华师大版九年级下册27.3 圆中的计算问题教案设计

27．3　圆中的计算问题

第1课时　弧长和扇形面积

教学目标

一、基本目标

探索弧长公式和扇形面积公式推导过程，并会应用公式解决问题．

二、重难点目标

【教学重点】

弧长及扇形面积计算公式．

【教学难点】

弧长及扇形面积计算公式的推导过程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P58～P61的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.

2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.

3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.

4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.

5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm2.

6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18 cm.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)．

【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解．

【解答】∵R＝40 mm，n＝110，

∴的长＝＝≈76.8(mm)．

∴管道的展直长度约为76.8 mm.

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．

【例2】扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．

【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出的长，再直接运用扇形公式求解．

【解答】的长＝π×12≈25.1(cm)．

S扇形＝π×122≈150.7(cm2)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题求扇形的面积也可利用公式S＝lR解决．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数＝120°.

2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π cm，则这个扇形的面积S＝π cm2.

3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长＝π.

4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为8 cm.

5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分的面积．

【互动探索】图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

【解答】设OA＝R cm，OC＝(R＋12) cm，∠O＝n°.根据已知条件有

得，＝，∴R＝18.

∴OC＝18＋12＝30，

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π cm2.

∴阴影部分的面积为96π cm2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

弧长和扇形面积

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时　圆锥的侧面积和全面积

教学目标

一、基本目标

1．了解圆锥母线和高的概念，理解圆锥侧面积计算公式．

2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题．

二、重难点目标

【教学重点】

圆锥侧面积和全面积的计算．

【教学难点】

探索圆锥侧面积计算公式．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的线段叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．

2．沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.

3．圆锥的母线为l，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积S＝πlr；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝πr2＋πlr.

4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为12π.

5．圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°.

6．如果圆锥的高为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的全面积是36π cm2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生对学)

【例1】圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1 cm2)

【互动探索】(引发学生思考)“圆锥形纸帽”的侧面展开图是什么？要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？

【解答】设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm.则r＝，l＝≈22.03(cm)，S圆锥侧＝lR≈×58×22.03＝638.87(cm2).638.87×20＝12 777.4(cm2)．即至少需要12 777.4 cm2的纸．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决实际问题时，首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积，确定好以后，找到需要的数据，代入公式计算即可．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°.

2．一个扇形，半径为30 cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为10 cm.

3．如图所示，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角为120°，现要将此扇形围成一个圆锥．

(1)求围成的圆锥的侧面积；

(2)求该圆锥的底面半径；

解：(1)圆锥的侧面积＝＝12π(cm2)．

(2)该圆锥的底面半径为r.根据题意，得2πr＝，解得r＝2.

即圆锥的底面半径为2 cm.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

【互动探索】观察图形，几何体由两个圆锥组成，且共用圆锥底面，要求其表面积，只需求出两个圆锥的侧面积之和即可．

【解答】在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，

∴BC＝12 cm.

∵OC·AB＝BC·AC，

∴r＝OC＝＝＝，

∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π(cm2)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在计算组合体的表面积时，需要将其拆分成简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应训练！