初中数学华师大版九年级下册第27章 圆27.4 正多边形和圆教案及反思

27．4　正多边形和圆

教学目标

一、基本目标

1．经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．

2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形．

3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形与圆有关的计算问题．

二、重难点目标

【教学重点】

正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念，用量角器等分圆．

【教学难点】

正多边形与圆的有关计算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．各条边相等，各个角也相等的多边形是正多边形．

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距；正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．

3．把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形.

4．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6.

5．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为4.

6．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18 cm.

7．你能用尺规作出正六边形吗？

解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则可作出正六边形．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．

【互动探索】(引发学生思考)连结OD，结合已知条件可得∠COD＝60°，结合OC＝OD可得△COD为等边三角形，从而可得CD＝OC.在Rt△COG中，由勾股定理即可求得边心距OG.

【解答】连结OD.

∵六边形ABCDEF为正六边形．

∴∠COD＝＝60°.

∵OC＝OD，∴△COD为等边三角形，

∴CD＝OC＝4.

在Rt△COG中，∵OC＝4，GC＝BC＝×4＝2.

∴OG＝＝＝2，

∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解．

【例2】已知⊙O的半径为2 cm，画圆的内接正三角形．

【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分，所以它的中心角为120°，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？

【解答】(方法一)如图1，任取一点A，连结OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连结A、B、C三点，即得△ABC.

图1         　　　图2

(方法二)如图2，用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连结A、B、C三点，即得△ABC.

(方法三)如图3，用圆规在⊙O上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连结不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．

   图3         　　　图4

(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连结A、B、C三点，即得△ABC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连结A、B、C三点，即得△ABC.

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　C　)

A．60° B．45°

C．30° D．22.5°

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(　C　)

A．36° B．60°

C．72° D．108°

3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有(　A　)

①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；

②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；

③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；

④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆周．

A．4个 B．3个

C．2个 D．1个

4．正八边形共有8条对称轴．

5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等.

6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？

解：先画一个O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

正多边形的相关概念：

(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距．

(4)中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．

练习设计

请完成本课时对应训练！