华师大版九年级下册2. 圆的对称性教学设计

2　圆的对称性

第2课时　圆的对称性

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．

2．理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．

二、重难点目标

【教学重点】

圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系．

【教学难点】

利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.

2．(1)在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．

(2)在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

(3)在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.

3．圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴.

4．如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，＝；

若＝，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；

若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，＝，＝.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？

【互动探索】(引发学生思考)根据圆心角、弦、弧之间的关系可得＝，再结合已知条件＝即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论．

【解答】BE＝CE.理由：

∵∠AOD＝∠BOE，∴＝.

又∵＝，∴＝，∴BE＝CE.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断．

【例2】如图，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)观察法：由∠AOB＝120°，C是的中点，可想到连结OC→OA＝AC＝OC＝BC＝OB→四边形OACB是菱形．

【解答】四边形OACB是菱形．

理由如下：如图，连结OC.

∵∠AOB＝120°，C是的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.

又∵CO＝BO，

∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.

同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC.

又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，

∴四边形OACB是菱形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是(　A　)

A．AC＝BD B．AC＜BD

C．AC＞BD D．不确定

2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

解：连结OC.∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BOD＝×180°＝120°.

3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．

解：∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵在⊙O中，弦AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.

4．如图，AB、CD为⊙O的直径，＝.求证：BD＝CE.

证明：连结AC.∵＝，∴AC＝CE.∵∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∴BD＝CE.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.

【互动探索】求证＝，由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、OD，从而通过证明∠COM＝∠DON来得到＝.

【证明】如图，连结OC、OD.

∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，

∴OM＝ON.

∵CM⊥AB，DN⊥AB，

∴∠OMC＝∠OND＝90°.

在Rt△OMC和Rt△OND中，∵

∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，

∴∠COM＝∠DON，∴＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

圆的对称性

练习设计

请完成本课时对应训练！

第3课时　*垂径定理

教学目标

一、基本目标

1．理解与掌握垂径定理及其推论．

2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．

二、重难点目标

【教学重点】

垂径定理及其推论．

【教学难点】

利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P39～P40的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.即一条直线如果满足：①直线经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M.那么AM＝BM＝AB，＝，＝.

2．垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图1)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．

    图1        　　　图2

【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高→结合垂径定理，作辅助线(如图2)→构造直角三角形求出CD长即可．

【解答】如图2，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.

根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，

则BC＝AB＝0.3米．

又由题意可知，OD＝OB＝0.5米，

所以在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝0.4米，

所以CD＝OD－OC＝0.1米，

即此时的水深为0.1米．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．

【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．

【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长．

【解答】连结OC.

设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.

∵OE⊥CD，

∴CF＝CD＝×600＝300(m)．

在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，

即R2＝3002＋(R－90)2.

解得R＝545.

∴这段弯路的半径为545 m.

【互动总结】(学生总结，老师点评)常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？

解：弦AB的长是6.

2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．

解：截面圆心O到水面的距离为6 cm.

3．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长．

解：OD＝3 cm.

4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

解：不需要采取紧急措施．理由如下：如图，连结OM，设OA＝R m．由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，∴由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.又在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，∴342＝162＋(34－DE)2，解得DE＝4 m或64 m(不合题意，舍去)，∴DE＝4 m．∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．

【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB、CD之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线，构造直角三角形

【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.

由题意可知，OA＝OC＝13.

∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.

又∵AB＝24，CD＝10，

∴由垂径定理，得AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，

∴由勾股定理，得EO＝＝5，OF＝＝12，

∴EF＝OF－OE＝7.

   图1          　　　图2

当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.

同理可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.

综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．

练习设计

请完成本课时对应训练！