人教版·重庆市北碚区等四区联考2020-2021学年度第一学期期末八年级数学试卷（含答案）

这是一份人教版·重庆市北碚区等四区联考2020-2021学年度第一学期期末八年级数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是±3．其中，正确的有（　　）
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
2．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．ab﹣a2＝a（b﹣2a） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x+1＝x（1+） D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（　　）

A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
4．已知实数a，b为△ABC的两边，且满足﹣4b+4＝0，第三边c＝，则第三边c上的高的值是（　　）
A． B． C． D．
5．希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5个女生种3棵树，3个男生种5棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是（　　）

A．七（1）班 B．七（2）班 C．七（3）班 D．七（4）班
6．下列计算正确的是（　　）
A．＝2 B．＝±2 C．＝2 D．＝±2
7．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（　　）
A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20
8．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）

A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
9．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（　　）
A．﹣50 B．50 C．500 D．﹣500
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE＝BF；②BD2+CE2＝DE2；③；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．如图，等边△ABC的边长为2，BD是高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE的长为　 　．

14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　．
15．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a﹣b．例如3⊗4＝2×3﹣4＝2．若x⊗y＝2，且y⊗x＝4，则x+y的值为　 　．
16．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是　 　．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是　 　．

17．某校为了举办“庆祝建军90周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有　 　人．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　

三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19．（6分）计算：
（1）； （2）÷（﹣2）；





（3）； （4）．






四、解答题（本大题共7小题，共56分）
20．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　 　；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．





21．如图，AD是△ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：∠B＝∠AED．
（2）若DE＝1，求AB的长．





22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．若AB＝13，BC＝10，求AF的长度．




23．随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）将图1补充完整；
（3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．







24．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：
如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；
（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．
（3）由第（2）题可得：
正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝　 　的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝　 　．














25．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是　 　；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．





















26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为　 　．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．












2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．C．2．A．3．C．4．D．5．C．6．A．7．A．8．D．9．C．10．D．
11．C．12．A．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13． 14．（x﹣6）（x+2）． 15．6． 16．S1+S2＝S3；7．
17．90． 18．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
19．解：（1）原式＝
＝
＝﹣3；
（2）原式＝3﹣16÷（﹣2）
＝3+8
＝11；
（3）原式＝
＝﹣10﹣80
＝﹣90；
（4）原式＝
＝．
四、解答题（本大题共7小题，共56分）
20．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；
（2）当n＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2﹣2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
21．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∵EH⊥AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠AED；
（2）解：由（1）得：EF∥BC，
∴∠HED＝∠EDB，
∵∠AEH＝∠HED，∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AB＝2BE＝2DE＝2×1＝2．

22.解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝13，
∴，
在Rt△BDF中，∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7．
23．解：（1）130÷65%＝200，
答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）反对的人数为：200﹣130﹣50＝20，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：×360°＝36°；
（4）1500×＝375，
答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．

24．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，
∴∠EAC＝∠BAI，
在△ABI和△AEC中，，
∴△ABI≌△AEC（SAS）；
（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，
∴BM∥AI，
∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，
同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，
又∵△ABI≌△AEC，
∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：
连接BH，过H作HP⊥BC于P，如图所示：
易证△CPH≌△ABC（AAS），四边形CMNH是矩形，
∴PH＝BC，
∵△BCH的面积＝CH×NH＝BC×PH，
∴CH×NH＝BC2，
∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；
（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；
即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；
故答案为：正方形ACHI，AC2．

25．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．
26．解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为3．
（3）如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2 ，
∴AC的最大值为2+2．
当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2．