2021学年3. 圆周角教案设计

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3　圆周角(第4课时)教学目标一、基本目标1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．3．体会分类、归纳的数学思想方法，提高解决实际问题的能力．二、重难点目标【教学重点】圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．【教学难点】探究并论证圆周角定理及其推论．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P40～P44的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.4．圆周角定理的推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．5．如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接多边形.6．圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补.7．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，则∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，则∠CBE的度数是________.【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D＋∠CBA＝180°.由∠CBA＋∠CBE＝180°，可得∠D＝∠CBE＝110°.【答案】110°【例2】如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证：∠BAE＝∠CAD.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明→利用圆周角定理的推论1及等角的余角相等进行证明．【证明】连结BE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵是∠E和∠C所对的弧，∴∠E＝∠C(圆周角定理)．∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．活动2　巩固练习(学生独学)1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)A．25° B．50°C．25°或155° D．50°或130°2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为70°.3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为130°.4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．解：连结OC.∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴CO＝AC.又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3 cm.活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．【互动探索】连结CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CAB的度数，最后求出∠ABD的度数．【解答】如图，连结CD、CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠APB＝∠DPC＝110°，∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°.∵＝，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝20°，∴∠CAB＝∠CDB＝20°，∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD的度数．【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝.请连结线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．【互动探索】利用圆周角定理的推论2求出∠D的度数，再根据等弧与所对的圆周角相等求出∠DAC、∠DCA的度数，从而求出其他角的度数．【解答】如图，连结BC.∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠B＝110°.∵＝.∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°.即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．2．推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．3．推论2：圆内接四边形的对角互补．练习设计请完成本课时对应训练！