(通用版)中考数学二轮专题复习《一元二次方程的相关问题》专项练习(含答案)

一元二次方程的整数根热点问题专项练习

1. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k－2=0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值。[来源:Z*xx*k.Com]

2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值。

3. 关于x的一元二次方程有两个实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数。

4. 已知关于的方程.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值。

5. 关于x的方程至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.

一元二次方程的整数根热点问题专项练习

参考答案

1. 解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，

∴ △＞0，即22－4（k－2）＞0，∴ k＜3。

（2）∵k为正整数，

∴ k=1，k=2。

①当k=1时，△=8，此时原方程的根是无理数，

∴ k=1不合题意，舍去；

②当k=2时，原方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=－2。[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴ k=2。

2. 解：（1） 

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴.

解得 .  

（2）∵且k为大于3的整数，

∴4或5.    [来源:学科网ZXXK]

①当4时，方程的根不是整数。

∴4不符合题意，舍去。

②当5时，方程的根为，，均为整数。

∴5符合题意。

综上所述，k的值是5。

3. 解：（1）根据题意得m≠1

        △＝（–2m）2－4（m－1）（m＋1）＝4

∴m的取值范围是m≠1；

（2）x1＝

x2＝＝=[来源:Z|xx|k.Com][来源:Zxxk.Com]

∵方程的两个根都是正整数，

∴是正整数，

∴m－1=1或2

∴ｍ=2或3

4. （1）证明：，

是关于x的一元二次方程。

。

方程总有两个不相等的实数根。

（2）解：由求根公式，得

。

。

方程的两个实数根都是整数，且是整数，

或。

5. 解：当a=0时，原方程为，解得， 即原方程无整数解。

当时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根，

说明判别式为完全平方式，

从而为完全平方数，因为a是整数，所以9-2a为奇数，设（n为正奇数），所以，。

由求根公式得

所以。

要使为整数，而为正奇数，这种情形不成立；要使为整数，可取1，从而a=4。综上所述，的值为4。

一元二次方程的取值范围问题专项练习

1. 关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（    ）

A. a≥1      B. a＞1且a≠5     C. a≥1且a≠5       D. a≠5[来源:Zxxk.Com]

2. 如果关于x的方程(m+2)x2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程(m+1)x2-2mx+m-1=0的根为（    ）

A. －1或－3　　 B. 1或３　　　　  C. －1或３　　　　 D. 1或－3

3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________。

4. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

5. 当m取何值时，关于x的方程有两个小于1的根?[来源:Zxxk.Com]

6. 当m取何值时，关于x的方程的一根大于且小于0，另一根大于1而小于3？

7. 已知方程x2x+4-2m=0在1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围。[来源:Zxxk.Com]

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

一元二次方程的取值范围问题专项练习[来源:Z,xx,k.Com]

参考答案

1. A  解析：当a-5=0时，方程必有实数根；当a-5≠0时，由判别式非负，可求得a≥1。综上所述，选A。

2. B  解析：第一个方程有且只有一个实数根，说明这是一个一元一次方程，所以m=-2。代入所求方程即可求解。

3. m<2且m≠1  解析：在计算判别式大于0时，同时要满足二次项系数不为0。

4. -1≤k<2且  解析：注意本题有三个不等关系：二次项系数不为0，被开方式非负，判别式大于0。

5. 解：令，由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标小于1。当x=1时，1+2m+m2-m-1=m2+m=m(m+1)>0；

，

对称轴，综合以上三个条件得，m>0。

6. 解：由函数的图象知，当x=-2时，函数值大于0；当x=0时，函数值小于0；当x=1时，函数值小于0；当x=3时，函数值大于0.联立以上不等式，可得结论-12<m<0。

7. 解：方程可化为 2m=x2-x+4，即函数y=2m与函数y=x2-x+4在1≤x≤1这个范围上有公共点。求出y=x2-x+4在1≤x≤1上的范围。即，从而有。

与一元二次方程有关的求值及证明问题专项练习

1. 已知代数式的值为-2，则代数式的值为_______________。

2. 已知关于x的一元二次方程（3a-1）x2-ax+=0有两个相等的实数根，求代数式a2-2a+1+的值。

3. 已知m是方程的一个不为0的根，求数式的值。

4. 方程x2+ax+1=0和x2－x－a=0有一个公共根，则a的值是（    ）

A. 0         B. 1          C. 2           D. 3

5. 已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为           。

6. 已知关于x的方程①与②都有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）若m为整数且是方程①的一个根，求代数式的值。

7. 已知关于的一元二次方程。[来源:学科网]

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是整数，求的整数值；

（3）若此方程的两个实数根分别为、，求代数式

的值。

与一元二次方程有关的求值及证明问题专项练习[来源:学科网ZXXK]

参考答案

1. -3  解析：由已知，3x2-4x=-3，代入目标式即可。

2. 解：由已知，∆=a2-3a+1=0，即=3，

∴所求代数式=-1+=3。[来源:Z+xx+k.Com]

3. 解：由已知，m2-2012m+1=0，从而m2+1=2012m，且。

∴所求代数式=-1+m+=2011。

4. C  解析：设公共根为x0，则有x02+ax0+1=0和x02－x0－a=0。

两式相减，得（a+1）x0+a+1=0

如果a=-1，则原方程无实根，所以x0=-1。

代回上式，得出  a=2。

5.   解析：由已知，x2＋3x=1，所求式化简为，从而得。

6. 解：（1）由已知，，解得  0<m<3且m1.

（2）由于m是整数，所以m=2，方程①为2x2-4x+1=0，

∴2a2-4a=-1，2a2+1=4a，代入，得所求式=2。

7. （1）证明：由已知，m0，∆=（2m+1）2-8m=（2m-1）2≥0，因此方程总有两个实数根。

（2）解：由求根公式，得两根分别为2和。

因为两根都是整数，所以m=1。

（3）解：∵此方程的两个实数根分别为、，

∴，。[来源:学&科&网]

所求式=+[来源:学科网ZXXK]

      =++5

      =0+0+5

      =5

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

1. 已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

2. 已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A右侧），与y轴交于点C。

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式。[来源:学。科。网Z。X。X。K]

3. 已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）。

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于的二次函数y= mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

4. 已知一次函数（k≠0）的图象经过，两点，二次函数（其中a＞2）。

    （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

    （2）利用函数图象解决下列问题：

    ①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；

②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围。

5. 已知二次函数的图象经过，两点。

    （1）求对应的函数表达式；

    （2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；

（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，根据函数图象直接写出a的取值范围。

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

参考答案

1.（1）证明：

[来源:Zxxk.Com]

所以方程有两个不等实根；

（2）解：，

。

[来源:Z,xx,k.Com]

（3）解：作出函数的图象，并将图象在直线左侧的部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，易知点的坐标分别为

当直线过点 A 时，可求得

过点B时，可求得

因此，。

2. 解：（1）令，有，

∴，∴，

∴，，[来源:学科网ZXXK]

∵点B在点A的右侧，

∴，；

（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，

∴，∴，

∴，

令，有，

∴，

∵是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴，即，

∴，∴，（舍去），∴，

∴抛物线的解析式为。

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为和。

将交点坐标分别代入一次函数解析式中，

得  解得

一次函数的解析式为。

3.（1）证明：∵m≠0，

∴mx2+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程.

∴△=（3m+1）2－12m=（3m－1）2。∵ （3m－1）2≥0，∴方程总有两个实数根；

    （2）解：由求根公式，得x1=－3，x2=。 ∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1；

（3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3，

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）。依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3。

当直线y=x+b经过B点时，可得b=1。

∴1＜b＜3。

当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时，

可得x+b=－x2－4x－3，∴x2+5x+3+b=0，

∴△=52－4（3+b） =0，∴b=，∴b＞，

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞。

4.（1）∵ 一次函数（k≠0）的图象经过，两点，

∴

解得

∴ 。

∵ ，

∴ 二次函数图象的顶点坐标为；[来源:Zxxk.Com]

（2）①当时，，

因为且≤0，由图象

得2＜x≤4。

②≤a＜。

5.（1）∵二次函数的图象经过，两点，

∴

解得

∴ 抛物线的函数表达式为；

（2）∵，

∴ 抛物线的顶点为，

∴ 平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为；

（3）a≥。