黑龙江省龙江县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份黑龙江省龙江县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

黑龙江省齐齐哈尔市龙江县2021-2022学年九年级上学期期中考试试题
数学试卷
考试范围：人教版九年级上册；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．(本题3分)下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
A．瓮中捉鳖 B．拔苗助长 C．守株待兔 D．水中捞月
3．(本题3分)杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽人首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1＋x）2＝30000 B．5000（1－x）2＝30000
C．5000＋5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝30000 D．5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝30000
4．(本题3分)已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣
C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
5．(本题3分)已知二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数图像的开口向下
B．该函数图像的最大值是﹣7
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图像与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧
6．(本题3分)根据表格中的信息，判断关于x的方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax²+bx+c
－0.02
0.01
0.03
A．x<3.24 B．3.24＜x<3.25 C．3.25＜x<3.26 D．3.25 7．(本题3分)方程x2-2x-3=0的一个实数根为m，则2022-m2+2m的值是( )
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
8．(本题3分)如图，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于E点，AC交⊙O于D点，AD＝CD，∠A＝70°，则∠BOE的度数是（　　）
A．140° B．100° C．90° D．80°
8题 9题
9．(本题3分)⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
10．(本题3分)如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（－1，0），其图象如图所示，下列结论：①，②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，x的取值范围是；⑥（，m为实数），其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

第II卷（非选择题）

二、填空题(共24分)
11．(本题3分)将抛物线y＝3（x﹣1）2向右平移1个单位，向上平移7个单位，得到的抛物线解析式为___．
12．(本题3分)如图，已知为的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是___________．
13．(本题3分)如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______________．





12题 13题 15题
14．(本题3分)一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为__ _cm．
15．(本题3分)如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为 _ __．
16．(本题3分)已知⊙的半径为，弦长为，则所对的圆周角的度数为______°．
17．(本题3分)已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ___．
18．(本题3分)如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___

三、解答题(共66分)
19．(本题6分)计算：．
20．(本题5分)解方程：
21．(本题4分)因式分解：m2（a+b）﹣16（a+b）．
22．(本题7分)如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？

23．(本题8分)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE//BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．

24．(本题10分)某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．




请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25．(本题12分)综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在中，，，为边上的中线，为上一点，将以点为旋转中心，逆时针旋转90°得到，的延长线交线段于点．探究线段，，之间的数量关系．

数学思考
（1）请你在图1中证明；
特例探究
（2）如图2，当垂直于时，求证：；
类比再探
（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．










26．(本题14分)如图，已知抛物线y＝a＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为 ；
（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．



参考答案
1．C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】
解：A、瓮中捉鳖，是必然事件，符合题意；
B、拔苗助长，是不可能事件，不合题意；
C、守株待兔是随机事件，不合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，不合题意．
故选：A.
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．D
【分析】
根据题意分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而相加得出等式即可．
【详解】
解：根据题意可得：
7月25日的销量为：5000（1＋x），
7月26日的销量为：5000（1＋x）（1＋x）＝5000（1＋x）2，
故5000（1＋x）＋5000（1＋x）2＝22500．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出7月26日的销量是解题关键．
4．A
【分析】
观察图像可得y1＜y2时自变量x的取值范围．
【详解】
解：观察图像可知，y1＜y2时，
即函数y2＝kx+b在函数y1＝ax2+bx+c上方时x的取值范围，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，要求学生通过函数图像的交点，比较函数值的大小，，从而确定不等式的解集．
5．D
【分析】
将二次函数化成顶点式：，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：、由于中的，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．
、由知，该函数图象的顶点坐标是，抛物线的开口方向是向上，有最小值故，本选项不符合题意．
、由知，该抛物线的对称轴是直线且抛物线开口方向向上，所以当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意．
、由知，，则该抛物线与轴有两个不同的交点；设、是该抛物线与轴交点横坐标，则，所以两个不同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意．
故选：．
【点睛】
考查了二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
6．B
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，a＋bx＋c＝−0.02；x＝3.25时，a＋bx＋c＝0.01，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使a＋bx＋c＝0，于是可判断关于x的方程a＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】
解：∵x＝3.24时，a＋bx＋c＝−0.02；x＝3.25时，a＋bx＋c＝0.01，
∴关于x的方程a＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，掌握估算一元二次方程的近似解是解题关键．
7．D
【分析】
利用一元二次方程根的定义得到m2−2m＝3，然后利用整体代入的方法计算2022-m2+2m的值．
【详解】
解：∵方程x2-2x-3=0的一个实数根为m，
∴m2−2m-3=0，
∴m2−2m＝3，
∴2022-m2+2m＝2022-3＝2019．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．B
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，AD=CD，判定三角形ABC是等腰三角形，计算∠B，∠BEO即可计算．
【详解】
解：连接BD，
∵BC为⊙O的直径，

∴BD⊥AC，
∵AD＝CD，
∴AB=BC，
∵∠A＝70°，
∴∠A＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝40°，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠BEO=40°，
∴∠BOE=100°，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰三角形的三线合一，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．
9．D
【分析】
过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
【详解】
解：过作于，连接，则，

，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
10．A
【分析】
利由抛物线的位置可对①进行判断；用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对④进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对⑤进行判断,根据抛物线的顶点可对⑥进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故④错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3，故⑤正确；
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当而x＝1时，，y＝a+b+c最大，
∴时，，即，故⑥正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：解题关键是明确对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
11．
【分析】
根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】
解：将抛物线y＝3（x﹣1）2向右平移1个单位，再向上平移7个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
12．
【分析】
根据平行线的性质即可求得∠AOD的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理以及平行线的性质，根据圆周角定理把求圆周角的问题转化为求圆心角的问题是解题的关键．
13．2
【分析】
根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，

过抛物线L2的顶点D作CDx轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．
14．9．
【详解】
试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：
∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.
设圆锥的母线长为R，
∴，解得R=9cm．
考点：圆锥的计算．
15．6
【分析】
根据切线长定理得出EA=EC，FC=FB，进一步得出△PEF的周长等于PA+PB，然后根据切线长定理可得PA=PB，即可求出线段PA的长度．
【详解】
解：∵切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，
∴EA=EC，FC=FB，
∵△PEF的周长=PE+EF+PF=12，
∴PE+EA+FB+PF=12，
∴PA+PB=12，
又∵切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB=6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
16．或
【分析】
过点作，、为圆周上的点，连接，，，，根据，弦长为，得到，又因为⊙的半径为，根据勾股定理可知，进而得到和均为等腰直角三角形，从而得到圆心角，最后分类讨论当圆周角的顶点在劣弧上和圆周角的顶点在优弧上这两种情况来计算即可．
【详解】
如图，过点作，、为圆周上的点，连接，，，．

，
为的中点，
弦长为，
，
⊙的半径为，
，
根据勾股定理得：，
和均为等腰直角三角形，
，
，
圆周角的顶点在劣弧上时：，
圆周角的顶点在优弧上时：，
所对的圆周角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．且
【分析】
根据根的判别式和一元一次方程的定义得出△=（-2）2-4（k-1）×1＞0且k-1≠0，求出k的取值即可．
【详解】
解：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
，且
解得：且
故答案为：且
【点睛】
本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
18．
【分析】
首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2021的坐标是多少即可．
【详解】
解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)，
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵，，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵，，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵，
∴点A4的坐标是，
……，
∴An的横坐标是：2n-1，
当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是，
∴顶点A2021的坐标是，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点、坐标与图形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，通过找规律判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．
19．
【分析】
先根据二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及绝对值的性质进行计算，然后再算加减即可．
【详解】
解：

．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，根据二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及绝对值的性质求解是解题关键．
20．，
【分析】
先化成一般式，再利用因式分解法解方程即可；
【详解】
解：
，
，
或
，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
21．(a+b)(m+4)(m-4)
【分析】
原式提取(a+b)，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】
解：m2（a+b）﹣16（a+b）
=(a+b)(m2-16)
=(a+b)(m+4)(m-4) ．
【点睛】
本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【分析】
设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)证明见解析；(2).
【分析】
（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90，根据切线判定推出即可；（2）连接OD，分别求出三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案.
【详解】
(1)是的直径，
，
，
，，
，
，
是的切线；
(2)连接，

，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积．
【点睛】
本题考查了切线判定的定理和三角形及扇形面积的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
24．（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】
（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）成立．证明见解析．
【分析】
（1）根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，得到∠FBC=∠EAC，再由三角形内角和证明AP⊥BE即可．
（2）先证明四边形CEPF是正方形，得到CE=FP，再证明△CED≌△BPD，可得CE=BP，则问题可证．
（3）过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，则按照（1）中方法问题证．
【详解】
（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，
∴∠FBC=∠EAC．
又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，
∴∠BDP+∠FBC=90°，
∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，
∴AP⊥BE．
（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，
∴四边形CEPF是矩形．
∵CE=CF
∴四边形CEPF是正方形．
∴CE=EP=FP．
又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°
∴△CED≌△BPD，
∴CE=BP．
∴EP+FP=2CE=2BP．
（3）成立．
理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．

∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，
∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．
∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，
∴∠CEG=∠CFH．
∵∠CGE=∠CHF=90°，
∴△CEG≌△CFH，
∴CH=CG，EG=FH．
∴EP+FP=GP+HP
∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，
∴四边形CGPH是正方形．
又（2）可知，GP+PH=2BP，
∴EP+PF=2BP．
【点睛】
本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题．
26．（1）y＝﹣﹣2x＋3；（2）；（3）面积最大值，；（4）（﹣1，0），（1，），（1，﹣），（1，）
【分析】
(1) 解方程组，求得a,b的值即可；
（2）A，B是对称点，抛物线的对称轴与BC的交点为周长最小位置，最小值为BC+AC，勾股定理计算即可；
（3）设点N的坐标为（x，﹣﹣2x＋3），过点N作直线NE⊥x轴，交直线BC于点E，确定点E（x，x+3）,用含有x的代数式表示NE的长，则=，构造出面积是x的二次函数，利用二次函数的最值思想解决即可；
（4）分以AC为菱形的边，AC为菱形的对角线，CP为菱形的对角线三种情况求解即可.
【详解】
（1）根据题意，得，
解方程组，得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣2x＋3；
（2）∵A，B是对称点，
∴抛物线的对称轴与BC的交点为△ACM周长最小位置，且最小值为BC+AC，
∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3），
∴AC==，BC==，
∴△ACM周长最小值为+,
故答案为: +；
（3）如图，过点N作直线NE⊥x轴，垂足为M，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∵B（-3，0），C（0，3），
∴，


解方程组，得，
∴直线BC解析式为y=x＋3，
设N（n，﹣－2n＋3），E（n，n＋3），
∴NE=﹣－2n＋3-n-3=﹣－3n，
∴=+=+
==﹣－=，
∴△BCN面积最大值，
此时，x=，y=，
故点；
（4）如图，当AC为菱形的边时，
∵CP∥A，AC==，
∴A=，
∵A（1，0），

∴（1，）或（1，-）；
当AC为菱形的对角线时，
设（0，m）,
∴A=，C=3-m，
∴，
解得m=，
∴C=3-m=，
∴A=，
∴（1，）；
当CP为菱形的对角线时，
作出点A关于CP的对称点即可，
∵A（1，0），
∴（-1，0），
综上所述，点Q的坐标为（-1，0）或（1，）或（1，）或（1，-）.
【点睛】
本题考查了抛物线解析式的确定，二次函数的最值，图形面积的分割，线段和的最小值，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用分割法表示三角形的面积，正确进行分类是解题的关键．