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2021届安徽省合肥市高考数学第一次质检（一模）试卷（理科） （含答案）
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这是一份2021届安徽省合肥市高考数学第一次质检（一模）试卷（理科） （含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若Z＝（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（ ）
A．+iB．﹣+iC．+iD．﹣i
2．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．[0，1]C．（0，1）D．（0，1]
3．某商场2020年部分月份销售金额如表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为＝38.1x﹣17.6，则a＝（ ）
A．198.2B．205C．211D．213.5
4．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an﹣1，则a5＝（ ）
A．32B．C．D．﹣16
5．已知F是椭圆E：的左焦点，椭圆E上一点P（2，1）关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为，则a﹣b＝（ ）
A．B．C．D．
6．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．部分税率与速算扣除数见表：
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ）
A．5712元B．8232元C．11712元D．33000元
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．设函数．若时，方程f（x+1）＝k有唯一解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．（0，2）D．[1，2）
9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”P﹣ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA+2csinC＝2bsinCcsA，则角A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．4
12．若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．若实数x，y满足条件，则3x﹣2y的最小值为 ．
14．若函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，则a的值等于 ．
15．在的展开式中，x的偶次项系数之和是 ．
16．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德．因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”．由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日．已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A、B、C三道工序，三道工序相互独立．工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为．每道工序后产生的不合格品均为废品．
（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；
（2）已知坯件加工成本为A、B、C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，角φ的终边与单位圆的交点为A，圆C：x2+y2＝3与x轴正半轴的交点是P0.若圆C上一动点从P0开始，以πrad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P．设f（t）＝|AP|2．
（1）若且t∈（0，2），求函数f（t）的单调递增区间；
（2）若，，求．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
（1）证明：平面GAC∥平面PEF；
（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
20．已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线l：y＝k（x﹣m）（m＞0）与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N．
（1）若k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|•|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：（e为自然对数的底数）．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程：
（2）若点M，N为曲线C上两点，且满足，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|﹣2|x+a|．
（1）若f（1）≥1，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈R，f（x2）≤0恒成立，求a的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若Z＝（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（ ）
A．+iB．﹣+iC．+iD．﹣i
解：∵，
∴z的共轭复数为：．
故选：A．
2．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．[0，1]C．（0，1）D．（0，1]
解：∵A＝{y|y＞0},B＝{x|x≤1},
∴A∩B＝(0,1]．
故选：D．
3．某商场2020年部分月份销售金额如表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为＝38.1x﹣17.6，则a＝（ ）
A．198.2B．205C．211D．213.5
解：由表中数据可知，
＝（2+4+6+8+10）＝6，＝（64+132+a+286+368）＝，
∵回归直线恒过样本中心点（6，），
∴＝38.1×6﹣17.6，解得a＝205．
故选：B．
4．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an﹣1，则a5＝（ ）
A．32B．C．D．﹣16
解：3Sn＝2an﹣1，
当n＝1时，3S1＝2a1﹣1，可得a1＝﹣1，
当n≥2时，3Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，
两式相减可得3an＝2an﹣2an﹣1，
即an＝﹣2an﹣1，
所以数列{an}是以﹣1为首项，﹣2为公比的等比数列，
则an＝﹣（﹣2）n﹣1，
所以a5＝﹣（﹣2）4＝﹣16．
故选：D．
5．已知F是椭圆E：的左焦点，椭圆E上一点P（2，1）关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为，则a﹣b＝（ ）
A．B．C．D．
解：因为P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），
所以|PQ|＝2，
又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4，
所以|PF|+|QF|＝4，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|,
所以|QM|+|QF|＝2a＝4,所以a＝2，
将点P代入椭圆方程可得：,解得b＝,
所以a﹣b＝2,
故选：A．
6．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．部分税率与速算扣除数见表：
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ）
A．5712元B．8232元C．11712元D．33000元
解：由题意可得应纳税所得额为：
249600﹣60000﹣249600×20%﹣52800﹣4560＝82320元，
根据表格可知，应纳税所得额位于区间（36000，144000]，
所以他全年应缴纳的个人所得税为82320×10%﹣2520＝5712元，
故选：A．
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
解：令,则．
由题意知：,故＝,
＝,
所以＝＝＝．
故选：C．
8．设函数．若时，方程f（x+1）＝k有唯一解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．（0，2）D．[1，2）
解：设函数，
则f（x+1）＝
若时，作出f（x+1）的图象，
结合图象可知方程f（x+1）＝k有唯一解，
则．
故选：B．
9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”P﹣ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
解：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB,
又PA＝AB,E为PB的中点，可得AE⊥PB,
由EF为△PBD的中位线，可得EF∥BD,
而PB与BD不垂直，即PB与EF不垂直，所以PB⊥平面AEF不成立,
故①错误，排除A,B；
由四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC,
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD,
而PA∩AC＝A,所以BD⊥平面PAC,
由EF∥BD,可得EF⊥平面PAC，故②正确；
由PA＝AD,PA⊥AD,F为PD的中点，
可得AF⊥PD,
由CD⊥AD,CD⊥PA,可得CD⊥平面PAD,
而AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF,
则AF⊥平面PCD,而AF⊂平面AEF,
则平面AEF⊥平面PCD，故④正确．
故选：D．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA+2csinC＝2bsinCcsA，则角A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
解：因为asinA+2csinC＝2bsinCcsA，
由正弦定理可得，a2+2c2＝2bccsA，
所以①，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA②，
由①②可得2a2＝b2﹣c2，
所以＝，
因为，当且仅当时取等号，
所以，又A∈(0,π)，
所以角A的最大值为．
故选：A．
11．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．4
解：设P为第一象限内的点，|PF1|＝m,|PF2|＝n,|F1F2|＝2c,
可得m﹣n＝2a,
在△PF1F2中，可得4c2＝m2+n2﹣2mncs120°＝(m﹣n)2+2mn+mn,
即为4c2＝4a2+3mn,即mn＝(c2﹣a2),
又△PF1F2的面积为mnsin120°＝×(c2﹣a2)×＝×2c×2a,
化为c2﹣a2﹣2ac＝0,
由e＝,可得e2﹣2e﹣1＝0,
解得e＝2+(负的舍去),
故选：C．
12．若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
解：如图所示，以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体，
它们的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体，
它的体积．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．若实数x，y满足条件，则3x﹣2y的最小值为 ﹣2 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
由图可得A（0，1），
令z＝3x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
14．若函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，则a的值等于 4 ．
解：由，得f′（x）＝，
则f′（1）＝a，
又函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，
∴a•（﹣）＝﹣1，即a＝4．
故答案为：4．
15．在的展开式中，x的偶次项系数之和是 ﹣16 ．
解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1＝•(﹣1)r•x5﹣3r，
令5﹣3r为偶数，可得r＝1，3，5，
故x的偶次项系数之和为﹣﹣﹣＝﹣16，
故答案为：﹣16．
16．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德．因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”．由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日．已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 27 个．
解：根据题意，在2021年，设大张的休息日为数列{an}，小张的休息日为数列{bn}，
大张可以在1、5、……、休息，其通项为an＝4n﹣3，
若小张在每周五休息，其通项为bn＝7n﹣6，此时两个数列的公共项为1，29，57，……，
首项为1，公差为28，其最后一项为365，
共有14项，
若小张在每周一休息，其通项为bn＝7n﹣3，此时两个数列的公共项为25，53，81，……，
首项为25，公差为28，其最后一项为361，
共有13项，
则两个数列一共有13+4＝27项，即2021年全年他们约定的“家庭日”共有27个，
故答案为：27．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A、B、C三道工序，三道工序相互独立．工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为．每道工序后产生的不合格品均为废品．
（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；
（2）已知坯件加工成本为A、B、C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望．
解：（1）一个坯件能顺利加工完成的概率为，
所以一个坯件加工过程中成为废品的概率为p＝1﹣＝；
(2)设每一个坯件的加工成本为随机变量X，则X的取值为70,130,160，
P(X＝70)＝1﹣＝；
P(X＝130)＝＝；
P(X＝160)＝1﹣P(X＝70)﹣P(X＝130)＝,
所以X的分布列为：
E(X)＝70×＝145．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，角φ的终边与单位圆的交点为A，圆C：x2+y2＝3与x轴正半轴的交点是P0.若圆C上一动点从P0开始，以πrad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P．设f（t）＝|AP|2．
（1）若且t∈（0，2），求函数f（t）的单调递增区间；
（2）若，，求．
解：由已知和三角函数的定义可知，A(csφ，sinφ),，
所以f（t）＝＝，
（1）若，则f（t）＝，
令，解得，又t∈（0，2），
所以函数f（t）的单调递增区间为；
（2）若＝2，可得，
因为,所以，
故，
所以
＝
＝
＝
＝,
故＝．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
（1）证明：平面GAC∥平面PEF；
（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接CE，由题意知，四边形ABCE为正方形，
连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE中点，
又因为G为PB中点，所以OG∥PE，
因为E，F分别为AD，CD中点，所以AC∥EF，
因为OG∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG⊂平面ACG，PE∩EF⊂平面PEF，
所以平面GAC∥平面PEF．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
A（0，﹣，0），C（，0，0），B（，﹣，0），P（，，1），
G（，﹣，），
＝(，，),＝(,,0),＝(，，1),
设平面PAC的法向量为＝(x,y,z),
，令y＝﹣1,＝(1,﹣1,),
所以直线AG与平面PAC所成角的正弦值为＝＝．
20．已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线l：y＝k（x﹣m）（m＞0）与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N．
（1）若k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|•|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消去y得k2x2﹣2(k2m+p)x+k2m2＝0,
因为直线l与抛物线交于两点，
所以k≠0,
又因为m＞0,p＞0,
所以△＝8k2mp+4p2＞0恒成立，
所以,
当k＝1时，|AB|＝4,
所以|AB|＝|x1﹣x2|＝2＝4,
化简得(p+2m+2)(p﹣2)＝0,
因为p＞0,m＞0,
所以p＝2,
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)假设存在常数k满足题意，
因为抛物线E的方程为y2＝2px,
焦点为F(,0),准线为x＝﹣,
所以N(﹣,﹣k(m+)),从而|FN|2＝p2+k2(m+)2
由抛物线的定义可得，|FA|＝x1+,|FB|＝x2+,
所以|FA|•|FB|＝(x1+)(x2+)＝x1x2+(x1+x2)+＝(m+)2+,
由|FA|•|FB|＝|FN|2得(m+)2+＝p2+k2(m+)2,即(k2﹣1)[(m+)2+]＝0,
因为(m+)2＞0,＞0,
所以k2﹣1＝0,解得k＝±1,
所以存在k＝±1,使得|FA|•|FB|＝|FN|2对任意的正数m都成立．
21．已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：（e为自然对数的底数）．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）至多有一个零点，不符合题意，
②当a＞0时，f′（a）＝0，且当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
从而f（x）的最小值为f（a）＝lna+2，
若f（a）≥0，即a≥e2，此时f（x）至多有一个零点，不符合题意，
若f（a）＜0，即0＜a＜e﹣2，
因为f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0，f（1）＝a+1＞0，
根据零点存在性定义得，f（x）在（a，+∞）内有且仅有一个零点，
又因为f（x）在（0，a）上单调递减，且f（a）＜0，
考虑f（a2）＝2lna++1的正负，
令g（x）＝2lnx++1，x∈（0，e﹣2），
则g′（x）＝＜0，
所以g（x）在（0，e﹣2）上单调递减，
所以g（x）＞g（e﹣2）＝e2﹣3＞0，即f（a2）＝2lna++1＞0，
因为0＜a2＜a，
所以f（a2）＞0，f（a）＜0，
根据零点的存在性定理得，f（x）在（0，a）有且仅有一个零点，
所以，当0＜a＜e﹣2时，f（x）恰有两个零点，符合题意，
综上所述，a的取值范围为（0，e﹣2）．
（2）证明：不妨设x1＜x2，
由（1）可知，a∈（0，e﹣2），x1∈（0，a），x2∈（a，+∞），f（x）在（a，+∞）上单调递增，
要证x1x2＜，
需证x2＜，
即证f（x2）＜f（），
则证0＜﹣lnx1﹣3+ae4x1，
可证lnx1+3﹣ae4x1＜0，
由f（x1）＝lnx1++1＝0得，a＝﹣x1（lnx1+1），
所以只需证lnx1+3+e4x12（lnx1+1）＜0，①
令h（x）＝lnx+3+e4x2（lnx+1），
则h′（x）＝+e4x（2lnx+3），
令φ（x）＝+e4x（2lnx+3），
则φ′（x）＝﹣+e4（2lnx+5）＝e4﹣+e4（2lnx+4），
由0＜x＜e﹣2，解得lnx＜﹣2，e4＜，
所以φ′（x）＜0，φ（x）在（0，e﹣2）上单调递减，且φ（e﹣2）＝0，
所以x∈（0，e﹣2），φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，e﹣2]上单调递增，且h（e﹣2）＝0，而x1＜a＜e﹣2，
所以h（x1）＜h（e2）＝0，即①式得证，
所以x1x2＜．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程：
（2）若点M，N为曲线C上两点，且满足，求的最大值．
解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数），其中＝，
所以x2+4y2＝1，根据转换为极坐标方程为．
（2）设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2），|，
故＝，
不妨设，
故＝＝，
当时，的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|﹣2|x+a|．
（1）若f（1）≥1，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈R，f（x2）≤0恒成立，求a的最小值．
解：（1）令g（a）＝f（1）＝|1﹣2a|﹣2|1+a|，由题意可知，g（a）≥1，
则g（a）＝，
当a≤﹣1时，g（a）＝3≥1恒成立，
当﹣1＜a＜时，g（a）＝﹣4a﹣1≥1，解得a≤﹣，所以﹣1＜a≤﹣，
当a≥时，g（a）＝﹣3≥1不成立，
综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]；
（2）|x2﹣2a|≤2|x2+a|对x∈R恒成立，
令t＝x2，则t∈[0，+∞），
所以|t﹣2a|≤2|t+a|对于t∈[0，+∞）恒成立，
即t2﹣4at+4a2≤4t2+8at+4a2对于t∈[0，+∞）恒成立，
即t2+4at≥0对于t∈[0，+∞）恒成立，
若a≥0，t2+4at≥0对于t∈[0，+∞）恒成立，
若a＜0，t＝﹣2a代入式子，可得t2+4at＝4a2﹣8a2＝﹣4a2＜0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围为a≥0，即a的最小值为0．
月份x
2
4
6
8
10
销售金额y（单位：万元）
64
132
a
286
368
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
0
2
（36000，144000]
10
2520
3
（144000，300000]
20
16920
4
（300000，420000]
25
31920
5
（420000，660000]
30
52920
月份x
2
4
6
8
10
销售金额y（单位：万元）
64
132
a
286
368
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
0
2
（36000，144000]
10
2520
3
（144000，300000]
20
16920
4
（300000，420000]
25
31920
5
（420000，660000]
30
52920
X
70
130
160
P
1．若Z＝（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（ ）
A．+iB．﹣+iC．+iD．﹣i
2．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．[0，1]C．（0，1）D．（0，1]
3．某商场2020年部分月份销售金额如表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为＝38.1x﹣17.6，则a＝（ ）
A．198.2B．205C．211D．213.5
4．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an﹣1，则a5＝（ ）
A．32B．C．D．﹣16
5．已知F是椭圆E：的左焦点，椭圆E上一点P（2，1）关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为，则a﹣b＝（ ）
A．B．C．D．
6．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．部分税率与速算扣除数见表：
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ）
A．5712元B．8232元C．11712元D．33000元
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．设函数．若时，方程f（x+1）＝k有唯一解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．（0，2）D．[1，2）
9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”P﹣ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA+2csinC＝2bsinCcsA，则角A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．4
12．若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．若实数x，y满足条件，则3x﹣2y的最小值为 ．
14．若函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，则a的值等于 ．
15．在的展开式中，x的偶次项系数之和是 ．
16．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德．因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”．由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日．已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A、B、C三道工序，三道工序相互独立．工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为．每道工序后产生的不合格品均为废品．
（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；
（2）已知坯件加工成本为A、B、C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，角φ的终边与单位圆的交点为A，圆C：x2+y2＝3与x轴正半轴的交点是P0.若圆C上一动点从P0开始，以πrad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P．设f（t）＝|AP|2．
（1）若且t∈（0，2），求函数f（t）的单调递增区间；
（2）若，，求．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
（1）证明：平面GAC∥平面PEF；
（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
20．已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线l：y＝k（x﹣m）（m＞0）与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N．
（1）若k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|•|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：（e为自然对数的底数）．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程：
（2）若点M，N为曲线C上两点，且满足，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|﹣2|x+a|．
（1）若f（1）≥1，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈R，f（x2）≤0恒成立，求a的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若Z＝（i为虚数单位），则Z的共轭复数为（ ）
A．+iB．﹣+iC．+iD．﹣i
解：∵，
∴z的共轭复数为：．
故选：A．
2．已知集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．[0，1]C．（0，1）D．（0，1]
解：∵A＝{y|y＞0},B＝{x|x≤1},
∴A∩B＝(0,1]．
故选：D．
3．某商场2020年部分月份销售金额如表：
若用最小二乘法求得回归直线方程为＝38.1x﹣17.6，则a＝（ ）
A．198.2B．205C．211D．213.5
解：由表中数据可知，
＝（2+4+6+8+10）＝6，＝（64+132+a+286+368）＝，
∵回归直线恒过样本中心点（6，），
∴＝38.1×6﹣17.6，解得a＝205．
故选：B．
4．若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝2an﹣1，则a5＝（ ）
A．32B．C．D．﹣16
解：3Sn＝2an﹣1，
当n＝1时，3S1＝2a1﹣1，可得a1＝﹣1，
当n≥2时，3Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，
两式相减可得3an＝2an﹣2an﹣1，
即an＝﹣2an﹣1，
所以数列{an}是以﹣1为首项，﹣2为公比的等比数列，
则an＝﹣（﹣2）n﹣1，
所以a5＝﹣（﹣2）4＝﹣16．
故选：D．
5．已知F是椭圆E：的左焦点，椭圆E上一点P（2，1）关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为，则a﹣b＝（ ）
A．B．C．D．
解：因为P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），
所以|PQ|＝2，
又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4，
所以|PF|+|QF|＝4，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|,
所以|QM|+|QF|＝2a＝4,所以a＝2，
将点P代入椭圆方程可得：,解得b＝,
所以a﹣b＝2,
故选：A．
6．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．部分税率与速算扣除数见表：
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ）
A．5712元B．8232元C．11712元D．33000元
解：由题意可得应纳税所得额为：
249600﹣60000﹣249600×20%﹣52800﹣4560＝82320元，
根据表格可知，应纳税所得额位于区间（36000，144000]，
所以他全年应缴纳的个人所得税为82320×10%﹣2520＝5712元，
故选：A．
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
解：令,则．
由题意知：,故＝,
＝,
所以＝＝＝．
故选：C．
8．设函数．若时，方程f（x+1）＝k有唯一解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．（0，2）D．[1，2）
解：设函数，
则f（x+1）＝
若时，作出f（x+1）的图象，
结合图象可知方程f（x+1）＝k有唯一解，
则．
故选：B．
9．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”P﹣ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：
①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
解：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB,
又PA＝AB,E为PB的中点，可得AE⊥PB,
由EF为△PBD的中位线，可得EF∥BD,
而PB与BD不垂直，即PB与EF不垂直，所以PB⊥平面AEF不成立,
故①错误，排除A,B；
由四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC,
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD,
而PA∩AC＝A,所以BD⊥平面PAC,
由EF∥BD,可得EF⊥平面PAC，故②正确；
由PA＝AD,PA⊥AD,F为PD的中点，
可得AF⊥PD,
由CD⊥AD,CD⊥PA,可得CD⊥平面PAD,
而AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF,
则AF⊥平面PCD,而AF⊂平面AEF,
则平面AEF⊥平面PCD，故④正确．
故选：D．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinA+2csinC＝2bsinCcsA，则角A的最大值为（ ）
A．B．C．D．
解：因为asinA+2csinC＝2bsinCcsA，
由正弦定理可得，a2+2c2＝2bccsA，
所以①，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA②，
由①②可得2a2＝b2﹣c2，
所以＝，
因为，当且仅当时取等号，
所以，又A∈(0,π)，
所以角A的最大值为．
故选：A．
11．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为2a，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．4
解：设P为第一象限内的点，|PF1|＝m,|PF2|＝n,|F1F2|＝2c,
可得m﹣n＝2a,
在△PF1F2中，可得4c2＝m2+n2﹣2mncs120°＝(m﹣n)2+2mn+mn,
即为4c2＝4a2+3mn,即mn＝(c2﹣a2),
又△PF1F2的面积为mnsin120°＝×(c2﹣a2)×＝×2c×2a,
化为c2﹣a2﹣2ac＝0,
由e＝,可得e2﹣2e﹣1＝0,
解得e＝2+(负的舍去),
故选：C．
12．若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
解：如图所示，以正方体的顶点为顶点的两个不同的正四面体，
它们的公共区域是一个以正方体的六个面的中心为顶点的正八面体，
它的体积．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．若实数x，y满足条件，则3x﹣2y的最小值为 ﹣2 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
由图可得A（0，1），
令z＝3x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
14．若函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，则a的值等于 4 ．
解：由，得f′（x）＝，
则f′（1）＝a，
又函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0垂直，
∴a•（﹣）＝﹣1，即a＝4．
故答案为：4．
15．在的展开式中，x的偶次项系数之和是 ﹣16 ．
解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1＝•(﹣1)r•x5﹣3r，
令5﹣3r为偶数，可得r＝1，3，5，
故x的偶次项系数之和为﹣﹣﹣＝﹣16，
故答案为：﹣16．
16．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德．因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”．由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日．已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 27 个．
解：根据题意，在2021年，设大张的休息日为数列{an}，小张的休息日为数列{bn}，
大张可以在1、5、……、休息，其通项为an＝4n﹣3，
若小张在每周五休息，其通项为bn＝7n﹣6，此时两个数列的公共项为1，29，57，……，
首项为1，公差为28，其最后一项为365，
共有14项，
若小张在每周一休息，其通项为bn＝7n﹣3，此时两个数列的公共项为25，53，81，……，
首项为25，公差为28，其最后一项为361，
共有13项，
则两个数列一共有13+4＝27项，即2021年全年他们约定的“家庭日”共有27个，
故答案为：27．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A、B、C三道工序，三道工序相互独立．工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为．每道工序后产生的不合格品均为废品．
（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；
（2）已知坯件加工成本为A、B、C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望．
解：（1）一个坯件能顺利加工完成的概率为，
所以一个坯件加工过程中成为废品的概率为p＝1﹣＝；
(2)设每一个坯件的加工成本为随机变量X，则X的取值为70,130,160，
P(X＝70)＝1﹣＝；
P(X＝130)＝＝；
P(X＝160)＝1﹣P(X＝70)﹣P(X＝130)＝,
所以X的分布列为：
E(X)＝70×＝145．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，角φ的终边与单位圆的交点为A，圆C：x2+y2＝3与x轴正半轴的交点是P0.若圆C上一动点从P0开始，以πrad/s的角速度逆时针做圆周运动，t秒后到达点P．设f（t）＝|AP|2．
（1）若且t∈（0，2），求函数f（t）的单调递增区间；
（2）若，，求．
解：由已知和三角函数的定义可知，A(csφ，sinφ),，
所以f（t）＝＝，
（1）若，则f（t）＝，
令，解得，又t∈（0，2），
所以函数f（t）的单调递增区间为；
（2）若＝2，可得，
因为,所以，
故，
所以
＝
＝
＝
＝,
故＝．
19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
（1）证明：平面GAC∥平面PEF；
（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接CE，由题意知，四边形ABCE为正方形，
连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE中点，
又因为G为PB中点，所以OG∥PE，
因为E，F分别为AD，CD中点，所以AC∥EF，
因为OG∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG⊂平面ACG，PE∩EF⊂平面PEF，
所以平面GAC∥平面PEF．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
A（0，﹣，0），C（，0，0），B（，﹣，0），P（，，1），
G（，﹣，），
＝(，，),＝(,,0),＝(，，1),
设平面PAC的法向量为＝(x,y,z),
，令y＝﹣1,＝(1,﹣1,),
所以直线AG与平面PAC所成角的正弦值为＝＝．
20．已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线l：y＝k（x﹣m）（m＞0）与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N．
（1）若k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|•|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消去y得k2x2﹣2(k2m+p)x+k2m2＝0,
因为直线l与抛物线交于两点，
所以k≠0,
又因为m＞0,p＞0,
所以△＝8k2mp+4p2＞0恒成立，
所以,
当k＝1时，|AB|＝4,
所以|AB|＝|x1﹣x2|＝2＝4,
化简得(p+2m+2)(p﹣2)＝0,
因为p＞0,m＞0,
所以p＝2,
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)假设存在常数k满足题意，
因为抛物线E的方程为y2＝2px,
焦点为F(,0),准线为x＝﹣,
所以N(﹣,﹣k(m+)),从而|FN|2＝p2+k2(m+)2
由抛物线的定义可得，|FA|＝x1+,|FB|＝x2+,
所以|FA|•|FB|＝(x1+)(x2+)＝x1x2+(x1+x2)+＝(m+)2+,
由|FA|•|FB|＝|FN|2得(m+)2+＝p2+k2(m+)2,即(k2﹣1)[(m+)2+]＝0,
因为(m+)2＞0,＞0,
所以k2﹣1＝0,解得k＝±1,
所以存在k＝±1,使得|FA|•|FB|＝|FN|2对任意的正数m都成立．
21．已知函数有两个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：（e为自然对数的底数）．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）至多有一个零点，不符合题意，
②当a＞0时，f′（a）＝0，且当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
从而f（x）的最小值为f（a）＝lna+2，
若f（a）≥0，即a≥e2，此时f（x）至多有一个零点，不符合题意，
若f（a）＜0，即0＜a＜e﹣2，
因为f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0，f（1）＝a+1＞0，
根据零点存在性定义得，f（x）在（a，+∞）内有且仅有一个零点，
又因为f（x）在（0，a）上单调递减，且f（a）＜0，
考虑f（a2）＝2lna++1的正负，
令g（x）＝2lnx++1，x∈（0，e﹣2），
则g′（x）＝＜0，
所以g（x）在（0，e﹣2）上单调递减，
所以g（x）＞g（e﹣2）＝e2﹣3＞0，即f（a2）＝2lna++1＞0，
因为0＜a2＜a，
所以f（a2）＞0，f（a）＜0，
根据零点的存在性定理得，f（x）在（0，a）有且仅有一个零点，
所以，当0＜a＜e﹣2时，f（x）恰有两个零点，符合题意，
综上所述，a的取值范围为（0，e﹣2）．
（2）证明：不妨设x1＜x2，
由（1）可知，a∈（0，e﹣2），x1∈（0，a），x2∈（a，+∞），f（x）在（a，+∞）上单调递增，
要证x1x2＜，
需证x2＜，
即证f（x2）＜f（），
则证0＜﹣lnx1﹣3+ae4x1，
可证lnx1+3﹣ae4x1＜0，
由f（x1）＝lnx1++1＝0得，a＝﹣x1（lnx1+1），
所以只需证lnx1+3+e4x12（lnx1+1）＜0，①
令h（x）＝lnx+3+e4x2（lnx+1），
则h′（x）＝+e4x（2lnx+3），
令φ（x）＝+e4x（2lnx+3），
则φ′（x）＝﹣+e4（2lnx+5）＝e4﹣+e4（2lnx+4），
由0＜x＜e﹣2，解得lnx＜﹣2，e4＜，
所以φ′（x）＜0，φ（x）在（0，e﹣2）上单调递减，且φ（e﹣2）＝0，
所以x∈（0，e﹣2），φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，e﹣2]上单调递增，且h（e﹣2）＝0，而x1＜a＜e﹣2，
所以h（x1）＜h（e2）＝0，即①式得证，
所以x1x2＜．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程：
（2）若点M，N为曲线C上两点，且满足，求的最大值．
解：（1）曲线C的参数方程为（β为参数），其中＝，
所以x2+4y2＝1，根据转换为极坐标方程为．
（2）设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2），|，
故＝，
不妨设，
故＝＝，
当时，的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2a|﹣2|x+a|．
（1）若f（1）≥1，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈R，f（x2）≤0恒成立，求a的最小值．
解：（1）令g（a）＝f（1）＝|1﹣2a|﹣2|1+a|，由题意可知，g（a）≥1，
则g（a）＝，
当a≤﹣1时，g（a）＝3≥1恒成立，
当﹣1＜a＜时，g（a）＝﹣4a﹣1≥1，解得a≤﹣，所以﹣1＜a≤﹣，
当a≥时，g（a）＝﹣3≥1不成立，
综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]；
（2）|x2﹣2a|≤2|x2+a|对x∈R恒成立，
令t＝x2，则t∈[0，+∞），
所以|t﹣2a|≤2|t+a|对于t∈[0，+∞）恒成立，
即t2﹣4at+4a2≤4t2+8at+4a2对于t∈[0，+∞）恒成立，
即t2+4at≥0对于t∈[0，+∞）恒成立，
若a≥0，t2+4at≥0对于t∈[0，+∞）恒成立，
若a＜0，t＝﹣2a代入式子，可得t2+4at＝4a2﹣8a2＝﹣4a2＜0，不符合题意，
综上所述，a的取值范围为a≥0，即a的最小值为0．
月份x
2
4
6
8
10
销售金额y（单位：万元）
64
132
a
286
368
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
0
2
（36000，144000]
10
2520
3
（144000，300000]
20
16920
4
（300000，420000]
25
31920
5
（420000，660000]
30
52920
月份x
2
4
6
8
10
销售金额y（单位：万元）
64
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a
286
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级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
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（36000，144000]
10
2520
3
（144000，300000]
20
16920
4
（300000，420000]
25
31920
5
（420000，660000]
30
52920
X
70
130
160
P
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