2020-2021学年河北省唐山市九中九年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省唐山市九中九年级（下）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣1C．y＝D．y＝﹣x2+1
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠﹣1C．x＞﹣1D．x＞1
4．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3D．y＝3（x﹣2）2﹣3
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A，B两点，若四边形MAOB的面积为10．则反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝ 度．
10．（3分）已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是 ．
11．（3分）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是 ．
12．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是 ．
14．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为 ．
15．（3分）如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，任选一个你认为合适的x代入求值．
17．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝ ；
②当∠B＝ 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
19．学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x＝ ，甲班学生成绩的中位数落在等级 中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n＝ ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
20．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．
（3）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
21．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
22．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？ （请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出当△ACE为等腰三角形时CE：CD的值是 ．
（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
23．已知：抛物线y＝ax2+bx﹣4a交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说理由；若存在，求出点P的坐标．
（3）点D坐标为（1，﹣1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M，N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．
2020-2021学年河北省唐山市九中九年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．
【解答】解：根据中心对称和轴对称的定义可得：
A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A选项错误；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项错误；
C、是中心对称图形也是轴对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称与轴对称的定义，属于基础题，注意区分中心对称与轴对称．
2．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣1C．y＝D．y＝﹣x2+1
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：A、y＝﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；
B、y＝x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，故B正确．
C、y＝，k＝1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；
D、y＝﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故D错误；
故选：B．
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠﹣1C．x＞﹣1D．x＞1
【分析】二次根式的被开方数应为非负数，分母不等于0，列式即可求得自变量的取值．
【解答】解：根据题意得：x+1＞0，
解得x＞﹣1，
故选：C．
【点评】单独的二次根式在分母上，被开方数为正数．
4．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3D．y＝3（x﹣2）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数的图象交于A，B两点，若四边形MAOB的面积为10．则反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），反比例函数的解析式为y＝，根据反比例函数的图象过A，B两点，所以ab＝k，cd＝k，进而得到S△AOC＝k，S△BOD＝k，S矩形MCDO＝3×2＝6，根据四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO＝10，即可解答．
【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），反比例函数的解析式为y＝，
∴ab＝k，cd＝k，
∴S△AOC＝|ab|＝k，S△BOD＝|cd|＝k，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO＝3×2＝6，
∴四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO＝k+k+6＝10，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和比例系数k的几何意义，反比例函数系数k的几何意义是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根得到抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确；
∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，
∵二次函数的最大值为2，
∴m＞2，故③正确．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题：
9．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝ 44 度．
【分析】已知了∠B的度数，即可由圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数，再根据平行线的内错角相等可得出∠A的度数．
【解答】解：∵BA∥CO，
∴∠A＝∠AOC；
∵∠B＝22°，
∴∠AOC＝2∠B＝44°，
∴∠A＝44°．
【点评】此题主要考查的是平行线的性质及圆周角定理的应用．
10．（3分）已知圆锥底面半径是6cm，圆锥的高是8cm，则它的侧面积是 60πcm2． ．
【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长＝＝10（cm），
∵圆锥的底面周长为2πr＝2π×6＝12π（cm），
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π（cm），
∴圆锥的侧面积为：×12π×10＝60π（cm2）．
故答案为60πcm2
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．
11．（3分）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是 0 ．
【分析】根据方程有实数根可知△≥0，据此求出m的取值范围，从而得到m的最大整数值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴△≥0，
∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，
∴﹣8m+4≥0，
解得，m≤，
故m的最大整数值是0．
故答案为0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标是 ．
【分析】过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP＝45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为（a，a），再由∠AOB＝90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC＝2，根据垂径定理求出EF的长，用PE﹣EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
【解答】解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
故答案为：
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用了转化及方程的思想，是一道综合性较强的试题．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是 （﹣2，﹣1） ．
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）
【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
14．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为 20 ．
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝12；
∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2；
∴BE＝10；
∴BC＝2BE＝20；
故答案为20．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．
15．（3分）如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为6，则k的值为 4 ．
【分析】分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，根据C是AB的中点得到CN为△AMB的中位线，然后设MN＝NB＝a，CN＝b，AM＝2b，根据OM•AM＝ON•CN，得到OM＝a，最后根据面积＝3a•2b÷2＝3ab＝6求得ab＝2从而求得k＝a•2b＝2ab＝4．
【解答】解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，
∵点C为AB的中点，
∴CN为△AMB的中位线，
∴MN＝NB＝a，CN＝b，AM＝2b，
∵OM•AM＝ON•CN，
∴OM•2b＝（OM+a）•b
∴OM＝a，
∴S△AOB＝3a•2b÷2＝3ab＝6，
∴ab＝2，
∴k＝a•2b＝2ab＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
三、解答题
16．先化简，再求值：（﹣x+1）÷，任选一个你认为合适的x代入求值．
【分析】把﹣x+1看成分母是1，先通分，再做除法．化简后代入合适的x求值．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝（﹣）×
＝×
＝×
＝
当x＝1时
原式＝﹣
＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值．在代入合适的值时容易出错，易疏忽x不能取﹣1、2、0．
17．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
【分析】（1）①根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可；
②根据轴对称的性质找出点A关于直线x＝3的对称点，即为所求的点D；
（2）根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．
【解答】解：（1）①如图所示；
②直线CD如图所示；
（2）∵由图可知，AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵A（0，4），C（3，0），
∴平行四边形ABCD的中心坐标为（，2），
代入直线得，k＝2，
解得k＝．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考查了平行四边形的判定与性质，是基础题，要注意平分四边形面积的直线经过中心的应用．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝ 3 ；
②当∠B＝ 45 度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC＝ED，再求得EB＝ED，即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再根据BD＝BC•cs30°计算即可；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA＝∠A＝45°，于是∠DOC＝90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB＝90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC＝ED，
又∵∠EDO＝90°，
∴∠BDE+∠ADO＝90°，
∴∠BDE+∠A＝90°
又∵∠B+∠A＝90°，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∴BE＝EC；
（2）解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝6，
∵AC为直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴BD＝BC•cs30°＝3
故答案为：3；
②当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∵∠ODE＝90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD＝OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
【点评】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x＝ 2 ，甲班学生成绩的中位数落在等级 B 中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n＝ 36° ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
【分析】（1）利用总人数30减去其它各组的人数就是x的值，根据中位数的定义求得中位数的值，利用360°乘以对应的比例就可求得圆心角的度数；
（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率．
【解答】解：（1）x＝30﹣15﹣10﹣3＝2；中位数落在B组；等级D部分的扇形圆心角n＝360°×＝36°；
故答案是：2，B，36°；
（2）乙班A等级的人数是：30×10%＝3，
则甲班的二个人用甲表示，乙班的三个人用乙表示．
，
共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是：＝．
【点评】考查了频数（率）分布表，本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．
20．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．
（3）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，写出x的取值范围即可；
（3）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），由S△AOB＝S△OBM，可得S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y＝图象上，
∴m＝1，n＝2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y＝kx+b中，得，
解得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9；
（2）观察图象可知，kx+b﹣＞0时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），
∵S△AOB＝S△OBM，
∴S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，
∴×3×6﹣×3×3＝|m|•3，
解得m＝±3，
∴点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；
（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
【分析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x天后每千克苹果的价格为p元与x的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量＝销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价﹣成本﹣费用＝利润，进而求出即可．
【解答】解：（1）根据题意知，p＝0.1x+4；
（2）y＝（0.1x+4）（10000﹣50x）＝﹣5x2+800x+40000．
（3）∵w＝y﹣300x﹣4×10000
＝﹣5x2+500x
＝﹣5（x﹣50）2+12500
∴当x＝50时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w与x的函数关系是解题关键．
22．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？ 是 （请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出当△ACE为等腰三角形时CE：CD的值是 2：1或 ．
（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，求出DE＝CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE＝DF，∠DAE＝∠FDC即可；
（2）有两种情况：①当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝CE＝a即可；②当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝AE＝a，根据正方形的性质∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可；
（3）由于点P在运动中保持∠APD＝90°，所以点P的路径以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧DG，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
【解答】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF；
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠CDF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，CE：CD＝2：1或．
理由：有两种情况：
①如图1，当AC＝CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝2a，
则CE：CD＝a：a＝：1；
②如图2，当AE＝AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，
∴DE＝CD＝a，
∴CE：CD＝2a：a＝2：1；
综上所述，CE：CD＝：1或2：1；
故答案为：：1或2：1；
（3）如图：由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧DG，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC＝＝＝，
∴CP＝QC﹣QP＝．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，解题时需要运用分类讨论思想．
23．已知：抛物线y＝ax2+bx﹣4a交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说理由；若存在，求出点P的坐标．
（3）点D坐标为（1，﹣1），连接AD，将线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN（点M，N分别与点A、D对应），使点M、N都在抛物线上，求点M、N的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，2）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出点B的坐标，即可求出直线BC的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+x+2），则Q（x，﹣x+2）；求出PQ的长，利用S△PCB＝PQ•OB列出S关于x的二次函数，利用函数的性质求出面积的最大值，进而求出点P的坐标；
（3）作辅助线，根据线段AD绕平面内某一点旋转180度得线段MN可知：旋转后的MN与AD平行且相等，构建全等三角形：△ADG≌△MNG，根据A、D两点的坐标发现，N点向下平移1个单位再向右移动两个单位得M，设N的坐标为：设N（m，﹣），根据平移规律表示M（m+2，﹣﹣1），代入抛物线的解析式即可求m的值，并计算出M、N的坐标．
【解答】解：（1）依题意，有：，
解得，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4a交x轴于点B，
∴B（4，0），
∴直线BC：y＝﹣x+2；
如图1，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+x+2），则Q（x，﹣x+2）；
∴PQ＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，
S△PCB＝PQ•OB＝×（﹣x2+2x）×4＝﹣（x﹣2）2+4；
当x＝2时，S有最大值，
当x＝2时，y＝﹣×4+×2+2＝3，
∴当P（2，3）时，△PCB的面积最大；
（3）如图2，过D作DG⊥x轴于G，过N作NH∥y轴，过M作MH∥x轴，交于H，
由题意得：△ADG≌△MNG，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
∴AG＝2，DG＝1，
∴NH＝DG＝1，MH＝AG＝2，
设N（m，﹣），则M（m+2，﹣﹣1），
把M的坐标代入抛物线y＝﹣x2+x+2中得：
﹣（m+2）2+（m+2）+2＝﹣﹣1，
解得：m＝1，
当m＝1时，﹣＝﹣×1++2＝3，
∴N（1，3），M（3，2）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形全等的判定等知识，解答（2）问关键是用x表示出PQ的长，解答（3）问关键是作辅助线，构建全等三角形，利用坐标关系发现规律，此题有一定的难度．
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日期：2021/1/16 18:04:50；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971等级
成绩（S）
频数
A
90＜S≤100
x
B
80＜S≤90
15
C
70＜S≤80
10
D
S≤70
3
合计
30
等级
成绩（S）
频数
A
90＜S≤100
x
B
80＜S≤90
15
C
70＜S≤80
10
D
S≤70
3
合计
30