初中华师大版1. 点和圆的位置关系教案

27．2　与圆有关的位置关系

1　点与圆的位置关系(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．了解点和圆的三种位置关系；掌握点到圆心的距离与半径之间的关系．

2．掌握“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能作出这个圆．

3．了解三角形的外心及圆的内接三角形的意义．

二、重难点目标

【教学重点】

1．点与圆的位置关系．

2．三角形的外接圆．

【教学难点】

确定圆的条件．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P46～P48的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.

2．已知⊙O的直径为5，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外.

3．过一点作圆，可以做无数个；过两点作圆，可以作无数个；过不在同一条直线上的三个点作圆，可以作一个.

4．经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点．

5．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部；任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形有无数个．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生对学)

【例1】如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A、B、C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝5，问A、B、C三点与⊙O的位置关系是怎样的？

【互动探索】(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径的大小关系．

【解答】∵OA＝＝6<10，

∴点A在⊙O内．

∵OB＝＝10，∴点B在⊙O上．

∵OC＝＝>10，

∴点C在⊙O外．

综上，点A在⊙O内，B在⊙O上，C在⊙O外．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小．同时注意垂径定理和勾股定理的应用．

【例2】如图是一块残缺的圆形木盖，现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖，你是如何制作的？

【互动探索】(引发学生思考)确定一个圆的条件是什么？怎样作出一个与原来一样大小的圆？

【解答】(1)在残缺的圆形木盖上任意找三点A、B、C，并连结AB、BC；

(2)作线段AB、BC的垂直平分线EF、GH，两线交于点O；

(3)以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O就是与原来一样大小的圆形木盖．

如图所示：

【互动总结】(学生总结，老师点评)取任意两条不平行的弦，作两条弦的中垂线，则两中垂线的交点就是圆心，进而作出所求的圆．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．已知⊙O的半径为5 cm，A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A和⊙O的位置关系．

(1)OP＝6 cm；

(2)OP＝10 cm；

(3)OP＝14 cm.

解：(1)因为OA＝3 cm<5 cm，所以点A在⊙O内．

(2)因为OA＝5 cm，所以点A在⊙O上．

(3)因为OA＝7 cm>5 cm，所以点A在⊙O外．

2．九个相同的小等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是(　C　)

A．△ABC B．△ABE

C．△ABD D．△ACE

3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径长为(　B　)

A．2 cm B．4 cm

C．6 cm D．8 cm

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、D、C三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.

(1)求证：AC＝AE；

(2)求△ACD外接圆的直径．

【互动探索】(1)要证AC＝AE，需要证△ACD≌△AED.

(2)结合图形可知AD即为△ACD外接圆的直径．由AC＝6，BC＝8→AB＝10，设出CD＝DE＝x→在Rt△BED中，根据勾股定理，得出x＝3→在Rt△ACD中，根据勾股定理，得出AD的长．

【解答】(1)证明：∵∠ACD＝90°，且∠ACD为⊙O的圆周角，

∴AD为⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED.

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE.

在Rt△ACD与Rt△AED中，

∴△ACD≌△AED，∴AC＝AE.

(2)解：∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10.

∵由(1)得，∠AED＝90°，∴∠BED＝90°.

设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝8－x，EB＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2＝BE2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CD＝3.

∵AC＝6，△ACD是直角三角形，

∴AD2＝AC2＋CD2＝62＋32＝45，

∴AD＝3.

故△ACD外接圆的直径为3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法；结合三角形的外接圆的性质和圆周角定理，直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应训练！