江苏省无锡市侨谊教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份江苏省无锡市侨谊教育集团2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市侨谊教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°
5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
6．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF D．AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D
7．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
9．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）

A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大后变小
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．9的平方根是 　 　．
12．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件　 　，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．

13．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 　 　．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　 　．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是　 　．

16．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为　 　．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝　 　°．

18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 　 　．

三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝70°，求∠EDC．

21．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有　 　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．

22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
23．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）若AB＝12，AC＝8，求AG的长．

24．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．

（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　 　．
25．（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．
求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．在中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；
＝2，0是整数，属于有理数；
故在中，无理数有，，共2个．
故选：B．
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
解：∵＝4≠±4，故选项A错误；
（﹣）2＝2≠4，故选项B错误；
＝5≠﹣5，故选项C错误；
＝﹣3，故选项D正确．
故选：D．
4．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°
【分析】此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．
解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；
当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
故选：C．
5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】由AB＝AC，∠A＝50°得出∠ACB＝65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝50°，即可得出∠BCD＝15°．
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠B＝＝65°，
∵直线MN垂直平分边AC，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，
故选：B．
6．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF D．AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D
【分析】根据各个选项和全等三角形的判定可以解答本题．
解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、AC＝DF，∠B＝∠F，∠A＝∠D，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选：D．
7．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
解：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；
②线段是轴对称图形，正确；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，故原说法错误；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，故原说法错误；
所以正确的个数是2个．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCE，根据直角三角形的性质得到PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．
解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，
∴∠BCE＝50°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，
故选：C．
9．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）

A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大后变小
【分析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．
解：在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵BD＝2AE，
∴AD＝EN，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，，
∴△ADE≌△NEF（SAS），
∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，
∴FN＝CN，
∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，
∴∠NCF＝30°，
即∠ECF＝30°，
故选：A．

10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．9的平方根是 　±3　．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
12．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件　AC＝BD　，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．

【分析】根据SAS的判定方法可得出答案．
解：补充条件AC＝BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
，
△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：AC＝BD．
13．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 　万位　．
【分析】把题目中的数据还原为原来的数据，从而可以得到题目中的数据精确到哪一位，本题得以解决．
解：∵1.44×106＝1440000，
∴1.44×106精确到万位，
故答案为：万位．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　10　．
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故答案为：10．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是　4　．

【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
解：
过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4
故答案为：4．
16．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为　67.5°或22.5°　．
【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，
故答案为：67.5°或22.5°．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝　45　°．

【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由BE⊥AC，可求得∠A＝∠ABE＝45°，然后由AB＝AC，BF＝EF，求得答案．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE⊥AC，
∴∠A＝∠ABE＝45°，
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°，
∵BF＝EF，
∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°，
∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°．
故答案为：45．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 　AF＝2DG且AF⊥DG　．

【分析】延长DG至M，使GM＝DG，交AF于H，连接BM，根据题意证明△DAE≌△DBF，推出∠DEF＝∠DFE＝45°，利用SAS证明△BGM≌△EGD（SAS），得出∠MBE＝∠FED＝45°＝∠EFD，BM＝DE＝DF，再利用SAS证明△BDM≌△DAF（SAS），得出DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM，证出∠AHD＝90°，即可得出结论．
解：AF＝2DG，且AF⊥DG；理由如下：
延长DG至M，使GM＝GD，交AF于H，连接BM，如图所示：

∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵∠DAC+∠C＝∠DBE+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠DBE，
即∠DAE＝∠DBF，
∵∠ADB＝∠FDE＝90°，
∴∠ADB﹣∠ADF＝∠FDE﹣∠ADF，
即∠BDF＝∠ADE，
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF（ASA），
∴DE＝DF，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∵G为BE中点，
∴BG＝EG，
在△BGM和△EGD中，
，
∴△BGM≌△EGD（SAS），
∴∠MBE＝∠DEF＝45°＝∠DFE，BM＝DE＝DF，
∵∠DAC＝∠DBE，
∴∠MBD＝∠MBE+∠DBE＝45°+∠DBE，∠EFD＝45°＝∠DBE+∠BDF，
∴∠BDF＝45°﹣∠DBE，
∵∠ADE＝∠BDF，
∴∠ADF＝90°﹣∠BDF＝45°+∠DBE＝∠MBD，
在△BDM和△DAF中，
，
∴△BDM≌△DAF（SAS），
∴DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM，
∵∠BDM+∠MDA＝90°，
∴∠MDA+∠FAD＝90°，
∴∠AHD＝90°，
∴AF⊥DG，
∴AF＝2DG，且AF⊥DG．
故答案为：AF＝2DG，且AF⊥DG．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根，负整数指数，立方根的定义进行计算即可；
（2）根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根进行计算即可．
解：（1）原式＝5﹣2+3
＝6；
（2）＝﹣4+3+﹣1﹣2
＝﹣4+．
20．如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝70°，求∠EDC．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得BC＝DE；
（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝70°＝∠ADE，由平角的性质可求解．
解：（1）∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝40°．
21．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有　4　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）在线段AB的垂直平分线性质格点即可．
（3）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，此时BQ+CQ的值最小．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，满足条件的点P有4个，
故答案为4．
（3）如图点Q即为所求．
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；

（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，

则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
23．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）若AB＝12，AC＝8，求AG的长．

【分析】（1）连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC；依据角平分线的性质可得DG＝DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）同理Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG＝AH，进而得出答案．
【解答】证明：（1）如图，连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，
在Rt△BDG与Rt△CDH中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），
∴BG＝CH；
（2）∵Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），
∴AG＝AH，
∴AB﹣AC＝AG+BG﹣（AH﹣CH）＝2BG＝12﹣8＝4，
∴BG＝2，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10．

24．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．

（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）；
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　∠AMC＝90°+α　．
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得∠AEC＝∠ABD，由外角的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证△ACG≌△ADH，可得AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得S△ACG＝S△ADH，EC＝BD，由面积法可求AP＝AN，由角平分线的性质可求∠AMD，即可求解．
解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△AEC和△ABD中，
，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC＝∠ABD，
∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，
∴∠EMB＝∠EAB＝40°；
（2）连接AG，AH，

由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，
∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴DH＝CG，
在△ACG和△ADH中，
，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，
∴∠GAH＝∠DAC，
∵∠DAC＝α，
∴∠GAH＝α，
∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，
∴∠AHG＝90°﹣α；
（3）如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，

∵△ACE≌△ADB，
∴S△ACE＝S△ADB，EC＝BD，
∵EC×AP＝×BD×AN，
∴AP＝AN，
又∵AP⊥EC，AN⊥BD，
∴∠AME＝∠AMD＝，
∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+α，
故答案为：∠AMC＝90°+α．
25．（1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．
求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例．

【分析】（1）证明△DBA≌△ANM（SAS），可得BD＝AN．
（2）分两种情形：①如图②﹣1中，当BM＞BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．证明△DAH≌△AMG（AAS），推出DH＝AG，AH＝GM，再证明△DBH≌△ANG（SAS），可得BD＝AN．②当BM＜BC时，同法可得BD＝AN．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∵又M是BC的中点，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，BC＝2BM＝2MC，∠BAM＝∠BAC＝30°，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠BAD＝∠MAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠BAD＝∠AMN＝90°，
∵MC＝CN，
∴MN＝2MC＝BC＝AB，
在△DBA和△ANM中，
，
∴△DBA≌△ANM（SAS），
∴BD＝AN．
（2）结论成立，理由如下：
①如图②﹣1中，当BM＞BC时，分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分别为G、H．

∴∠DHA＝∠AGM＝90°，
∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝60°，
∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，
∴∠DAB＝∠AMB，
在△DAH和△AMG中，
，
∴△DAH≌△AMG（AAS），
∴DH＝AG，AH＝GM，
又∵△ABC是等边三角形，AG⊥BM，
∴BG＝GC，
∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，
又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，
∴BH＝GN．
∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，
在△DBH和△ANG中，
，
∴△DBH≌△ANG（SAS），
∴BD＝AN．
②当BM＜BC时，同法可得BD＝AN．