北京159中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份北京159中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了计算4﹣2的结果是，下列命题中，真命题的个数是，若分式方程=有增根，则a的值是等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（每题3分，共30分）：
1．月亮的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为（ ）
A．2.15×10﹣5B．2.15×10﹣6C．2.15×10﹣7D．21.5×10﹣6

2．计算4﹣2的结果是（ ）
A．﹣8B．﹣C．﹣D．

3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bxB．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）D．ax+bx+c=x（a+b）+c

4．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（ ）
A．①④B．①③④C．①③D．①②③④

5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4B．3C．2D．1

6．若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x=﹣2B．x=2C．x≠﹣2D．x=±2

7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，则∠EAD的度数为（ ）
A．80°B．70°C．30°D．110°

8．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′D．∠C=∠C′

9．若分式方程=有增根，则a的值是（ ）
A．3B．0C．4D．2

10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（ ）
A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16


二.填空题（每题2分，共20分）：
11．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．

12．不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数： = ．

13．计算的结果是 ．

14．如果x+y=0，xy=﹣7，x2y+xy2= ，x2+y2= ．

15．计算： +的结果是 ．

16．如图，如图△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25°，∠B=48°，那么DE= cm，∠C= °．

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：DB=3：5，则点D到AB的距离是 ．

18．多项式x2﹣8x+k可化为（x﹣a）2（其中a≠0）的形式，则k= ．

19．若x﹣=2，则x2+的值是 ．

20．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= ．


三.解答题（共50分）
21．（2015秋•北京校级期中）分解下列因式：
（1）9a2﹣1
（2）p3﹣16p2+64p．

22．（2015秋•北京校级期中）计算：
（1）（﹣）2
（2）+
（3）（a+）÷（1+）

23．（2013秋•武昌区期末）先化简，再求值：，其中m=9．

24．（2015秋•北京校级期中）解方程：
（1）=
（2）+3=．

25．（2013秋•海安县期中）若a2+b2+2a﹣6b+10=0，求a2﹣b2的值．

26．（2015秋•北京校级期中）已知：如图，AB=AC，DB=DC，求证：∠B=∠C．

27．（2014秋•故城县期末）已知：如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．
求证：∠A=∠E．

28．已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．

29．（2013秋•门头沟区期末）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）

30．（2008春•江西期中）甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，先后共用2小时到达乙，已知骑自行车的速度是步行的速度的4倍，求此人步行的速度．

31．（2013秋•西城区期末）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．


一．选做题：
32．（2015•魏县二模）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．
（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？


2017-2018学年北京159中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（每题3分，共30分）：
1．月亮的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为（ ）
A．2.15×10﹣5B．2.15×10﹣6C．2.15×10﹣7D．21.5×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 00215=2.15×10﹣6；
故选：B．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

2．计算4﹣2的结果是（ ）
A．﹣8B．﹣C．﹣D．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算，即可求出答案．
【解答】解：4﹣2==；
故选D．
【点评】此题考查了负整数指数幂；幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．

3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bxB．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）D．ax+bx+c=x（a+b）+c
【考点】因式分解的意义．
【专题】压轴题．
【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【点评】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．

4．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（ ）
A．①④B．①③④C．①③D．①②③④
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：①是分式，
②是整式，
③是整式，
④是分式，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．

5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①全等三角形的周长相等
②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等
④面积相等的两个三角形全等．
A．4B．3C．2D．1
【考点】命题与定理．
【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断；根据全等三角形的判定方法对④进行判断．
【解答】解：全等三角形的周长相等，所以①正确；全等三角形的对应角相等，所以②正确；全等三角形的面积相等，所以③正确； 面积相等的两个三角形不一定全等，所以④错误．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

6．若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x=﹣2B．x=2C．x≠﹣2D．x=±2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为0的条件可得x2﹣4=0且x+2≠0，再解出x的值即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4=0且x+2≠0，
解得：x=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，则∠EAD的度数为（ ）
A．80°B．70°C．30°D．110°
【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，
∴∠B=∠D=80°，∠E=∠C=30°，
∴∠EAD=180°﹣∠D﹣∠E=70°，
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠B=∠D=80°，∠E=∠C是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

8．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ）
A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′D．∠C=∠C′
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．
【解答】解：
A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．

9．若分式方程=有增根，则a的值是（ ）
A．3B．0C．4D．2
【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），
得2=a﹣x
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）=0，
解得x=2，
当x=2时，a=4．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（ ）
A．3：4B．4：3C．16：9D．9：16
【考点】三角形的面积．
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．

二.填空题（每题2分，共20分）：
11．要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠1 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

12．不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数： = ．
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数： =，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．

13．计算的结果是 4 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，然后合并即可得出答案．
【解答】解：原式=2﹣1+3=4．
【点评】此题考查了零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．

14．如果x+y=0，xy=﹣7，x2y+xy2= 0 ，x2+y2= 14 ．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式．
【专题】整体思想．
【分析】第一空提取xy，第二个空利用完全平方和公式，二者都需整体代入．
【解答】解；∵x+y=0，xy=﹣7
∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣7×0=0
x2+y2=（x+y）2﹣2xy=02﹣2×（﹣7）=0+14=14．
【点评】解决此类问题要整体观察，根据具体情况综合应用相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想．

15．计算： +的结果是 ﹣1 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣
=
=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．如图，如图△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25°，∠B=48°，那么DE= 2 cm，∠C= 48 °．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出DE=AE，∠C=∠B，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABE≌△DCE，AE=2cm，∠B=48°，
∴DE=AE=2cm，∠C=∠B=48°，
故答案为：2，48．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：DB=3：5，则点D到AB的距离是 15 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】由条件可求得DC=15，再根据角平分线的性质可D到AB的距离等于DC，可得答案．
【解答】解：∵BC=40，DC：DB=3：5，
∴CD=15，
又∵∠C=90°，
∴D到AC的距离为15，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AB的距离等于DC，
∴点D到AB的距离是15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

18．多项式x2﹣8x+k可化为（x﹣a）2（其中a≠0）的形式，则k= 16 ．
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣8x+k=x2﹣8x+16=（x﹣4）2，可知a=4，k=16．
【解答】解：∵x2﹣8x+k=x2﹣8x+16=（x﹣4）2，
∴a=4，k=16．
故答案为16．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

19．若x﹣=2，则x2+的值是 6 ．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】把式子x﹣=2两边同时平方即可求解．
【解答】解：∵x﹣=2
∴（x﹣）2=22即x2+﹣2=4
∴x2+=6
故答案是：6．
【点评】本题主要是代数式的求值，正确理解已知与所求的式子之间的关系是解决本题的关系．

20．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= 150° ．
【考点】角平分线的性质；三角形的外角性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．

三.解答题（共50分）
21．（2015秋•北京校级期中）分解下列因式：
（1）9a2﹣1
（2）p3﹣16p2+64p．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=（3a+1）（3a﹣1）；
（2）原式=p（p2﹣16p+64）=p（p﹣8）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

22．（2015秋•北京校级期中）计算：
（1）（﹣）2
（2）+
（3）（a+）÷（1+）
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】（1）原式分子分母分别乘方即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=；
（2）原式===；
（3）原式=÷=•=a﹣1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．（2013秋•武昌区期末）先化简，再求值：，其中m=9．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=，
当m=9时，原式==．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

24．（2015秋•北京校级期中）解方程：
（1）=
（2）+3=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
（2）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

25．（2013秋•海安县期中）若a2+b2+2a﹣6b+10=0，求a2﹣b2的值．
【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．
【分析】利用完全平方公式分解因式，然后根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵a2+b2+2a﹣6b+10=0，
∴a2+2a+1+b2﹣6b+9=0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2=0，
∴a+1=0，b﹣3=0，
∴a=﹣1，b=3，
∴a2﹣b2=（﹣1）2﹣32，
=﹣8．
【点评】本题考查了公式法分解因式，非负数的性质，熟记完全平方公式的公式结构并配方成两个平方和等于0的形式是解题的关键．

26．（2015秋•北京校级期中）已知：如图，AB=AC，DB=DC，求证：∠B=∠C．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据SSS，可得△ABD与△ACD的关系，根据全等三角形的性质，可得答案．
【解答】证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠B=∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应角相等．

27．（2014秋•故城县期末）已知：如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．
求证：∠A=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】易证∠ABC=∠D，即可求证△CAB≌△BED，即可解题．
【解答】证明：∵BC∥DE
∴∠ABC=∠D
在△CAB和△BED中，
，
∴△CAB≌△BED（SAS），
∴∠A=∠E．
【点评】本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应角想等的性质，本题中求证△CAB≌△BED是解题的关键．

28．已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
【解答】证明：连接DC，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD=BC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

29．（2013秋•门头沟区期末）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
【考点】作图—复杂作图．
【分析】画∠A的平分线AD和AB的中垂线MN，两线的交点P就是所求的答案．
【解答】解：画∠A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于点P，则P为所求．
【点评】本题主要考查对线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，作图﹣复杂作图等知识点的理解和掌握，能正确画图是解此题的关键．

30．（2008春•江西期中）甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，先后共用2小时到达乙，已知骑自行车的速度是步行的速度的4倍，求此人步行的速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，根据题意可得等量关系为：步行时间+骑车时间=2小时．根据等量关系列出方程解方程即可．
【解答】解：设步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，
则+=2，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解．
答：步行速度为5km/h．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：时间=路程÷速度，需注意分式应用题需验根．

31．（2013秋•西城区期末）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；
（2）延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD=FB，进而得出AE=AF，就可以得出BE=BF，从而结论AD=BE．
【解答】解：（1）由题意，得作图如下：
（2）延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，
在△ACD和△FCB中
，
∴△ACD≌△FCB（SAS）
∴AD=FB．
∵CF=AF，
∴AF=2AC．
∵AE=2CA，
∴AF=AE，
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥EF，
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE=BF，
∴AD=BE．
【点评】本题考查了基本作图的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中垂线的判定及性质的运用，解答时正确作出图形是关键，证明三角形全等是难点．

一．选做题：
32．（2015•魏县二模）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．
（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型．
【分析】正方形的四边相等，四个角都是直角．（1）①速度相等，运动的时间相等，所以距离相等，根据全等三角形的判定定理可证明．②因为运动时间一样，运动速度不相等，所以BP≠CQ，只有BP=CP时才相等，根据此可求解．
（2）知道速度，知道距离，这实际上是个追及问题，可根据追及问题的等量关系求解．
【解答】解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=4×1=4厘米，（1分）
∵正方形ABCD中，边长为10厘米
∴PC=BE=6厘米，（1分）
又∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，（1分）
∴△BPE≌△CQP（1分）
②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，
而BP=4t，CP=10﹣4t，
∴4t=10﹣4t（2分）
∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）
∴厘米/秒．（1分）
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得4.8x﹣4x=30，（1分）
解得秒．（1分）
∴点P共运动了厘米（1分）
∴点P、点Q在A点相遇，
∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）
【点评】本题考查正方形的性质，四个边相等，四个角都是直角以及全等三角形的判定和性质．