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2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列几何体的三视图相同的是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体
2．（2分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．（2分）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
4．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
5．（2分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
7．（2分）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（3，﹣2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则y＞3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而增大
8．（2分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则m2+m﹣n的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
9．（2分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为5：9；
④两个圆一定是位似图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
11．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．
13．（2分）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
14．（2分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D．
15．（2分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
二、填空题（本大题共3个小题；每小题3分，共9分.把答案写在题中横线上）
16．（3分）二次函数y＝﹣6x2+x图象的开口向 ．
17．（3分）两地的实际距离是1000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是 ．
18．（3分）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
三、解答题（本大题共7个小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）计算：．
20．（6分）如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：mm）．
（1）直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；
（2）求这个立体图形的体积．
21．（8分）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
22．（8分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上．
（1）若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；
（2）若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB的顶点A（﹣6，0），B（0，4），过点C（﹣6，1）的双曲线y＝（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）求双曲线y＝的解析式以及点E的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2的顶点．
①当双曲线y＝过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B时，该抛物线与矩形OADB公共点的个数以及此时t的值．
24．（11分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求A与C，A与D间的距离AC和AD；
（本问如果有根号，结果请保留根号）
（此提示可以帮助你解题：∵）
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
请按以下提示完成解答：
解：（1）过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y海里，
25．（12分）游乐园一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上面下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m．
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD的水平宽度；
（3）若小明站在平台上相距y轴1m的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出口N距离平台m，喷出的水流呈抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上（包括B，D两点），直接写出p的取值范围．
2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列几何体的三视图相同的是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体
【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断．
【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；
B、球的三视图，如图所示，符合题意；
C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意；
D、长方体的三视图，如图所示，不合题意；
．
故选：B．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
2．（2分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（2分）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
【分析】利用中心投影和平行投影的定义判断即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为平行投影．
故选：A．
【点评】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
4．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A、符合反比例函数的定义，选项符合题意；
B、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；
C、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；
D、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0）．
6．（2分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故选：D．
【点评】考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．
7．（2分）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（3，﹣2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则y＞3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而增大
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【解答】解：A、当x＝3时，＝﹣2，所以点（3，﹣2）在函数的图象上，所以A选项的结论正确，不符合题意；
B、反比例函数分布在第二、四象限，所以B选项的结论正确，不符合题意；
C、若x＜﹣2，则0＜y＜3，所以C选项的结论正确，符合题意；
D、在每一个象限内，y随着x的增大而增大，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8．（2分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则m2+m﹣n的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【分析】点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则n＝m2+m﹣2020，即可求解．
【解答】解：点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，
则n＝m2+m﹣2020，
故m2+m﹣n＝2020，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键．
9．（2分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为5：9；
④两个圆一定是位似图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用位似图形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：①位似图形都相似，正确；
②两个等边三角形不一定是位似图形，故原说法错误；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为：：3，故原说法错误；
④两个圆一定是位似图形，故原说法正确．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
10．（2分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6，
∴AB＝＝＝12．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
11．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
则劣弧AC的长为：＝4π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式l＝．
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．
【分析】根据二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，可知当y＝0时的△＝0，从而可以求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，
解得，k＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2分）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
【分析】据线段的垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
15．（2分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
【分析】根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．
【解答】解：∵y＝﹣n2+14n﹣24
＝﹣（n﹣2）（n﹣12），
当y＝0时，n＝2或者n＝12．
又∵图象开口向下，
∴1月，y＜0；2月、12月，y＝0．
∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．
故选：C．
【点评】判断二次函数y＞0、y＝0、y＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x轴的交点，结合开口分析，进行判断．
二、填空题（本大题共3个小题；每小题3分，共9分.把答案写在题中横线上）
16．（3分）二次函数y＝﹣6x2+x图象的开口向 下 ．
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣6x2+x，a＝﹣6，
∴该函数图象开口向下，
故答案为：下．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（3分）两地的实际距离是1000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是 1：50000 ．
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离计算．
【解答】解：1000m＝100000cm，
则这幅地图的比例尺
2：100000，
＝1：50000，
故答案为：1：50000．
【点评】本题考查了比例尺的意义，注意图上距离跟实际距离要统一．
18．（3分）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【解答】解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S＝x＝﹣（x﹣2）2+．
∴当x＝2m时，S最大值为m2．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．解题的关键是正确的列出函数关系式并配方成一般式，难度不大．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）计算：．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣1）2＝2，
∴x＝1±．
（2）原式＝2×﹣1﹣3
＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20．（6分）如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：mm）．
（1）直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；
（2）求这个立体图形的体积．
【分析】（1）根据三视图得到两个长方体的长，宽，高即可；
（2）根据（1）中各部分的尺寸计算体积即可．
【解答】解：（1）根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长6mm，宽8mm，高2mm；
（2）立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2＝128（mm3）．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的体积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．
21．（8分）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似变换的概念判断；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到＝，证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴＝，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴＝，即＝，
解得，AP＝6．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（8分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上．
（1）若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；
（2）若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率．
【分析】（1）用锐角卡片的张数除以总张数即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和两张角度恰好互补的张数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有二张，
因此P（抽到写有锐角卡片）＝；
（2）列表如下：
36°
54°
144°
126°
36°
90°
180°
162°
54°
90°
198°
180°
144°
180°
198°
270°
126°
162°
180°
270°
一共有12种等可能结果，其中互补的有4种等可能结果，
所以（抽到两张角度恰好互补卡片）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB的顶点A（﹣6，0），B（0，4），过点C（﹣6，1）的双曲线y＝（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）求双曲线y＝的解析式以及点E的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2的顶点．
①当双曲线y＝过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B时，该抛物线与矩形OADB公共点的个数以及此时t的值．
【分析】（1）把点C（﹣6，1）代入双曲线y＝（k≠0）可求出函数关系式，再令y＝4求出x即为点E坐标；
（2）①将抛物线配成顶点式，即得顶点坐标，代入反比例函数关系式可求得答案；②分别求出当y＝0，y＝4，x＝﹣4，x＝0时，求得相应的点的坐标，判断这些点是否在矩形OADB上即可．
【解答】解：（1）把点C（﹣6，1）代入双曲线y＝（k≠0）得，
k＝﹣6，
∴双曲线的关系式为：y＝﹣．
当y＝4时，x＝﹣，
∴E（﹣，4）；
（2）①∵抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2＝﹣（x+1）2+5t﹣，
∴顶点P（﹣1，5t﹣），
∵顶点P（﹣1，5t﹣），在反比例函数y＝﹣的图象上．
∴y＝6，
∴顶点P（﹣1，6），
②当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B（0，4）时，有5t﹣2＝4，
解得，t＝，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣﹣x+4，
当x＝﹣6时，y＝﹣18+6+4＝﹣8，而（﹣6，﹣8）不在线段AD上，
当y＝0时，即﹣﹣x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，而（﹣4，0）在线段OA上，而（2，0）不在矩形的边上，
当y＝4时，即y＝﹣﹣x+4＝4，解得x1＝0，x2＝﹣2，而（0，4）、（﹣2，4）均在线段BD上，
符合条件的点有：（﹣4，0），（0，4），（﹣2，4）共三个．
答：该抛物线与矩形OADB有3个公共点，此时t的值为．
【点评】考查反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入相应的函数关系式是因此的方法，数形结合有利于解题过程的呈现．
24．（11分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求A与C，A与D间的距离AC和AD；
（本问如果有根号，结果请保留根号）
（此提示可以帮助你解题：∵）
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
请按以下提示完成解答：
解：（1）过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y海里，
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE+BE＝x+x＝100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；
（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．
∴AE+BE＝x+x＝100（+1），
解得：x＝100．
AC＝2x＝200．
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°．
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y+y＝200，
解得：y＝100（﹣1），
∴AD＝2y＝200（﹣1）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．
（2）由（1）可知，DF＝AF＝×100（﹣1）≈126.8海里，
因为126.8＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．（12分）游乐园一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上面下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m．
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD的水平宽度；
（3）若小明站在平台上相距y轴1m的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出口N距离平台m，喷出的水流呈抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上（包括B，D两点），直接写出p的取值范围．
【分析】（1）由题意得：点B（5，2），则k＝5×2＝10，即可求解；
（2）点A（2，5），点C（7，），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+5，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，即可求解；
（3）点M（1，5），点N（1，），则点N是抛物线的顶点，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：点B（5，2），则k＝5×2＝10，
故反比例函数的表达式为：y＝（2≤x≤5）；
（2）点B（5，2），点C（7，），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣5）2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣5）2+2，
令y＝0，则x＝1（舍去）或9，
故ABCD的水平宽度＝9﹣2＝7；
（3）点M（1，5），点N（1，），则点N是抛物线的顶点，
而点D（9，0）、点C（7，），
抛物线的表达式为：y＝p（x﹣1）2+，
将点D的坐标代入上式并解得：p＝﹣；
同理把点B的坐标代入抛物线表达式并解得：p＝﹣，
故﹣≤p≤﹣．
【点评】本题考查的是二次函数运用，涉及到反比例函数的性质，关键是弄懂题意，把生活问题用函数的方式表达出来．
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日期：2020/12/13 15:48:39；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列几何体的三视图相同的是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体
2．（2分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．（2分）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
4．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
5．（2分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
7．（2分）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（3，﹣2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则y＞3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而增大
8．（2分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则m2+m﹣n的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
9．（2分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为5：9；
④两个圆一定是位似图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
11．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．
13．（2分）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
14．（2分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D．
15．（2分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
二、填空题（本大题共3个小题；每小题3分，共9分.把答案写在题中横线上）
16．（3分）二次函数y＝﹣6x2+x图象的开口向 ．
17．（3分）两地的实际距离是1000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是 ．
18．（3分）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
三、解答题（本大题共7个小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）计算：．
20．（6分）如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：mm）．
（1）直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；
（2）求这个立体图形的体积．
21．（8分）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
22．（8分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上．
（1）若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；
（2）若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB的顶点A（﹣6，0），B（0，4），过点C（﹣6，1）的双曲线y＝（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）求双曲线y＝的解析式以及点E的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2的顶点．
①当双曲线y＝过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B时，该抛物线与矩形OADB公共点的个数以及此时t的值．
24．（11分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求A与C，A与D间的距离AC和AD；
（本问如果有根号，结果请保留根号）
（此提示可以帮助你解题：∵）
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
请按以下提示完成解答：
解：（1）过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y海里，
25．（12分）游乐园一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上面下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m．
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD的水平宽度；
（3）若小明站在平台上相距y轴1m的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出口N距离平台m，喷出的水流呈抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上（包括B，D两点），直接写出p的取值范围．
2019-2020学年河北省唐山市路南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列几何体的三视图相同的是（ ）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体
【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断．
【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；
B、球的三视图，如图所示，符合题意；
C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意；
D、长方体的三视图，如图所示，不合题意；
．
故选：B．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
2．（2分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（2分）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
【分析】利用中心投影和平行投影的定义判断即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为平行投影．
故选：A．
【点评】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
4．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A、符合反比例函数的定义，选项符合题意；
B、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；
C、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；
D、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0）．
6．（2分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故选：D．
【点评】考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．
7．（2分）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（3，﹣2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则y＞3
D．在每一个象限内，y随x值的增大而增大
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【解答】解：A、当x＝3时，＝﹣2，所以点（3，﹣2）在函数的图象上，所以A选项的结论正确，不符合题意；
B、反比例函数分布在第二、四象限，所以B选项的结论正确，不符合题意；
C、若x＜﹣2，则0＜y＜3，所以C选项的结论正确，符合题意；
D、在每一个象限内，y随着x的增大而增大，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8．（2分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则m2+m﹣n的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【分析】点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，则n＝m2+m﹣2020，即可求解．
【解答】解：点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2020上，
则n＝m2+m﹣2020，
故m2+m﹣n＝2020，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键．
9．（2分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为5：9；
④两个圆一定是位似图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用位似图形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：①位似图形都相似，正确；
②两个等边三角形不一定是位似图形，故原说法错误；
③两个相似多边形的面积比为5：9，则周长的比为：：3，故原说法错误；
④两个圆一定是位似图形，故原说法正确．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
10．（2分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6，
∴AB＝＝＝12．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
11．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
则劣弧AC的长为：＝4π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式l＝．
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．
【分析】根据二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，可知当y＝0时的△＝0，从而可以求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，
解得，k＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2分）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
【分析】据线段的垂直平分线的性质解答．
【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
15．（2分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
【分析】根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．
【解答】解：∵y＝﹣n2+14n﹣24
＝﹣（n﹣2）（n﹣12），
当y＝0时，n＝2或者n＝12．
又∵图象开口向下，
∴1月，y＜0；2月、12月，y＝0．
∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．
故选：C．
【点评】判断二次函数y＞0、y＝0、y＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x轴的交点，结合开口分析，进行判断．
二、填空题（本大题共3个小题；每小题3分，共9分.把答案写在题中横线上）
16．（3分）二次函数y＝﹣6x2+x图象的开口向 下 ．
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣6x2+x，a＝﹣6，
∴该函数图象开口向下，
故答案为：下．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（3分）两地的实际距离是1000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是 1：50000 ．
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离计算．
【解答】解：1000m＝100000cm，
则这幅地图的比例尺
2：100000，
＝1：50000，
故答案为：1：50000．
【点评】本题考查了比例尺的意义，注意图上距离跟实际距离要统一．
18．（3分）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【解答】解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S＝x＝﹣（x﹣2）2+．
∴当x＝2m时，S最大值为m2．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．解题的关键是正确的列出函数关系式并配方成一般式，难度不大．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）计算：．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣1）2＝2，
∴x＝1±．
（2）原式＝2×﹣1﹣3
＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20．（6分）如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：mm）．
（1）直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；
（2）求这个立体图形的体积．
【分析】（1）根据三视图得到两个长方体的长，宽，高即可；
（2）根据（1）中各部分的尺寸计算体积即可．
【解答】解：（1）根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长6mm，宽8mm，高2mm；
（2）立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2＝128（mm3）．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的体积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．
21．（8分）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似变换的概念判断；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到＝，证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴＝，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴＝，即＝，
解得，AP＝6．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（8分）如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上．
（1）若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；
（2）若从中任意抽取两张，求抽到的两张角度恰好互补的概率．
【分析】（1）用锐角卡片的张数除以总张数即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和两张角度恰好互补的张数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有二张，
因此P（抽到写有锐角卡片）＝；
（2）列表如下：
36°
54°
144°
126°
36°
90°
180°
162°
54°
90°
198°
180°
144°
180°
198°
270°
126°
162°
180°
270°
一共有12种等可能结果，其中互补的有4种等可能结果，
所以（抽到两张角度恰好互补卡片）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB的顶点A（﹣6，0），B（0，4），过点C（﹣6，1）的双曲线y＝（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）求双曲线y＝的解析式以及点E的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2的顶点．
①当双曲线y＝过点P时，求顶点P的坐标；
②直接写出当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B时，该抛物线与矩形OADB公共点的个数以及此时t的值．
【分析】（1）把点C（﹣6，1）代入双曲线y＝（k≠0）可求出函数关系式，再令y＝4求出x即为点E坐标；
（2）①将抛物线配成顶点式，即得顶点坐标，代入反比例函数关系式可求得答案；②分别求出当y＝0，y＝4，x＝﹣4，x＝0时，求得相应的点的坐标，判断这些点是否在矩形OADB上即可．
【解答】解：（1）把点C（﹣6，1）代入双曲线y＝（k≠0）得，
k＝﹣6，
∴双曲线的关系式为：y＝﹣．
当y＝4时，x＝﹣，
∴E（﹣，4）；
（2）①∵抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2＝﹣（x+1）2+5t﹣，
∴顶点P（﹣1，5t﹣），
∵顶点P（﹣1，5t﹣），在反比例函数y＝﹣的图象上．
∴y＝6，
∴顶点P（﹣1，6），
②当抛物线y＝﹣﹣x+5t﹣2过点B（0，4）时，有5t﹣2＝4，
解得，t＝，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣﹣x+4，
当x＝﹣6时，y＝﹣18+6+4＝﹣8，而（﹣6，﹣8）不在线段AD上，
当y＝0时，即﹣﹣x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，而（﹣4，0）在线段OA上，而（2，0）不在矩形的边上，
当y＝4时，即y＝﹣﹣x+4＝4，解得x1＝0，x2＝﹣2，而（0，4）、（﹣2，4）均在线段BD上，
符合条件的点有：（﹣4，0），（0，4），（﹣2，4）共三个．
答：该抛物线与矩形OADB有3个公共点，此时t的值为．
【点评】考查反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入相应的函数关系式是因此的方法，数形结合有利于解题过程的呈现．
24．（11分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求A与C，A与D间的距离AC和AD；
（本问如果有根号，结果请保留根号）
（此提示可以帮助你解题：∵）
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，）
请按以下提示完成解答：
解：（1）过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，
过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y海里，
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE+BE＝x+x＝100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；
（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
设AE＝x海里，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．
∴AE+BE＝x+x＝100（+1），
解得：x＝100．
AC＝2x＝200．
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°．
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF＝y，则DF＝CF＝y，
∴AC＝y+y＝200，
解得：y＝100（﹣1），
∴AD＝2y＝200（﹣1）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．
（2）由（1）可知，DF＝AF＝×100（﹣1）≈126.8海里，
因为126.8＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
25．（12分）游乐园一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上面下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m．
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD的水平宽度；
（3）若小明站在平台上相距y轴1m的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出口N距离平台m，喷出的水流呈抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上（包括B，D两点），直接写出p的取值范围．
【分析】（1）由题意得：点B（5，2），则k＝5×2＝10，即可求解；
（2）点A（2，5），点C（7，），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+5，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，即可求解；
（3）点M（1，5），点N（1，），则点N是抛物线的顶点，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：点B（5，2），则k＝5×2＝10，
故反比例函数的表达式为：y＝（2≤x≤5）；
（2）点B（5，2），点C（7，），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣5）2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣5）2+2，
令y＝0，则x＝1（舍去）或9，
故ABCD的水平宽度＝9﹣2＝7；
（3）点M（1，5），点N（1，），则点N是抛物线的顶点，
而点D（9，0）、点C（7，），
抛物线的表达式为：y＝p（x﹣1）2+，
将点D的坐标代入上式并解得：p＝﹣；
同理把点B的坐标代入抛物线表达式并解得：p＝﹣，
故﹣≤p≤﹣．
【点评】本题考查的是二次函数运用，涉及到反比例函数的性质，关键是弄懂题意，把生活问题用函数的方式表达出来．
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日期：2020/12/13 15:48:39；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
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