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吉林省长春市朝阳区2021-2022学年九年级上学期期中学业练习数学试题（word版 含答案）
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这是一份吉林省长春市朝阳区2021-2022学年九年级上学期期中学业练习数学试题（word版 含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
3．（3分）点P（2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣2，﹣6）
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．＝4 D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝19
7．（3分）一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（ ）
A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）在比例尺为1：5000000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
11．（3分）比较大小：﹣3 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
14．（3分）计算（﹣2）2021（+2）2022的结果为 ．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：3﹣+﹣．
16．（6分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，求m的值．
17．（6分）解方程：x2+5x+3＝0．
18．（7分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为 ，并加以证明．
19．（7分）如图，图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，线段AB的端点均在格点上，按要求在图①、图②、图③中各画一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：
（1）所画线段CD的位置不同．
（2）点C、D均在格点上．
20．（7分）某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有60个社区实现垃圾分类，第三季度有135个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．
21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
22．（9分）【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【探究】
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE＝∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD＝4时，BF的长的取值范围为 ．
23．（10分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简二次根式，再判定即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，
B、＝2，所以与不是同类二次根式，
C、＝2，所以与是同类二次根式，
D、＝2，所以与不是同类二次根式，
故选：C．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
【分析】根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，﹣4，﹣5．
故选：D．
3．（3分）点P（2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣2，﹣6）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：点（2，6）关于原点对称的点坐标是（﹣2，﹣6），
故选：D．
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x﹣4，
∴（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．＝4 D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、+，无法计算，故此选项不合题意；
B、﹣＝2﹣，故此选项不合题意；
C、＝2，故此选项不合题意；
D、×＝，符合题意．
故选：D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝19
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，
故选：C．
7．（3分）一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（ ）
A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm
【分析】设它的高为xdm，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．
【解答】解：设它的高为xdm，
根据题意得：2××x＝4，
解得：x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝8，则AB+AD＝2AE+2OE＝16，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于10，
∴OA+AE+OE＝10，
∴AE+OE＝5﹣OA＝10﹣2＝8，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝16，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×16＝32；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
10．（3分）在比例尺为1：5000000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是3厘米，则两地间的实际距离是 150 千米．
【分析】根据比例尺＝解答即可．
【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，
根据题意得，＝，
∴x＝15000000，
答：两地间的实际距离是150千米．
故答案为：150．
11．（3分）比较大小：﹣3 ＜ 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】首先求出介于2和3之间，从而得最后答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜0．
故答案为：＜．
12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 k＜ ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
14．（3分）计算（﹣2）2021（+2）2022的结果为 +2 ．
【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（﹣2）2021（+2）2022
＝（2）2021（+2）2021×（+2）
＝[（﹣2）（+2）]2021（+2）
＝[（）2﹣22]2021（+2）
＝+2．
故答案为：+2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：3﹣+﹣．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：原式＝3﹣2+﹣3
＝﹣．
16．（6分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝1．
17．（6分）解方程：x2+5x+3＝0．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：a＝1，b＝5，c＝3
∴b2﹣4ac＝13
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
18．（7分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为 AB＝3CD ，并加以证明．
【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：AB＝3CD，
证明：连接CD，
∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴AB＝3CD，
故答案为：AB＝3CD．
19．（7分）如图，图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，线段AB的端点均在格点上，按要求在图①、图②、图③中各画一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：
（1）所画线段CD的位置不同．
（2）点C、D均在格点上．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：如图，线段CD即为所求．
20．（7分）某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有60个社区实现垃圾分类，第三季度有135个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．
【分析】设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为x，利用第三季度实现垃圾分类的社区数量＝第一季度实现垃圾分类的社区数量×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为50%．
【解答】解：设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为x，
依题意得：60（1+x）2＝135，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为50%．
21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
【分析】（1）由BC＝CD，BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠DBA＝∠D，再由对顶角相等即可得出结论；
（2）由三角形相似列出比例式，根据BC＝CD即可推出结果．
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD，
∴，
即，
∴AB＝8．
22．（9分）【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【探究】
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE＝∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD＝4时，BF的长的取值范围为 4.8≤BF≤10 ．
【分析】【感知】由外角的性质可得∠EDC＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，可得结论；
【探究】（1）通过证明△ABD∽△CBA，可得，即可求解；
（2）通过证明△BFD∽△CDE，可得，即BF＝，由CE的取值范围，可求解．
【解答】解：【感知】：∵∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE；
【探究】
（1）∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠B＝∠EDC，
∵∠ADE＝∠B＝∠C，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴AD＝，
故答案为：；
（2）∵CD＝4，BC＝16，
∴BD＝12，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠EDF+∠EDC，∠EDF＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BFD∽△CDE，
∴，
∴BF＝，
∵0＜CE≤10，
∴4.8≤BF≤10，
故答案为：4.8≤BF≤10．
23．（10分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 550 个水杯，月销售利润是 8250 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 （600﹣10x） 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
（2）利用每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；
（3）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．
【解答】解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案为：550；8250．
（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．
故答案为：（600﹣10x）．
（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AP的长为 5t （用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可；
（2）当点P与点C重合时，则5t＝3即可；
（3）当C、R、Q三点共线时，可得△CPR∽△CAQ，根据相似三角形对应边成比例，即可得出关于t的方程；
（4）过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时，∠PRC＝90°，当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，求出点R在CD上时，t的值，当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，再利用相似求出点R在BC上时的t，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵点P的运动速度为每秒5个单位，
∴AP＝5t，
故答案为：5t；
（2）当点P与点C重合时，
则5t＝3，
∴t＝；
（3）∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinA＝，tanA＝，
∴tanA＝，
又由旋转的性质知，PQ＝PR，
当C、R、Q三点共线时，如图，
∵∠RPQ＝∠AQP＝90°，
∴PR∥AQ，
∴△CPR∽△CAQ，
∴，
即，
∵AP＝5t，AC＝4，
∴CP＝4﹣5t，
∴，
∴t＝，
（4）由旋转的性质知PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，
∴∠CPR不可能为钝角，
若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能为钝角，
①如图，过C作CD⊥AB于D，
当点R在CD上时，∠PRC＝90°，
当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，
∵∠RPQ＝∠PQD＝∠CDA＝90°，
∴四边形PQDR为矩形，
又∵PQ＝PR，
∴四边形PQDR为正方形，
∵AP＝5t，sin∠A＝，
∴PQ＝3t，
∵tan，
∴AQ＝4t，
∴PR＝PQ＝3t，
∵PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，∠PRC＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△PAQ，
∴，
∴，
∴t＝，
∴当0＜t时，∠PRC为钝角，
②如图，
当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，
∵PR∥AB，
∴∠A＝∠CPR，
又∵∠C＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△QAP，
∴，
∴AP＝5t，PQ＝PR＝3t，AQ＝4t，
∴，
∴t＝，
又∵点P最多只能运动到点C，
∴t，
∴当时，△PCR为钝角三角形．
综上所述：当0＜t或时，△PCR为钝角三角形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/19 5:25:55；用户：15750990167；邮箱：15750990167；学号：41696140
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
3．（3分）点P（2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣2，﹣6）
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．＝4 D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝19
7．（3分）一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（ ）
A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）在比例尺为1：5000000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是3厘米，则两地间的实际距离是 千米．
11．（3分）比较大小：﹣3 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
14．（3分）计算（﹣2）2021（+2）2022的结果为 ．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：3﹣+﹣．
16．（6分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，求m的值．
17．（6分）解方程：x2+5x+3＝0．
18．（7分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为 ，并加以证明．
19．（7分）如图，图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，线段AB的端点均在格点上，按要求在图①、图②、图③中各画一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：
（1）所画线段CD的位置不同．
（2）点C、D均在格点上．
20．（7分）某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有60个社区实现垃圾分类，第三季度有135个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．
21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
22．（9分）【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【探究】
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE＝∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD＝4时，BF的长的取值范围为 ．
23．（10分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简二次根式，再判定即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，
B、＝2，所以与不是同类二次根式，
C、＝2，所以与是同类二次根式，
D、＝2，所以与不是同类二次根式，
故选：C．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
【分析】根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，﹣4，﹣5．
故选：D．
3．（3分）点P（2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣2，﹣6）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
【解答】解：点（2，6）关于原点对称的点坐标是（﹣2，﹣6），
故选：D．
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x﹣4，
∴（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．＝4 D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、+，无法计算，故此选项不合题意；
B、﹣＝2﹣，故此选项不合题意；
C、＝2，故此选项不合题意；
D、×＝，符合题意．
故选：D．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝13 D．（x+4）2＝19
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，
故选：C．
7．（3分）一个长方体纸盒的体积为4dm3，若这个纸盒的长为2dm，宽为dm，则它的高为（ ）
A．1dm B．2dm C．2dm D．48dm
【分析】设它的高为xdm，根据长方体的体积公式列出方程求解即可．
【解答】解：设它的高为xdm，
根据题意得：2××x＝4，
解得：x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝2，△AOE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝8，则AB+AD＝2AE+2OE＝16，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于10，
∴OA+AE+OE＝10，
∴AE+OE＝5﹣OA＝10﹣2＝8，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝16，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×16＝32；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
10．（3分）在比例尺为1：5000000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是3厘米，则两地间的实际距离是 150 千米．
【分析】根据比例尺＝解答即可．
【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，
根据题意得，＝，
∴x＝15000000，
答：两地间的实际距离是150千米．
故答案为：150．
11．（3分）比较大小：﹣3 ＜ 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】首先求出介于2和3之间，从而得最后答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜0．
故答案为：＜．
12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 k＜ ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×2k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
14．（3分）计算（﹣2）2021（+2）2022的结果为 +2 ．
【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（﹣2）2021（+2）2022
＝（2）2021（+2）2021×（+2）
＝[（﹣2）（+2）]2021（+2）
＝[（）2﹣22]2021（+2）
＝+2．
故答案为：+2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：3﹣+﹣．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：原式＝3﹣2+﹣3
＝﹣．
16．（6分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝1．
17．（6分）解方程：x2+5x+3＝0．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：a＝1，b＝5，c＝3
∴b2﹣4ac＝13
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
18．（7分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的位置（即OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使两个尖端分别在线段AB的两个端点上，此时AB与CD之间的数量关系为 AB＝3CD ，并加以证明．
【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：AB＝3CD，
证明：连接CD，
∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴AB＝3CD，
故答案为：AB＝3CD．
19．（7分）如图，图①、图②、图③均为4×4的正方形网格，线段AB的端点均在格点上，按要求在图①、图②、图③中各画一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：
（1）所画线段CD的位置不同．
（2）点C、D均在格点上．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：如图，线段CD即为所求．
20．（7分）某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有60个社区实现垃圾分类，第三季度有135个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．
【分析】设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为x，利用第三季度实现垃圾分类的社区数量＝第一季度实现垃圾分类的社区数量×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为50%．
【解答】解：设实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为x，
依题意得：60（1+x）2＝135，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率为50%．
21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长．
【分析】（1）由BC＝CD，BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠DBA＝∠D，再由对顶角相等即可得出结论；
（2）由三角形相似列出比例式，根据BC＝CD即可推出结果．
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD，
∴，
即，
∴AB＝8．
22．（9分）【感知】
小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．
小明同学分析后发现，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，再结合已知条件可以得到△ABD∽△DCE．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【探究】
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC上一点．
（1）如图②，过点D作∠ADE＝∠B，交AC于点E．当DE∥AB时，AD的长为 ．
（2）如图③，过点D作∠FDE＝∠B，分别交AB、AC于点F、E．当CD＝4时，BF的长的取值范围为 4.8≤BF≤10 ．
【分析】【感知】由外角的性质可得∠EDC＝∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，可得结论；
【探究】（1）通过证明△ABD∽△CBA，可得，即可求解；
（2）通过证明△BFD∽△CDE，可得，即BF＝，由CE的取值范围，可求解．
【解答】解：【感知】：∵∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE；
【探究】
（1）∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠B＝∠EDC，
∵∠ADE＝∠B＝∠C，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴AD＝，
故答案为：；
（2）∵CD＝4，BC＝16，
∴BD＝12，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠EDF+∠EDC，∠EDF＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BFD∽△CDE，
∴，
∴BF＝，
∵0＜CE≤10，
∴4.8≤BF≤10，
故答案为：4.8≤BF≤10．
23．（10分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 550 个水杯，月销售利润是 8250 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 （600﹣10x） 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
（2）利用每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；
（3）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．
【解答】解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案为：550；8250．
（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．
故答案为：（600﹣10x）．
（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，沿AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AP的长为 5t （用含t的代数式表示）．
（2）当点P与点C重合时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可；
（2）当点P与点C重合时，则5t＝3即可；
（3）当C、R、Q三点共线时，可得△CPR∽△CAQ，根据相似三角形对应边成比例，即可得出关于t的方程；
（4）过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时，∠PRC＝90°，当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，求出点R在CD上时，t的值，当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，再利用相似求出点R在BC上时的t，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵点P的运动速度为每秒5个单位，
∴AP＝5t，
故答案为：5t；
（2）当点P与点C重合时，
则5t＝3，
∴t＝；
（3）∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinA＝，tanA＝，
∴tanA＝，
又由旋转的性质知，PQ＝PR，
当C、R、Q三点共线时，如图，
∵∠RPQ＝∠AQP＝90°，
∴PR∥AQ，
∴△CPR∽△CAQ，
∴，
即，
∵AP＝5t，AC＝4，
∴CP＝4﹣5t，
∴，
∴t＝，
（4）由旋转的性质知PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，
∴∠CPR不可能为钝角，
若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能为钝角，
①如图，过C作CD⊥AB于D，
当点R在CD上时，∠PRC＝90°，
当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，
∵∠RPQ＝∠PQD＝∠CDA＝90°，
∴四边形PQDR为矩形，
又∵PQ＝PR，
∴四边形PQDR为正方形，
∵AP＝5t，sin∠A＝，
∴PQ＝3t，
∵tan，
∴AQ＝4t，
∴PR＝PQ＝3t，
∵PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，∠PRC＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△PAQ，
∴，
∴，
∴t＝，
∴当0＜t时，∠PRC为钝角，
②如图，
当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，
∵PR∥AB，
∴∠A＝∠CPR，
又∵∠C＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△QAP，
∴，
∴AP＝5t，PQ＝PR＝3t，AQ＝4t，
∴，
∴t＝，
又∵点P最多只能运动到点C，
∴t，
∴当时，△PCR为钝角三角形．
综上所述：当0＜t或时，△PCR为钝角三角形．
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