北京四十一中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份北京四十一中2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2017-2018学年北京四十一中八年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≠2
　
3．计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣9 C． D．
　
4．如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=30°，∠ADB=100°，则∠BAC的度数是（　　）

A．100° B．30° C．50° D．80°
　
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1
　
6．在代数式x，，，， y，中，分式共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
　
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
　
8．下列分式，，的最简公分母为（　　）
A．（x2+1）（x﹣1） B．（x﹣1）2 C．（x﹣1）2（x2+1） D．（x2﹣1）（x2+1）
　
9．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）

A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
　
10．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． C． D．
　
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．当x=　　　　　　时，分式的值为0．
　
12．计算： =　　　　　　．
　
13．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=　　　　　　．
　
14．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为　　　　　　米．
　
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为　　　　　　．

　
16．如图，已知：∠A=∠D=90°，AC=DB，求证：OB=OC．
以下是小明同学的分析思路：
先利用已知条件，可以证明Rt△ABC≌Rt△ABC，依据是“　　　　　　”，进而得到AB=DC；
再证明　　　　　　≌　　　　　　，依据是“　　　　　　”此时，就能够证出
OB=OC．

　
　
三、计算题（本题共24分，每小题8分）
17．计算：
（1）．
（2）．
　
18．计算：
（1）
（2）．
　
19．解分式方程：
（1）
（2）．
　
　
四、解答题（本题共18分，第20、21题各5分，第22、23题各4分）
20．已知：如图，直线AD与BC交于点O，OA=OD，OB=OC．求证：∠B=∠C．

　
21．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=．
　
22．已知，求的值．
　
23．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
　
　
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
24．已知：AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：BC=EF．

　
25．已知：如图，△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规完成以下作图：
①作△ABC的角平分线AD交BC于点D；
②过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（2）求证：EB=FC．

　
　

2017-2018学年北京四十一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故错误．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
　
2．使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≠2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不为0．
【解答】解：∵x﹣2≠0，
∴x≠2．
故选D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
　
3．计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．﹣9 C． D．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：3﹣2=．
故选C．
【点评】本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，熟记性质是解题的关键．
　
4．如图，△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=30°，∠ADB=100°，则∠BAC的度数是（　　）

A．100° B．30° C．50° D．80°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由翻折的特点可知，∠ACB=∠ADB=100°，进一步利用三角形的内角和求得∠BAC的度数即可．
【解答】解：∵△ABC沿AB向下翻折得到△ABD，
∴∠ACB=∠ADB=100°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC
=180°﹣100°﹣30°
=50°．
故选：C．
【点评】此题考查翻折的特点：翻折前后两个图形全等；以及三角形的内角和定理的运用．
　
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） D．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
　
6．在代数式x，，，， y，中，分式共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，是分式，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
　
7．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分式的基本性质；分式的加减法．
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A 分母中的a没除以b，故A错误；
B 异分母分式不能直接相加，故B错误；
C 分式的分子分母没同乘或除以同一个不为零整式，故C错误；
D 分式的分子分母都乘以（a﹣2），故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，注意不能一部分乘或除．
　
8．下列分式，，的最简公分母为（　　）
A．（x2+1）（x﹣1） B．（x﹣1）2 C．（x﹣1）2（x2+1） D．（x2﹣1）（x2+1）
【考点】最简公分母．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，的分母分别是（x﹣1）2，x2+1，x﹣1，
故最简公分母是（x﹣1）2（x2+1）．
故选C．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
　
9．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）

A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．
　
10．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．当x=　﹣　时，分式的值为0．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：1+2x=0且x﹣2≠0，
解得x=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
　
12．计算： =　　．
【考点】分式的加减法．
【分析】根据同分母的分式加减的法则进行运算即可．
【解答】解：原式=，
故答案为．
【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
　
13．分解因式：3x2﹣6xy+3y2=　3（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】常规题型．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，
=3（x2﹣2xy+y2），
=3（x﹣y）2．
故答案为：3（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
　
14．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为　5.2×10﹣8　米．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】应用题．
【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 052=5.2×10﹣8．
答：52个纳米的长度为0.000 000 052米，用科学记数法表示这个数为5.2×10﹣8米．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
　
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为　20cm　．

【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，
∴DM=CM=20cm，
即M到AB的距离为20cm．
故答案为：20cm．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
　
16．如图，已知：∠A=∠D=90°，AC=DB，求证：OB=OC．
以下是小明同学的分析思路：
先利用已知条件，可以证明Rt△ABC≌Rt△ABC，依据是“　HL　”，进而得到AB=DC；
再证明　△ABO　≌　△DCO　，依据是“　AAS　”此时，就能够证出
OB=OC．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．
【解答】解：可以证明Rt△ABC≌Rt△ABC，依据是“HL”，进而得到AB=DC；
再证明△ABO≌△DCO，依据是“AAS”此时，就能够证出
OB=OC，
故答案为：HL；△ABO；△DCO；AAS．
【点评】本题考查了直角三角形的判定和性质；由三角形全等得角相等，从而得到线段相等是证明题中常用的方法，注意掌握应用．
　
三、计算题（本题共24分，每小题8分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【考点】分式的混合运算．
【分析】（1）直接相加，约分得出答案即可；
（2）先算乘方，再把除法改为乘法约分计算即可．
【解答】解：（1）原式=
=；
（2）原式=••
=．
【点评】此题考查分式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
　
18．计算：
（1）
（2）．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式==；
（2）原式=••=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
19．解分式方程：
（1）
（2）．
【考点】解分式方程．
【分析】（1）先去分母，然后通过去括号、移项、合并同类项解方程即可；
（2）先去分母，然后通过移项、合并同类项解方程即可．
注意：分式方程需要验根．
【解答】解：（1）
去分母，得
5x﹣10=3x，
移项、合并同类项，得
2x=10，
化系数为1，得
x=5，
检验：把x=5代入x（x﹣2）=5×3≠0∴x=5是原方程的解．
∴x=5是原方程的解．

（2）
最简公分母是（x﹣4），则
，
x﹣4﹣1=5﹣x
2x=10
x=5
检验：把x=5代入x﹣4=5﹣4≠0，
∴x=5是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
　
四、解答题（本题共18分，第20、21题各5分，第22、23题各4分）
20．已知：如图，直线AD与BC交于点O，OA=OD，OB=OC．求证：∠B=∠C．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】证∠A=∠D，可证明△OAB≌△ODC．根据SAS易证．
【解答】证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC，
∴∠B=∠C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考．
　
21．先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣•=﹣•=﹣2（m+3）=﹣2m﹣6，
当m=时，原式=﹣7．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
22．已知，求的值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把﹣换成1计算即可．
【解答】解：分式的分子分母都除以ab，得
==，
∵，
∴原式==．
故的值为．
【点评】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口．
　
23．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设江水流速为v千米/时，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行100千米所用时间，与逆流航行60千米所用时间相等，列方程求解．
【解答】解：设江水流速为v千米/时，由题意得
，
解得v=5，
经检验v=5是方程的解．
答：江水流速为5千米/时．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
此题中涉及的公式：顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速，时间=路程÷速度．
　
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
24．已知：AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：BC=EF．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠EDF，∠F=∠BCA，再利用等式的性质得出AC=DF，进而证明三角形全等解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A=∠EDF，∠F=∠BCA，
∵AD=CF，
∴AC=DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC=EF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考．
　
25．已知：如图，△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规完成以下作图：
①作△ABC的角平分线AD交BC于点D；
②过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（2）求证：EB=FC．

【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）依据等腰三角形的性质和垂线的作法画出图形即可；
（2）由等腰三角形的性质可知BD=DC，∠B=∠C，由垂线的定义可知∠DEB=∠DFC=90°，然后依据AAS可证明△DEB≌△DFC，由全等三角形的性质可知EB=FC．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC．
∴EB=FC．
【点评】本题主要考查的是尺规作图、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，掌握五种基本作图是解题的关键．