初中数学华师大版八年级下册19.1 矩形综合与测试教学设计

19．1　矩　形

1　矩形的性质(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．

2．经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握矩形的性质定理．

【教学难点】

会用矩形的性质定理进行推导证明

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P98～P101的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

3．矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线，有2条对称轴．

4．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“”，若错误请在括号里打“”．

(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．(　　)

(2)平行四边形就是矩形．(　　)

(3)平行四边形具有的性质，矩形也具有．(　　)

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】求证：矩形的对角线相等．

【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→根据矩形的性质定理1证明三角形全等→得出结论．

【解答】已知：四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线．

求证：AC＝BD.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.

又∵BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC＝BD，

即矩形的对角线相等．

【互动总结】(学生总结，老师点评)证明两个三角形全等是证明边、角相等的常用方法．

【例2】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．

【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB与BD的数量关系→需确定∠ODA的度数．

【证明】∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，

又∵OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.

∴OA＝OD.

∵∠AOD＝120°，

∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.

又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，

∴BD＝2AB＝2×2.5＝5 cm.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是(　B　)

A．对边相互平行　 B.对角线相等

C．对角线相互平分　 D．对角相等

2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为(　B　)

A．3∶2　 B.2∶1

C．1.5∶1　 D．1∶1

3．已知：如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

又∵AE＝CF，

∴AD－AE＝BC－CF，

即ED＝BF.

又∵ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形，

∴BE＝DF(平行四边形对边相等)．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长．

【互动探索】在Rt△ABD中，已知AB＝1，要求AD的长，需先求出BD的长，由矩形的性质及∠AEB＝15°，应怎样转化建立起它们之间的联系，才能得出结论？

【解答】连结AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠ABC＝90°，

∵BD＝CE，

∴CE＝CA，

∴∠AEB＝∠CAE＝15°，

∴∠ACB＝∠AEB＋∠CAE＝30°，

∴BD＝2AB＝2，

∴AD＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是应用转化思想，将CE＝BD转化为AC＝CE，再结合三角形的外角性质，将∠AEB＝15°转化为∠ACB＝30°.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形的四个角都是直角．

矩形的对角线相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　矩形的判定(第2课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握矩形的判定方法．

2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握矩形的判定方法及其证明．

【教学难点】

定理的证明方法及运用．

教学过程

环节1　自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P102～P105的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．对角线相等的平行四边形是矩形．

2．有三个角是直角的四边形是矩形．

3．能够判断一个四边形是矩形的条件是(　C　)

A．对角线相等

B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等

D．对角线垂直且相等

4．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．

(1)判断：AB∥CD、BC∥AD.

(2)四边形ABCD是 (　C　)

A．菱形　 B.平行四边形

C．矩形　 D．不能确定

(3)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

解：相等．因为矩形的对角线相等．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形．

【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→判定两对直线平行→判定四边形是平行四边形→根据矩形的定义得证．

【解答】已知，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，

∴AD∥BC，AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵∠A＝90°，

∴四边形ABCD是矩形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是矩形可以先证明四边形为平行四边形．

【例2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．

【互动探索】矩形的判定方法有哪些？此题能否直接判定为矩形？还是需要先判定为平行四边形，再判定为矩形？

【解答】∵AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC，

∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，

∴OA＝OB，∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列说法错误的是 (　D　)

A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形

B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等

C．对角线相等的平行四边形是矩形

D．有两个角是直角的四边形是矩形

2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是答案不唯一，如：∠A＝90°.(填上你认为正确的一个答案即可)

第2题

第3题

3．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：四边形BFDE为矩形．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求▱ABCD的面积．

【互动探索】结合△ABO是等边三角形，能判定四边形ABCD是什么特殊四边形？

【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵△ABO是等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°，

∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，

∴AC＝BD＝2OA＝8，

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，

∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)，

∴由勾股定理，得BC＝＝4，

∴▱ABCD的面积是BC×AB＝4×4＝16.

【互动总结】(学生总结，老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！