2017-2018学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份2017-2018学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正五边形 B．正方形 C．梯形 D．等腰三角形
　
3．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　）
A．锐角三角形有三条高
B．直角三角形只有一条高
C．任意三角形都有三条高
D．钝角三角形有两条高在三角形的外部
　
4．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（　　）
A．5或7 B．7或9 C．7 D．9
　
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
　
6．点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）
　
7．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
　
8．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
9．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（　　）

A．40° B．35° C．25° D．20°
　
10．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P点有多少个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
　
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．四边形的内角和为　　　　　　．
　
12．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A=∠B，只需补充一个条件　　　　　　，则有△AOC≌△BOD．

　
13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=　　　　　　°．

　
14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE=　　　　　　．

　
15．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，则∠EDA=　　　　　　 度．

　
16．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC垂足为点E，EF∥AB，AE=1，则△EFC的周长=　　　　　　．

　
　
三、解答题（每题6分，共24分）
17．已知多边形的每个内角与其外角的差均为90°，求每个内角的度数与多边形的边数．
　
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

　
19．观察右面两个图形，解答下列问题：
（1）其中是轴对称图形的为　　　　　　，是中心对称图形的为　　　　　　（填序号）；
（2）用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴（要求：只保留作图痕迹，不写作法）

　
20．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画出格点三角形，并求其面积．
（1）在图①中画出一个以AB为腰的等腰三角形，这个三角形的面积为　　　　　　．
（2）在图②中画出一个以AB为底边的等腰三角形，这个三角形的面积为　　　　　　．

　
　
四、解答题（每题7，共28分）
21．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　　　　　　；结论：　　　　　　．（均填写序号）
证明：

　
22．如图，已知△ABC和△BED都是等边三角形，且A、E、D在一条直线上，且DC=4，BD=2，求AD的长度？

　
23．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC．
①求证：△BED≌△ACD．
②求证：BF⊥AC．

　
24．如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．

　
　
五、解答题：（每题10分，共20分）
25．实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′　　　　　　、C′　　　　　　；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为　　　　　　（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明，并保留作图痕迹）

　
26．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示：AP=　　　　　　，AE=　　　　　　，BE=　　　　　　．
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

　
　

2017-2018学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
　
2．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正五边形 B．正方形 C．梯形 D．等腰三角形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：正五边形，正方形，梯形，等腰三角形中具有稳定性的是等腰三角形．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
　
3．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　）
A．锐角三角形有三条高
B．直角三角形只有一条高
C．任意三角形都有三条高
D．钝角三角形有两条高在三角形的外部
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此解答即可．
【解答】解：A、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；
C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；
D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置．
　
4．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（　　）
A．5或7 B．7或9 C．7 D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边又是奇数得到答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于8﹣3=5，而小于两边之和8+3=11．
又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．
故选B．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
　
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论．
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°﹣80°）=50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选C．
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．
　
6．点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），可以直接得到答案．
【解答】解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），
故选：C．
【点评】此题主要考查了考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容，比较基础，关键是熟记点的坐标变化规律．
　
7．如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．
【解答】解：∵∠B=90°，∠1=30°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣30°=60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠3=60°．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
　
8．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AD⊥BC；
（3）∠B=∠C；
（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，可得出答案．
【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴（2）（4）正确，
在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴（1）正确，
∴正确的有4个，
故选D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
　
9．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（　　）

A．40° B．35° C．25° D．20°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，
∴∠ADC==50°，
∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=∠BAD=（）°=25°．
故选C．
【点评】此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
　
10．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P点有多少个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】没有指明点P在正半轴还是在负半轴，也没有说明哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA=2，
∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；

（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA=2，
∴OA=AP=2，
∴P的坐标是（﹣2，0）．
故选D．



【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．四边形的内角和为　360°　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：（4﹣2）×180°=360°．
故四边形的内角和为360°．
故答案为：360°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．
　
12．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A=∠B，只需补充一个条件　AC=BD　，则有△AOC≌△BOD．

【考点】全等三角形的判定．
【分析】补充条件：AC=BD，可利用AAS定理判定△AOC≌△BOD．
【解答】解：补充条件：AC=BD，
∵在△AOC和△DOB中，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
故答案为：AC=BD．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=　540　°．

【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360°②，∠5+∠6+∠7+α=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+γ=180°①，
∠3+∠4+β+θ=360°②，
∠5+∠6+∠7+α=360°③，
∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+α+β+γ+θ=900°，
∵α+β=180°，γ+θ=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，
=900°﹣180°﹣180°，
=540°．
故答案为：540．

【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．
　
14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE=　45°　．

【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，又由等腰三角形的性质，可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C==75°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=45°．
故答案为；45°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
　
15．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，则∠EDA=　15　 度．

【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABD=ABC=30°，∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED==75°，于是得到结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，
∴∠ABD=ABC=30°，∠ADB=90°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED==75°，
∴∠EDA=15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
　
16．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC垂足为点E，EF∥AB，AE=1，则△EFC的周长=　9　．

【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】求△EFC的周长，可求出其各边，要求其边长，可利用勾股定理进行求解．
【解答】解：在Rt△ADE中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
又AE=1，
∴AD=2AE=2，
∵D为AB的中点，∴AB=AC=4，
∴CE=AC﹣AE=4﹣1=3，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠B=60°，又∠C=60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴EF=FC=EC=3，
∴△EFC的周长=3+3+3=9．
【点评】熟练掌握等边三角形的性质，能用勾股定理解决一些简单的计算问题．
　
三、解答题（每题6分，共24分）
17．已知多边形的每个内角与其外角的差均为90°，求每个内角的度数与多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90°，则每个外角是45°．正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据多边形的内角和定理就可以求出这个多边形的内角和．
【解答】解：设每一个外角为x°，则每一个内角为（x+90）°，
根据题意，得x+x+90=180，
解得x=45，
360÷45=8．
答：每个内角的度数为45°，它的边数为8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
　
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；

（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
　
19．观察右面两个图形，解答下列问题：
（1）其中是轴对称图形的为　②　，是中心对称图形的为　①　（填序号）；
（2）用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴（要求：只保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义分析．
（2）连接关键的对应点，作连线的垂直平分线即可．
【解答】解：（1）②，①；（2分）

（2）
（3分）
评分标准：（1）每填对一个得（1分），填“V“、“N“不扣分
（2）作法1、作法2中不作虚线不扣分．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义及对称轴的画法，掌握轴对称图形的画法即可
　
20．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画出格点三角形，并求其面积．
（1）在图①中画出一个以AB为腰的等腰三角形，这个三角形的面积为　3　．
（2）在图②中画出一个以AB为底边的等腰三角形，这个三角形的面积为　2.5　．

【考点】勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）画图可得出以AB为腰的等腰三角形的底边长为2，底上的高为3，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）画图可得出以AB为底的等腰三角形如图所示，用边长为2和和3的矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）以AB为腰的等腰三角形的面积：×2×3=3；
面积为：4或5或3；

（2）以AB为底的等腰三角形的面积：2×3﹣×3×1﹣×1×2×2=2.5，
故答案为3，2.5．

【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的性质．
　
四、解答题（每题7，共28分）
21．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　可以为①②③　；结论：　④　．（均填写序号）
证明：

【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理．
【专题】压轴题．
【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．
【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．
证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1=∠2；

情况二：题设：①③④；结论：②．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC﹣FC=EF﹣FC，
即BF=EC；

情况三：题设：②③④；结论：①．
证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．
　
22．如图，已知△ABC和△BED都是等边三角形，且A、E、D在一条直线上，且DC=4，BD=2，求AD的长度？

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，求出∠ABE=∠CBD，根据SAS推出△ABE≌△CBD，根据全等得出AE=CD=4，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD=60°﹣∠CBE，
在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD=4，
∵△BED是等边三角形，
∴DE=BD=2，
∴AD=2+4=6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，能推出△ABE≌△CBD是解此题的关键．
　
23．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC．
①求证：△BED≌△ACD．
②求证：BF⊥AC．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】①求出∠BDE=∠ADC=90°，根据SAS推出两三角形全等即可；
②根据全等三角形的性质得出∠CAD=∠DBE，根据三角形内角和定理求出∠DBE+∠BED=90°，求出∠AEF+∠CAD=90°，根据三角形内角和定理求出∠AFE=90°，即可得出答案．
【解答】证明：①∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在△BED和△ACD中

∴△BED≌△ACD（SAS）；

②∵△BED≌△ACD，
∴∠CAD=∠DBE，
∵∠BDE=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEF，∠DBE=∠CAD，
∴∠AEF+∠CAD=90°，
∴∠AFE=180°﹣90°=90°，
∴BF⊥AC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能推出△BED≌△ACD是解此题的关键．
　
24．如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．

【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质，证得等角，利用等角对等边这一判定定理证明△AFD为等腰三角形．
（2）AD是角平分线，易证∠GFD=30°，又△GFD是直角三角形，所以30°锐角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，求出DE=5．
【解答】（1）证明：如图所示，
∵DF∥AC，
∴∠3=∠2，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FD=FA，
∴△AFD为等腰三角形．

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G，
∵∠1=∠2=∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠1=15°，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠3=15°，
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°，
在Rt△FDG中，DF=10cm，∠GFD=30°，
∴DG=5cm，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG=5cm．

【点评】本题考查了角平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定；正确作出辅助线、计算出各角的度数是解答本题的关键．
　
五、解答题：（每题10分，共20分）
25．实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′　（3，5）　、C′　（5，﹣2）　；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为　（b，a）　（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明，并保留作图痕迹）

【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形变化-对称．
【专题】数形结合．
【分析】（1）借助网格，根据轴对称的定义画出各点关于直线的对称点，即可解答．
（2）由（1）中坐标得出规律，即可求出P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标．
（3）作出E点的对称点F，连接DF，求出DF的解析式，与l解析式组成方程组即可求出Q点坐标．
【解答】解：（1）由图可知，B'（3，5），C'（5，﹣2）．
（2）由（1）可知，关于直线l对称的点的横纵坐标互为相反数．
（3）作出E点关于直线l对称点F，则QF=QE，
故EQ+QD=FQ+QD=FD．

【点评】此题是一道规律探索题，先根据（1）（2）得出规律，再根据规律得出（3）中点的对应点，利用轴对称的性质画出图形即可．
　
26．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示：AP=　2tcm　，AE=　tcm　，BE=　（6﹣t）cm　．
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，即可求得答案；
（2）在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣2t=（6+2t），求出t的值即可；
（3）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EF=BE+BF=BE+AE=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠A=60°，
根据题意得：AP=2tcm，
∵PE⊥AB，
∴AE=AP•cos60°=t（cm），
∴BE=AB﹣AE=6﹣t（cm）；
故答案为：2tcm，tcm，（6﹣t）cm；

（2）∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴△PCQ是直角三角形，
∴PC=QC，
根据题意得：BQ=2tcm，则CQ=BC+BQ=6+2t（cm），PC=AC﹣AP=6﹣2t（cm），
∴6﹣2t=（6+2t），
解得：t=1，
∴AP=2；

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=EF，
∵EF=BE+BF=BE+AE=AB，
∴DE=AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．