝eq \f(3,1000).
5．在两根相距8 m的木杆间系一根绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3 m的概率．
[解析] 记“警示灯与两杆的距离都大于3 m”为事件A．
整个事件所占的长度为8 m，事件A所占的长度为8－3－3＝2(m)，
∴P(A)＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨与长度有关的几何概型
典例1 如图所示，A，B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？
[分析] 在A，B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件．
[解析] 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10m”，把AB三等分，由于中间长度为30×eq \f(1,3)＝10(m)，∴P(E)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)．
『规律总结』 与长度有关的几何概型问题综述：
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度 ,试验的全部结果所构成的区域长度)．
(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
(3)几何概型的计算步骤：
①判断是否为几何概型；
②确定并计算基本事件空间；
③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；
④代入公式计算．
(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
〔跟踪练习1〕
在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1”发生的概率为( A )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
[解析] 由－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1得 eq lg\s\d8(\f(1,2)) 2≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)≤x＋eq \f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq \f(3,2)，故事件“－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1”发生的概率为eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4)．
命题方向2 ⇨与面积有关的几何概型问题
典例2 如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm，2 cm．某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
[分析] eq \x(求正方形面积)→eq \x(求大、中、小圆的面积)→eq \x(求事件的概率)
[解析] 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm2)，
设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．
由几何概型的概率公式，得
(1)P(A)＝eq \f(dA,D)＝eq \f(36π,256)＝eq \f(9,64)π，即投中大圆内的概率为eq \f(9,64)π．
(2)P(B)＝eq \f(dB,D)＝eq \f(12π,256)＝eq \f(3,64)π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为eq \f(3,64)π．
(3)P(C)＝eq \f(dC,D)＝eq \f(256－36π,256)＝1－eq \f(9π,64)，
即投中大圆之外的概率为1－eq \f(9π,64)．
『规律总结』 与面积有关的几何概型问题解法：
(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域面积,试验的全部结果所构成的区域面积)．
(2)解几何概型问题的关键点：
①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．
②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
〔跟踪练习2〕欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为6 cm的圆，中间有边长为3 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是__eq \f(1,π)__．
[解析] 由题意，得直径为6 cm的圆的面积为π×(eq \f(6,2))2＝9π(cm2)，
边长为3 cm的正方形的面积为3×3＝9(cm2)，
故所求概率P＝eq \f(9,9π)＝eq \f(1,π)．
命题方向3 ⇨与体积有关的几何概型的问题
典例3 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( C )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
[解析] 由三视图可知DA，DC，DF两两垂直，且DA＝DC＝DF＝a，
∴VF－AMCD＝eq \f(1,3)S梯形AMCD·DF＝eq \f(1,4)a3．
又VADF－BCE＝eq \f(1,2)a3，∴蜻蜓飞入几何体F－AMCD内的概率为P＝eq \f(VF－AMCD,VADF－BCE)＝eq \f(1,2)．
『规律总结』 体积型几何概型问题解法探秘：
1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝eq \f(构成事件A的体积,试验的全部结果构成的体积)．
2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
〔跟踪练习3〕
一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为( A )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(π,45) D．eq \f(45－π,45)
[解析] 长方体的体积为5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3×2×1＝6．根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为eq \f(1,60)＝eq \f(1,10)．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 几何度量的选择错误
典例4 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M．求AM[错解] 在AB上取AC′＝AC，在∠ACB内部作射线CM，则所求概率为eq \f(AC′,AB)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(2),2)．
[辨析] 错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C作射线CM，错解中先在AB上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误．
[正解] 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝eq \f(180°－45°,2)＝67.5°．
设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，
∴P(A)＝eq \f(67.5°,90°)＝eq \f(3,4)．
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 几何概型在实际中的应用
将实际问题转化为几何概型问题，进而利用几何概型问题的处理方法求解．
典例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
[分析] 1．已知甲、乙两人约定在6时到7时之间会面，先到者等候另一人一刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达的时刻是随机的，这是一个测度为面积的二维几何概型，要求的是两人能会面的概率．
2．设甲、乙两人到达的时刻分别为x，y，把x，y所满足的关系表示的区域找出来，再把所求事件表示的区域找出来，分别计算面积．
[解析] 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x－y|≤15．在如图所示的平面直角坐标系下(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得P(A)＝eq \f(SA,S)＝eq \f(602－452,602)＝eq \f(3600－2025,3600)＝eq \f(7,16)．
所以两人能会面的概率是eq \f(7,16)．
『规律总结』 (1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
(2)“面积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．在区间(10，20)内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( C )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,7)
C．eq \f(3,10) D．eq \f(7,10)
[解析] 要使实数a＜13，则要a∈(10，13)，∴实数a＜13的概率为P＝eq \f(13－10,20－10)＝eq \f(3,10)．
2．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
[解析] 本题主要考查几何概型概率．
由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为eq \f(1,2)．
3．某人从甲地去乙地共走了500 m，途经一条宽为x m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里则能找到，已知该物品能被找到的概率为eq \f(4,5)，则河宽为( B )
A．80 mB．100 m
C．40 mD．50 m
[解析] 由已知易得：l从甲地到乙＝500，l途中涉水＝x，故物品遗落在河里的概率P＝eq \f(x,500)＝1－eq \f(4,5)＝eq \f(1,5)，∴x＝100 m．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( A )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,60)
[解析] 以O为起点作射线，设为OA，则射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠BOT内的概率只与∠BOT的大小有关，符合几何概型的条件．设事件“射线OA落在锐角∠BOT内”，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P(A)＝eq \f(60°,360°)＝eq \f(1,6)．
5．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是__eq \f(π,8)__．
[解析] 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为eq \f(\f(1,2)π×12,2×2)＝eq \f(π,8)．
6．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min的概率．
[解析] ∵假设他在0 min～60 min这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“等待时间不多于10 min”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60．所以P(A)＝eq \f(μA,μΩ)＝eq \f(10,60)＝eq \f(1,6)．
概率类型
不同点
相同点
几何概型
试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个
每个基本事件出现的可能性一样，即满足等可能性
古典概型
试验中的所有可能出现的结果只有有限个
Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
1777年的一天，法国数学家蒲丰邀请许多朋友到家里，要做一次实验．他在桌上铺好一张大白纸，白纸上画满了一条条等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，每根小针的长度都是平行线间距离的一半．然后对客人说：“请大家把这些小针一根一根地往这张白纸上随便扔吧！”客人们你看看我，我看看你，谁也弄不清楚他要干什么，但还是把小针一根一根地往白纸上乱扔．扔完后，蒲丰让他们把针捡起来再扔，同时蒲丰在一旁认真地记数．他统计的结果是：大家共掷了2212次，其中小针与纸上平行线相交704次．接着蒲丰做了一次除法：2212÷704≈3.142，最后他宣布说：“诸位，这个数就是圆周率π的近似值．”客人们觉得十分奇怪：这样乱扔和圆周率π怎么会有关系呢？同学们，你们知道这是为什么吗？
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
1．几何概型
(1)定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度__(面积或体积)成__比例__，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型．
(2)计算公式．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
P(A)＝__eq \f(构成事件A的区域长度或面积或体积,试验的全部结果构成的区域长度或面积或体积)__．
2．均匀分布
当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是__等可能__的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀__随机数__．
3．几何概型与古典概型的异同
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．下列关于几何概型的说法错误的是( A )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
[解析] 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限个，古典概型中的基本事件有有限个．
2．在区间[－1，4]上随机选取一个实数x，则x≤1的概率为( A )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(2,3)
[解析] 在区间[－1，4]上随机选取一个实数x，x≤1的概率P＝eq \f(1－－1,4－－1)＝eq \f(2,5)．
3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(π,8)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(π,4)
[解析] 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq \f(1,2)S圆＝eq \f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq \f(S黑,S正方形)＝eq \f(\f(π,2),2×2)＝eq \f(π,8)．
故选B．
4．在1 000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__eq \f(3,1 000)__．
[解析] 发展草履虫的概率P＝eq \f(3,1000).
5．在两根相距8 m的木杆间系一根绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3 m的概率．
[解析] 记“警示灯与两杆的距离都大于3 m”为事件A．
整个事件所占的长度为8 m，事件A所占的长度为8－3－3＝2(m)，
∴P(A)＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨与长度有关的几何概型
典例1 如图所示，A，B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？
[分析] 在A，B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型的条件．
[解析] 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10m”，把AB三等分，由于中间长度为30×eq \f(1,3)＝10(m)，∴P(E)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)．
『规律总结』 与长度有关的几何概型问题综述：
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度 ,试验的全部结果所构成的区域长度)．
(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
(3)几何概型的计算步骤：
①判断是否为几何概型；
②确定并计算基本事件空间；
③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；
④代入公式计算．
(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
〔跟踪练习1〕
在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1”发生的概率为( A )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
[解析] 由－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1得 eq lg\s\d8(\f(1,2)) 2≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)≤x＋eq \f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq \f(3,2)，故事件“－1≤ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x＋eq \f(1,2))≤1”发生的概率为eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4)．
命题方向2 ⇨与面积有关的几何概型问题
典例2 如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm，2 cm．某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
[分析] eq \x(求正方形面积)→eq \x(求大、中、小圆的面积)→eq \x(求事件的概率)
[解析] 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm2)，
设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．
由几何概型的概率公式，得
(1)P(A)＝eq \f(dA,D)＝eq \f(36π,256)＝eq \f(9,64)π，即投中大圆内的概率为eq \f(9,64)π．
(2)P(B)＝eq \f(dB,D)＝eq \f(12π,256)＝eq \f(3,64)π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为eq \f(3,64)π．
(3)P(C)＝eq \f(dC,D)＝eq \f(256－36π,256)＝1－eq \f(9π,64)，
即投中大圆之外的概率为1－eq \f(9π,64)．
『规律总结』 与面积有关的几何概型问题解法：
(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域面积,试验的全部结果所构成的区域面积)．
(2)解几何概型问题的关键点：
①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．
②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
〔跟踪练习2〕欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为6 cm的圆，中间有边长为3 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是__eq \f(1,π)__．
[解析] 由题意，得直径为6 cm的圆的面积为π×(eq \f(6,2))2＝9π(cm2)，
边长为3 cm的正方形的面积为3×3＝9(cm2)，
故所求概率P＝eq \f(9,9π)＝eq \f(1,π)．
命题方向3 ⇨与体积有关的几何概型的问题
典例3 一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( C )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
[解析] 由三视图可知DA，DC，DF两两垂直，且DA＝DC＝DF＝a，
∴VF－AMCD＝eq \f(1,3)S梯形AMCD·DF＝eq \f(1,4)a3．
又VADF－BCE＝eq \f(1,2)a3，∴蜻蜓飞入几何体F－AMCD内的概率为P＝eq \f(VF－AMCD,VADF－BCE)＝eq \f(1,2)．
『规律总结』 体积型几何概型问题解法探秘：
1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝eq \f(构成事件A的体积,试验的全部结果构成的体积)．
2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
〔跟踪练习3〕
一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为( A )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(π,45) D．eq \f(45－π,45)
[解析] 长方体的体积为5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3×2×1＝6．根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为eq \f(1,60)＝eq \f(1,10)．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 几何度量的选择错误
典例4 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M．求AM
[辨析] 错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C作射线CM，错解中先在AB上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误．
[正解] 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝eq \f(180°－45°,2)＝67.5°．
设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM
∴P(A)＝eq \f(67.5°,90°)＝eq \f(3,4)．
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 几何概型在实际中的应用
将实际问题转化为几何概型问题，进而利用几何概型问题的处理方法求解．
典例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
[分析] 1．已知甲、乙两人约定在6时到7时之间会面，先到者等候另一人一刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达的时刻是随机的，这是一个测度为面积的二维几何概型，要求的是两人能会面的概率．
2．设甲、乙两人到达的时刻分别为x，y，把x，y所满足的关系表示的区域找出来，再把所求事件表示的区域找出来，分别计算面积．
[解析] 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x－y|≤15．在如图所示的平面直角坐标系下(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得P(A)＝eq \f(SA,S)＝eq \f(602－452,602)＝eq \f(3600－2025,3600)＝eq \f(7,16)．
所以两人能会面的概率是eq \f(7,16)．
『规律总结』 (1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
(2)“面积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．在区间(10，20)内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( C )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,7)
C．eq \f(3,10) D．eq \f(7,10)
[解析] 要使实数a＜13，则要a∈(10，13)，∴实数a＜13的概率为P＝eq \f(13－10,20－10)＝eq \f(3,10)．
2．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
[解析] 本题主要考查几何概型概率．
由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为eq \f(1,2)．
3．某人从甲地去乙地共走了500 m，途经一条宽为x m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里则能找到，已知该物品能被找到的概率为eq \f(4,5)，则河宽为( B )
A．80 mB．100 m
C．40 mD．50 m
[解析] 由已知易得：l从甲地到乙＝500，l途中涉水＝x，故物品遗落在河里的概率P＝eq \f(x,500)＝1－eq \f(4,5)＝eq \f(1,5)，∴x＝100 m．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是( A )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,60)
[解析] 以O为起点作射线，设为OA，则射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠BOT内的概率只与∠BOT的大小有关，符合几何概型的条件．设事件“射线OA落在锐角∠BOT内”，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P(A)＝eq \f(60°,360°)＝eq \f(1,6)．
5．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是__eq \f(π,8)__．
[解析] 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为eq \f(\f(1,2)π×12,2×2)＝eq \f(π,8)．
6．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min的概率．
[解析] ∵假设他在0 min～60 min这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
设事件A＝“等待时间不多于10 min”，事件A发生是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，所以μA＝60－50＝10，μΩ＝60．所以P(A)＝eq \f(μA,μΩ)＝eq \f(10,60)＝eq \f(1,6)．
概率类型
不同点
相同点
几何概型
试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个
每个基本事件出现的可能性一样，即满足等可能性
古典概型
试验中的所有可能出现的结果只有有限个
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