2018-2019学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，∠B＝72°，∠C＝58°，则与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于3，则它的周长等于（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
4．（3分）下列结论正确的是（　　）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．两个等边三角形全等
5．（3分）如图，AC＝BD，∠A＝∠B＝90°，要根据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△BDF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AF＝BE B．AE＝BF C．∠C＝∠D D．CE＝DF
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠CBD＝36° B．BD平分∠ABC C．AD＝BC D．BC＝AC
7．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠A交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．60 B．45 C．30 D．15
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AC，AB上的点，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠EDF＝（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）等腰三角形的一个内角是100°，则这个等腰三角形的顶角的大小是　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是　 　．
13．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是　 　．
14．（3分）△ABC中，AB＝AC＝10cm，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，若△BCD的周长为18cm，则BC的长为 　 　cm．
15．（3分）如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝90°，将△ABC沿过C点的直线折叠，使A点落在边BC上的E点处，折痕交边AB于D，则∠BDE＝　 　．

16．（3分）已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是　 　．
17．（3分）如图，AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是 　 　．

18．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②AC＝2CD；③AD＝AE；④∠BCE+∠BCD＝180°．其中正确的是 　 　（填写序号）．

三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（0，1），B（3，2），C（1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如果点P的坐标为（1，﹣1），过点P作直线l∥x轴，点A，B，C关于直线l的对称点分别为A2，B2，C2，写出A2，B2，C2的坐标：A2（ 　 　），B2（ 　 　），C2（ 　 　）．

21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE平分∠CAD交DC于点E，DF∥AC交AE的延长线于点F．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝10，求DF的长．

22．（9分）在等边△ABC中，D，E是BC边上的两点（不与点B，C重合），点D在点E的左侧，且AD＝AE，点E关于直线AC的对称点为F，连接AF，DF．
（1）求证：AD＝DF；
（2）连接CF，求证：CF∥AB．

23．（9分）如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°．

（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，如图2，那么△ACE是何种形状的三角形？请你写出结论，并给出证明．
24．（10分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝90°，连接EF，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，求证：BE+CF＞EF；
（2）如图2，在四边形ABDC中，∠ABD+∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝140°，E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝70°，连接EF，延长AB至点N，使BN＝CF，连接DN，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．


2018-2019学年山东省济宁市邹城市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意，故A选项错误；
B、是轴对称图形，不符合题意，故B选项错误；
C、是轴对称图形，不符合题意，故C选项错误；
D、不是轴对称图形，符合题意，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2．（3分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，∠B＝72°，∠C＝58°，则与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先由∠B和∠C求出∠A，然后根据全等三角形的判定进行判断．
【解答】解：∵∠B＝72°，∠C＝58°，
∴∠A＝180°﹣72°﹣58°＝50°，
A、由△ABC可知边长为a，b的两条边的夹角为58°，
由三角形的判定定理SAS可判断选项A中的三角形与△ABC全等，故A选项符合题意；
B、∵三角形的判定定理中没有SSA，故B选项不符合题意；
C、∵边长为a、b的两条边的夹角为50°≠58°，
∴两个三角形不全等，故C选项不符合题意；
D、∵△ABC中边长为a的边两边的角度分别为72°和58°，
∴两个三角形不全等，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和、全等三角形的判定，先找准对应的角和边然后判定是否全等是解题的关键．
3．（3分）若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于3，则它的周长等于（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＝6，所以不能构成三角形；
当腰为6时，3+6＞6，所以能构成三角形，周长是：6+6+3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（3分）下列结论正确的是（　　）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．两个等边三角形全等
【分析】熟练运用全等三角形的判定定理解答．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，故选项错误；
B、一条斜边对应相等的两个直角三角形，只有两个元素对应相等，不能判断全等，故选项错误；
C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，确定了顶角及底边，即两个等腰三角形确定了，可判定全等，故选项正确；
D、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）如图，AC＝BD，∠A＝∠B＝90°，要根据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△BDF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AF＝BE B．AE＝BF C．∠C＝∠D D．CE＝DF
【分析】根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论．
【解答】解：条件是CE＝DF，
理由是：在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠CBD＝36° B．BD平分∠ABC C．AD＝BC D．BC＝AC
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
又∵BC、BD是以点B为圆心，BC长为半径圆弧的半径，
∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝36°，
∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝BD，BD平分∠ABC，故选项A、B、C正确；
∵BC＝BD＝AD＞CD，
∴BCAC，故选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，求得AD＝BD＝BC是解题的关键．
7．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠A交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．60 B．45 C．30 D．15
【分析】如图，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝15×4＝30，
故选：C．

【点评】此题考查了角平分线的性质与三角形的面积问题．此题比较简单，解题的关键是掌握角平分线的性质，求得△ABD的高．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AC，AB上的点，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠EDF＝（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据已知条件可推出△BDF≌△CED，从而可知∠EDC＝∠FDB，再根据平角的定义及三角形内角和推出∠EDF＝∠B，即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠EDC＝∠DFB，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDC﹣∠FDB＝180°﹣∠DFB﹣∠FDB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠EDF＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出∠EDF＝∠B是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，AE＝CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；
⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形
【解答】解：如图：

故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）等腰三角形的一个内角是100°，则这个等腰三角形的顶角的大小是　100°　．
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为100°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是　（1，2）　．
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
13．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是　5　．
【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得n＝5，
即这个多边形为五边形，
故答案为：5．
【点评】本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为360°是解决问题的关键．
14．（3分）△ABC中，AB＝AC＝10cm，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，若△BCD的周长为18cm，则BC的长为 　8　cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，求得AD+BD＝CD+BD＝AB＝10cm，根据三角形的周长公式即可得到答案．
【解答】解：如图，∵AC的垂直平分线交AB于点D，
∴AD＝CD，
∴AD+BD＝CD+BD＝AB＝10cm，
∵△BCD的周长为18cm，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+BD＝BC+AB＝10+BC＝18．
∴BC＝8（cm），
故答案为：8．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝90°，将△ABC沿过C点的直线折叠，使A点落在边BC上的E点处，折痕交边AB于D，则∠BDE＝　20°　．

【分析】利用折叠的性质可得∠DEC＝∠A＝55°，利用三角形的内角和可求得∠B＝35°，再利用三角形的外角性质可求∠BDE的度数．
【解答】解：∵将△ABC沿过C点的直线折叠，使A点落在边BC上的E点处，∠A＝55°，
∴∠DEC＝∠A＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝35°，
∵∠DEC是△BDE的一个外角，
∴∠BDE＝∠DEC﹣∠B＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
16．（3分）已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是　8　．
【分析】设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到结论
【解答】解：如图，设BD＝x．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，
∴BF＝2x，
∴CF＝12﹣2x，
∴CE＝2CF＝24﹣4x，
∴AE＝12﹣CE＝4x﹣12，
∴AD＝2AE＝8x﹣24，
∵AD+BD＝AB，
∴8x﹣24+x＝12，
∴x＝4，
∴AD＝8x﹣24＝32﹣24＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．（3分）如图，AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是 　　．

【分析】先证明△ADB≌△EBD，从而可得到AD＝DE，然后先求得△AEC的面积，接下来，可得到△CDE的面积．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD．
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB．
在△ADB和△EDB中，
∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，
∴△ADB≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED．
∵CE＝BC，△ABC的面积为1，
∴△AEC的面积为．
又∵AD＝ED，
∴△CDE的面积＝△AEC的面积＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．
18．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②AC＝2CD；③AD＝AE；④∠BCE+∠BCD＝180°．其中正确的是 　①③④　（填写序号）．

【分析】由SAS证明△ABD≌△EBC，可得①正确；再证∠ADE＝∠BEA，得出AD＝AE，③正确；然后由角平分线和全等三角形的性质得出④正确；最后由三角形的三边关系得②错误，即可得出结论．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），故①正确；
③∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
又∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠ADE＝∠BEA，
∴AD＝AE，故③正确；
④由③得：∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，AD＝EC，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，故④正确，
②∵AD＝AE＝EC，AE+CE＞AD+CD，
∴AD＞CD，
∴AC≠2CD，故②错误，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△ABD≌△EBC是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19．（6分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．

【分析】证△ABC≌△DEF（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（0，1），B（3，2），C（1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如果点P的坐标为（1，﹣1），过点P作直线l∥x轴，点A，B，C关于直线l的对称点分别为A2，B2，C2，写出A2，B2，C2的坐标：A2（ 　0，﹣3　），B2（ 　3，﹣4　），C2（ 　1，﹣6　）．

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用轴对称的性质作出A2，B2，C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．


（2）由题意，A2（0，﹣3），B2（3，﹣4），C2（1，﹣6）．
故答案为：0，﹣3，3，﹣4，1，﹣6．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是周围轴对称变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE平分∠CAD交DC于点E，DF∥AC交AE的延长线于点F．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB＝10，求DF的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝60°，根据角平分线的定义、平行线的性质得出∠DFA＝∠DAF＝30°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，由（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝30°，
∵DF∥AC，
∴∠DFA＝∠CAF，
∴∠DFA＝∠DAF＝30°，
∴∠ADF＝120°；
（2）在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝10，
∴AD＝AB＝5，
∵∠DFA＝∠DAF，
∴DF＝AD＝5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
22．（9分）在等边△ABC中，D，E是BC边上的两点（不与点B，C重合），点D在点E的左侧，且AD＝AE，点E关于直线AC的对称点为F，连接AF，DF．
（1）求证：AD＝DF；
（2）连接CF，求证：CF∥AB．

【分析】（1）证△ABD≌△ACE（AAS），得∠BAD＝∠CAE．再由轴对称的性质得AF＝AE＝AD，∠FAC＝∠EAC＝∠BAD，然后证△ADE是等边三角形，即可得出结论；
（2）由轴对称的性质得∠ACF＝∠ACE＝60°，再证∠ACF＝∠BAC．即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴∠BAD＝∠CAE．
∵点E，F关于直线AC对称，
∴AF＝AE＝AD，∠FAC＝∠EAC＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠FAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝60°．
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DF；
（2）∵点E，F关于直线AC对称，
∴∠ACF＝∠ACE＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BAC．
∴CF∥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
23．（9分）如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°．

（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，如图2，那么△ACE是何种形状的三角形？请你写出结论，并给出证明．
【分析】（1）由∠ABD＝∠ADB＝45°，得出AB＝AD，∠BAD＝90°，可得∠BCD＝90°，则结论可证；
（2）证出∠ABC＝∠ADE，由SAS证得△ABC≌△ADE得出∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，则△ACE是等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，

（2）△ACE是等腰直角三角形，证明如下：
∵∠ADC+∠ADE＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，
即△ACE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
24．（10分）（1）如图1，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝90°，连接EF，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，求证：BE+CF＞EF；
（2）如图2，在四边形ABDC中，∠ABD+∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝140°，E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝70°，连接EF，延长AB至点N，使BN＝CF，连接DN，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得EF＝EM，再证△BDM≌△CDF（SAS），得BM＝CF，然后由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）证△BDN≌△CDF（SAS），得DF＝DN，∠CDF＝∠BDN，再证△DEF≌△DEN（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠EDF＝90°，
∴ED⊥FM，
∵DM＝DF，
∴EF＝EM，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴BM＝CF，
在△BEM中，BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（2）解：BE+CF＝EF，证明如下：
∵∠ABD+∠C＝180°，∠ABD+∠DBN＝180°，
∴∠DBN＝∠C，
在△BDN和△CDF中，
，
∴△BDN≌△CDF（SAS），
∴DF＝DN，∠CDF＝∠BDN，
∴∠EDN＝∠EDB+∠CDF＝140°﹣70°＝70°＝∠EDF，
在△DEF和△DEN中，
，
∴△DEF≌△DEN（SAS），
∴EF＝EN，
∵EN＝BE+BN＝BE+CF，
∴BE+CF＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明△BDM≌△CDF和△DEF≌△DEN是解题的关键．
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日期：2021/10/14 9:20:47；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971