初中数学16.3 二次根式的加减教案设计

16.3　二次根式的加减

第1课时　二次根式的加减

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．

【过程与方法】

在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．

二、重难点目标

【教学重点】

会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．

【教学难点】

运用二次根式的加减运算解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

2．计算下列各式．

(1)2＋3；　　 　 　(2)2－3＋5；

(3)＋2＋；  (4)3－2＋.

解：(1)原式＝(2＋3)＝5.

(2)原式＝(2－3＋5)＝4＝8.

(3)原式＝＋2＋3＝(1＋2＋3)＝6.

(4) 原式＝(3－2)＋＝＋.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)＋＋；

(2)3＋－＋；

(3)＋－；

(4)2＋.

【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？

【解答】(1)＋＋＝3＋＋2＝.

(2)3＋－＋＝3＋4－2＋＝＋5.

(3)＋－＝2－＋－＝－.

(4)2＋＝6－4＋8＋＝25－8.

【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．

【例2】已知＋＝0，求的值．

【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a＝＋2，b＝ －2，然后再代入求值即可．

【解答】由题意，得＝0，＝0，解得a＝＋2，b＝－2，＝＝5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．计算3－的值是(　D　)

A．2   B．3 

C．   D．2

2．若最简二次根式与可以合并，则a＝5.

3．计算：　(1)3－9＋3；

(2)(＋)＋(－)．

解：(1)＝15.　(2)6＋.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求x＋y2－x2－5x的值．

【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x－1)2＋(y－3)2＝0，即可求出x、y的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．

【解答】∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝(2x－1)2＋(y－3)2＝0，∴x＝，y＝3.

原式＝x＋y2－x2＋5x

　　　　　　　＝2x＋－x＋5

　　　　　　　＝x＋6.

当x＝，y＝3时，

原式＝×＋6＝＋3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时　二次根式的混合运算

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用．

【过程与方法】

复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算．

【情感态度与价值观】

理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性．

二、重难点目标

【教学重点】

熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力．

【教学难点】

正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P14的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

3．计算：

(1)×；　(2)；

(3)－；　(4)(2－)2.

解：(1)3.　(2).　(3).　(4)22－4.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)×9÷；

(2)÷2＋2；

(3)－(＋2)÷.

【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？

【解答】(1)原式＝×9×＝×9×＝.

(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5.

(3)原式＝－＝－1－.

【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

【例2】计算：

(1)(＋－)(－＋)；

(2)(－1)2＋2(－)(＋)；

(3)×(－2)．

【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．

【解答】(1)原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝2－(9－2)＝2－9＋6＝－7＋6.

 (2)原式＝2－2＋1＋2×(3－2)＝2－2＋1＋2＝3.

(3)原式＝×(－2)＝－×(－2)＝8.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列计算：①()2＝2；② ＝2；③(－2)2＝12；④(＋)( －)＝－1.其中正确的有(　D　)

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

2．如果(2＋)2＝a＋b(a，b为有理数)，则a＝ 6，b＝ 4.

3．计算：

(1)(＋)×；

(2)(4－3)÷2；

(3)(＋6)(3－)；

(4)(＋)(－)．

解：(1)3＋2.　(2)2－.　(3)13－3.　(4)3.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】先化简，再求值：＋＋，其中x＝，y＝.

【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算

【解答】＋＋＝＋＋＝＝＝.

当x＝，y＝时，x＋y＝，xy＝1，所以原式＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．

练习设计

请完成本课时对应训练！