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重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将正确答案填在答题卷中对应表格内）．
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
2．下列艺术字是轴对称图形的是（ ）
A．理B．想C．高D．中
3．计算6x3﹣3x3的结果是（ ）
A．2B．2x2C．2x3D．3x3
4．化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．3
5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，∠BEF的平分线EG交CD于H．若∠EFH=50°，则∠BEH的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是（ ）
A．﹣3；﹣3B．﹣3；﹣2C．﹣2；﹣3D．﹣2；﹣2
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinA=（ ）
A．B．C．D．
8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则2015﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2011C．2018D．2013
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
10．万州第四届山地自行车邀请赛在万州江南新区举行．当天，小强和同学明相约前往视看，小强从家出发先步行到小明家楼下的公交车站，等小了一会儿小明后两人一起乘公共汽车到达比赛地点，图中的折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）
A．小强家与小明家的路程为1千米
B．小强在小明家楼下的公共汽车站等10分钟
C．该公共汽车的平均速度为30 千米/小时
D．他们乘公共汽车用了30分钟
11．如图是有若干颗棋子摆放的图形，其中第一个图形有4颗棋子，第二个图形有10颗棋子，第三个图形有28颗棋子，按此规律摆下去，第六个图形共需（ ）颗棋子．
A．729B．730C．631D．630
12．如图，已知第二象限的点A在反比例函数y=上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB=60°．将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=上，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．﹣4
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分,请将答案直接填在答题卷中对应的横线上）．
13．万州最美教师评选活动期间，某媒体网站的点击率高达98000次，把数98000用科学记数法表示为 ．
14．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：5，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
16．计算：（﹣1）2015+（﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1= ．
17．有七张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率是 ．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、
BF，点M是BF上一点且=，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则= ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上．
19．解方程：﹣2=．
20．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
四、解答题
21．材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d（10）=1；
材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n）
（1）根据劳格数的定义，填空：d（102）= ，d（10﹣2）= ；
（2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值；
（3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a=b=c．
22．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．
（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan5°≈0.09）
（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作
2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．
五、解答题(本大题2个小題，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上。
23．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．
24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=
（1）求抛物线的解折式．
（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求这个最大值，并求此时点P的坐标．
（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
2017-2018学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将正确答案填在答题卷中对应表格内）．
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【解答】解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．
故选A．
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．下列艺术字是轴对称图形的是（ ）
A．理B．想C．高D．中
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．计算6x3﹣3x3的结果是（ ）
A．2B．2x2C．2x3D．3x3
【考点】合并同类项．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：6x3﹣3x3=3x3，
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，系数相加字母及指数不变是解题关键．
4．化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．3
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可．
【解答】解： ==3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质=|a|是解题的关键．
5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，∠BEF的平分线EG交CD于H．若∠EFH=50°，则∠BEH的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFH=180°，求出∠BEF=130°，根据角平分线定义得出∠BEH=∠BEF，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，
∵∠EFH=50°，
∴∠BEF=130°，
∵∠BEF的平分线EG交CD于H，
∴∠BEH=∠BEF=65°，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠BEF的度数是解此题的关键．
6．数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是（ ）[来源:学+科+网]
A．﹣3；﹣3B．﹣3；﹣2C．﹣2；﹣3D．﹣2；﹣2
【考点】众数；中位数．
【分析】根据题目提供的数据，确定这组数据的众数及中位数即得到本题的答案．
【解答】解：数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是﹣2和﹣2，
故选D．
【点评】本题考查了众数及中位数的相关知识，解题时确定其中位数及众数即可．
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinA=（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：AB==13，
则sinA==．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则2015﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2011C．2018D．2013
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，
∴a﹣b﹣2=0，
∴a﹣b=2，
∴2015﹣2a+2b=2015﹣2（a﹣b）=2014﹣2×2=2011．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由矩形的性质得出∠BAD=90°，AD=BC=4，由勾股定理求出BD，由三角形的面积求出AE，由勾股定理得出BE，由翻折变换的性质得出EF=BE=，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴BD==5，
∵AE⊥BD，
∴△ABD的面积=AB•AD=BD•AE，
∴AE==，
∴BE==，
由翻折变换的性质得：EF=BE=，
∴DF=BD﹣BE﹣EF=5﹣﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理求出BE是解决问题的关键．
10．万州第四届山地自行车邀请赛在万州江南新区举行．当天，小强和同学明相约前往视看，小强从家出发先步行到小明家楼下的公交车站，等小了一会儿小明后两人一起乘公共汽车到达比赛地点，图中的折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）
A．小强家与小明家的路程为1千米
B．小强在小明家楼下的公共汽车站等10分钟
C．该公共汽车的平均速度为30 千米/小时
D．他们乘公共汽车用了30分钟
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据图象可以确定小强与小明家的路程为1千米，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．
【解答】解：A、小强与小明家的路程为1千米，此选项不合题意；
B、小强在小明家楼下的公共汽车站等20﹣10=10分钟，此选项不合题意；
C、公交车的速度为（15﹣1）÷=28千米/小时，此选项符合题意；
D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为50+﹣20=30分钟，此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查利用一次函数的实际运用，利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
11．如图是有若干颗棋子摆放的图形，其中第一个图形有4颗棋子，第二个图形有10颗棋子，第三个图形有28颗棋子，按此规律摆下去，第六个图形共需（ ）颗棋子．
A．729B．730C．631D．630
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由图形可知：第一个图形有1+3=4颗棋子，第二个图形有1+32=10颗棋子，第三个图形有1+33=28颗棋子，…按此规律摆下去，第n个图形共需1+3n颗棋子，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵第一个图形有1+3=4颗棋子，
第二个图形有1+32=10颗棋子，
第三个图形有1+33=28颗棋子，
…
∴第n个图形共需1+3n颗棋子，
∴第六个图形共需1+36=730颗棋子．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律：第n个图形共需1+3n颗棋子解决问题．
12．如图，已知第二象限的点A在反比例函数y=上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB=60°．将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=上，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．﹣4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．
【分析】作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，根据反比例函数y=系数k的几何意义求得S△AOC=×|﹣|=，进而根据△AOC∽△BOA和直角三角函数求得S△AOB=4×=2，然后证得△B′OD≌△BOA，得出S△B′OD=S△AOB=2，最后根据根据反比例函数y=系数k的几何意义得出k=﹣4．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，
∵点A在反比例函数y=﹣上，
∴S△AOC=×|﹣|=，
∵AB⊥AO，∠AOB=60°，
∴cs∠AOB==，
∵∠ACO=∠BAO=90°，∠AOC=∠BOA，
∴△AOC∽△BOA，
∴=（）2=4，
∴S△AOB=4×=2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转120°，∠AOB=60°，
∴A、O、B′在一条直线上，
∴∠B′OD=∠AOB，OB=OB′，
在△B′OD和△BOA中，
，
∴△B′OD≌△BOA（AAS），
∴S△B′OD=S△AOB=2，
∵S△B′OD=|k|，图象在第四象限，
∴k=﹣4．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数y=系数k的几何意义，坐标与图形的变化﹣旋转，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分,请将答案直接填在答题卷中对应的横线上）．
13．万州最美教师评选活动期间，某媒体网站的点击率高达98000次，把数98000用科学记数法表示为 9.8×104 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将98000用科学记数法表示为：9.8×104．
故答案为：9.8×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：5，则△ABC与△DEF的周长之比为 3：5 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3：5，
∴△ABC与△DEF的周长之比3：5．
故答案为：3：5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
16．计算：（﹣1）2015+（﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1= 2 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+1﹣（﹣2）=﹣1+1+2=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．有七张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率是 ．
【考点】概率公式；根的判别式；解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】根据判别式的意义得到△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣3a）≥0，解得a≥﹣1；解不等式组得到﹣1≤a≤3，满足条件的a的值为﹣1，0，1，2，3，然后根据概率公式求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，
∴△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣3a）≥0，解得a≥﹣1，
∵无解，
∴a≤3，
∴﹣1≤a≤3，
∴满足条件的a的值为﹣1，0，1，2，3，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、
BF，点M是BF上一点且=，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得到∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．根据勾股定理得到BE=a，CE=a，得到BE=CE，过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．根据FG∥CD，点F是CE的中点，得到EG=DG=DE=a，GF=CD=a．根据三角函数的定义得到∠AEB=∠GDF，由平行线的性质得到∠BEF=∠DFE，推出△EFG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到FG=FH=a，EG=CH=a．推出四边形CDGH是矩形，根据矩形的性质得到CH=DG=a，根据平行线分线段成比例定理得到==，于是得到MN=FH=a，BN=BH=a，求得S△FMN==a×a=a2，S四边形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣•2a•a﹣﹣=a2．即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，
∴BE=CE，
过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．
∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，点F是CE的中点，
∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，[来源:学*科*网]
在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
在△EFG与△CFH中，，
∴△EFG≌△CFH，
∴FG=FH=a，EG=CH=a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四边形CDGH是矩形，
∴CH=DG=a，
∴BH=BC﹣CH=a．
∵MN⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴==，
∴MN=FH=a，BN=BH=a，
∴MN=AB，
∵BN=CH=a，
∴NH=BC﹣BN﹣CH=a，
∴S△FMN==a×a=a2，
S四边形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣•2a•a﹣﹣=a2．
∴=•=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上．
19．解方程：﹣2=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣1）=﹣3，
去括号得：x﹣2x+2=﹣3，
移项合并得：﹣x=﹣5，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
四、解答题
21．材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d（10）=1；
材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n）
（1）根据劳格数的定义，填空：d（102）= 2 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；
（2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值；
（3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a=b=c．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；新定义；整式．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）已知等式利用题中新定义化简，即可得证．
【解答】解：（1）根据题意得：d（102）=2，d（10﹣2）=﹣2；
（2）∵d（2）=0.301，
∴原式=2d（2）+4d（2）=6d（2）=1.806；
（3）已知等式整理得：d（3）=2a+b，
d（9）=2d（3）=4a+2b=3a+2b+c，即a=c，
d（27）=d（3）+d（9）=2a+b+3a+2b+c=6a+2b+c，即a=b，
则a=b=c，
故答案为：（1）2；﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．
（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan5°≈0.09）
（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作
2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出CD、BD的长，根据正切的定义求出AD的长，计算即可；
（2）根据工作效率、工作时间之间的关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=20×0.21=4.2米，
BD=BC•cs∠CBD=20×0.98=19.6米，
在Rt△CAD中，AD=≈46.7米，
故斜坡新起点到原起点B的距离AB=AD﹣BD=27.1米．
（2）由题意得：
+×4×（1+a%）=1，
解得a=30．
答：a的值是30．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、一元一次方程解应用题，熟记锐角三角函数的定义、根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
五、解答题(本大题2个小題，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上。
23．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．
【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积．
【分析】（1）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；
（3）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE﹣DF=BG．
【解答】解：如图1，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即AB•DE+AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG，
∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，
∴DE=DF=3，
∴BG=6，
∵∠A=45°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AB=BG=6，
∴AC=6；
（2）证明：如图2，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，
即AB•DE+AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG；
（3）DE﹣DF=BG，
证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，
即AB•DE﹣AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE﹣DF=BG．
【点评】本题考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．
24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=
（1）求抛物线的解折式．
（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求这个最大值，并求此时点P的坐标．
（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由解析式求得C的坐标，然后根据tan∠ABC=求得OB=3，从而求得B的坐标，进而根据待定系数法即可求得解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．
（3）根据题意求得M的坐标，然后分三种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2可知C的坐标为（0，﹣2），
∴OC=2，
∵tan∠ABC==
∴OB=3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
把A、B的坐标代入y=ax2+bx﹣2得：
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2﹣x﹣2；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x， x2﹣x﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣2．
∴Q点的坐标为（x， x﹣2），
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OE+QP•EB
=×4×2+（2x﹣x2）×3
=﹣x2+3x+4
=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为．此时P点的坐标为（，﹣）．
（3）设直线AM交y轴于D，
∵∠MBA=∠ABC，
∴OD=OC=2，
∴D（0，2），
设直线AM的解析式为y=mx+2，
代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=﹣，
∴直线AM的解析式为y=﹣x+2，
解得或，
∴M（﹣2，），
设N（x， x﹣2），
∵BM2=（3+2）2+（）2，MN2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，BN2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，
当MB=BN时，N（﹣2，﹣）或（8，）；
当MB=MN时，则（3+2）2+（）2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，
整理得13x2﹣28x﹣33=0，
解得x1=3，x2=﹣，
∴N（﹣，﹣）；
当BN=MN时，（x+2）2+（x﹣2﹣）2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，
整理得10x=﹣35，
解得x=﹣
∴N（﹣，﹣）；
综上，点N的坐标为（﹣2，﹣）或（8，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．本题考查了二次函数综合题型．其中涉及到了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意，对于动点问题，需要分类讨论
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将正确答案填在答题卷中对应表格内）．
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
2．下列艺术字是轴对称图形的是（ ）
A．理B．想C．高D．中
3．计算6x3﹣3x3的结果是（ ）
A．2B．2x2C．2x3D．3x3
4．化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．3
5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，∠BEF的平分线EG交CD于H．若∠EFH=50°，则∠BEH的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是（ ）
A．﹣3；﹣3B．﹣3；﹣2C．﹣2；﹣3D．﹣2；﹣2
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinA=（ ）
A．B．C．D．
8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则2015﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2011C．2018D．2013
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
10．万州第四届山地自行车邀请赛在万州江南新区举行．当天，小强和同学明相约前往视看，小强从家出发先步行到小明家楼下的公交车站，等小了一会儿小明后两人一起乘公共汽车到达比赛地点，图中的折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）
A．小强家与小明家的路程为1千米
B．小强在小明家楼下的公共汽车站等10分钟
C．该公共汽车的平均速度为30 千米/小时
D．他们乘公共汽车用了30分钟
11．如图是有若干颗棋子摆放的图形，其中第一个图形有4颗棋子，第二个图形有10颗棋子，第三个图形有28颗棋子，按此规律摆下去，第六个图形共需（ ）颗棋子．
A．729B．730C．631D．630
12．如图，已知第二象限的点A在反比例函数y=上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB=60°．将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=上，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．﹣4
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分,请将答案直接填在答题卷中对应的横线上）．
13．万州最美教师评选活动期间，某媒体网站的点击率高达98000次，把数98000用科学记数法表示为 ．
14．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：5，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
16．计算：（﹣1）2015+（﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1= ．
17．有七张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率是 ．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、
BF，点M是BF上一点且=，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则= ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上．
19．解方程：﹣2=．
20．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
四、解答题
21．材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d（10）=1；
材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n）
（1）根据劳格数的定义，填空：d（102）= ，d（10﹣2）= ；
（2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值；
（3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a=b=c．
22．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．
（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan5°≈0.09）
（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作
2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．
五、解答题(本大题2个小題，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上。
23．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．
24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=
（1）求抛物线的解折式．
（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求这个最大值，并求此时点P的坐标．
（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
2017-2018学年重庆市万州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将正确答案填在答题卷中对应表格内）．
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【解答】解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．
故选A．
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．下列艺术字是轴对称图形的是（ ）
A．理B．想C．高D．中
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．计算6x3﹣3x3的结果是（ ）
A．2B．2x2C．2x3D．3x3
【考点】合并同类项．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：6x3﹣3x3=3x3，
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，系数相加字母及指数不变是解题关键．
4．化简的结果是（ ）
A．2B．2C．3D．3
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可．
【解答】解： ==3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质=|a|是解题的关键．
5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，∠BEF的平分线EG交CD于H．若∠EFH=50°，则∠BEH的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFH=180°，求出∠BEF=130°，根据角平分线定义得出∠BEH=∠BEF，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，
∵∠EFH=50°，
∴∠BEF=130°，
∵∠BEF的平分线EG交CD于H，
∴∠BEH=∠BEF=65°，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠BEF的度数是解此题的关键．
6．数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是（ ）[来源:学+科+网]
A．﹣3；﹣3B．﹣3；﹣2C．﹣2；﹣3D．﹣2；﹣2
【考点】众数；中位数．
【分析】根据题目提供的数据，确定这组数据的众数及中位数即得到本题的答案．
【解答】解：数据﹣3，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1，﹣1，﹣2的众数和中位数分别是﹣2和﹣2，
故选D．
【点评】本题考查了众数及中位数的相关知识，解题时确定其中位数及众数即可．
7．在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinA=（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：AB==13，
则sinA==．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则2015﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015B．2011C．2018D．2013
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，
∴a﹣b﹣2=0，
∴a﹣b=2，
∴2015﹣2a+2b=2015﹣2（a﹣b）=2014﹣2×2=2011．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由矩形的性质得出∠BAD=90°，AD=BC=4，由勾股定理求出BD，由三角形的面积求出AE，由勾股定理得出BE，由翻折变换的性质得出EF=BE=，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴BD==5，
∵AE⊥BD，
∴△ABD的面积=AB•AD=BD•AE，
∴AE==，
∴BE==，
由翻折变换的性质得：EF=BE=，
∴DF=BD﹣BE﹣EF=5﹣﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理求出BE是解决问题的关键．
10．万州第四届山地自行车邀请赛在万州江南新区举行．当天，小强和同学明相约前往视看，小强从家出发先步行到小明家楼下的公交车站，等小了一会儿小明后两人一起乘公共汽车到达比赛地点，图中的折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）
A．小强家与小明家的路程为1千米
B．小强在小明家楼下的公共汽车站等10分钟
C．该公共汽车的平均速度为30 千米/小时
D．他们乘公共汽车用了30分钟
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据图象可以确定小强与小明家的路程为1千米，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．
【解答】解：A、小强与小明家的路程为1千米，此选项不合题意；
B、小强在小明家楼下的公共汽车站等20﹣10=10分钟，此选项不合题意；
C、公交车的速度为（15﹣1）÷=28千米/小时，此选项符合题意；
D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为50+﹣20=30分钟，此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查利用一次函数的实际运用，利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
11．如图是有若干颗棋子摆放的图形，其中第一个图形有4颗棋子，第二个图形有10颗棋子，第三个图形有28颗棋子，按此规律摆下去，第六个图形共需（ ）颗棋子．
A．729B．730C．631D．630
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由图形可知：第一个图形有1+3=4颗棋子，第二个图形有1+32=10颗棋子，第三个图形有1+33=28颗棋子，…按此规律摆下去，第n个图形共需1+3n颗棋子，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵第一个图形有1+3=4颗棋子，
第二个图形有1+32=10颗棋子，
第三个图形有1+33=28颗棋子，
…
∴第n个图形共需1+3n颗棋子，
∴第六个图形共需1+36=730颗棋子．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律：第n个图形共需1+3n颗棋子解决问题．
12．如图，已知第二象限的点A在反比例函数y=上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB=60°．将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=上，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．﹣4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．
【分析】作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，根据反比例函数y=系数k的几何意义求得S△AOC=×|﹣|=，进而根据△AOC∽△BOA和直角三角函数求得S△AOB=4×=2，然后证得△B′OD≌△BOA，得出S△B′OD=S△AOB=2，最后根据根据反比例函数y=系数k的几何意义得出k=﹣4．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，
∵点A在反比例函数y=﹣上，
∴S△AOC=×|﹣|=，
∵AB⊥AO，∠AOB=60°，
∴cs∠AOB==，
∵∠ACO=∠BAO=90°，∠AOC=∠BOA，
∴△AOC∽△BOA，
∴=（）2=4，
∴S△AOB=4×=2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转120°，∠AOB=60°，
∴A、O、B′在一条直线上，
∴∠B′OD=∠AOB，OB=OB′，
在△B′OD和△BOA中，
，
∴△B′OD≌△BOA（AAS），
∴S△B′OD=S△AOB=2，
∵S△B′OD=|k|，图象在第四象限，
∴k=﹣4．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数y=系数k的几何意义，坐标与图形的变化﹣旋转，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分,请将答案直接填在答题卷中对应的横线上）．
13．万州最美教师评选活动期间，某媒体网站的点击率高达98000次，把数98000用科学记数法表示为 9.8×104 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将98000用科学记数法表示为：9.8×104．
故答案为：9.8×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：5，则△ABC与△DEF的周长之比为 3：5 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3：5，
∴△ABC与△DEF的周长之比3：5．
故答案为：3：5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
16．计算：（﹣1）2015+（﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1= 2 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+1﹣（﹣2）=﹣1+1+2=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．有七张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率是 ．
【考点】概率公式；根的判别式；解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】根据判别式的意义得到△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣3a）≥0，解得a≥﹣1；解不等式组得到﹣1≤a≤3，满足条件的a的值为﹣1，0，1，2，3，然后根据概率公式求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，
∴△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣3a）≥0，解得a≥﹣1，
∵无解，
∴a≤3，
∴﹣1≤a≤3，
∴满足条件的a的值为﹣1，0，1，2，3，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、
BF，点M是BF上一点且=，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得到∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．根据勾股定理得到BE=a，CE=a，得到BE=CE，过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．根据FG∥CD，点F是CE的中点，得到EG=DG=DE=a，GF=CD=a．根据三角函数的定义得到∠AEB=∠GDF，由平行线的性质得到∠BEF=∠DFE，推出△EFG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到FG=FH=a，EG=CH=a．推出四边形CDGH是矩形，根据矩形的性质得到CH=DG=a，根据平行线分线段成比例定理得到==，于是得到MN=FH=a，BN=BH=a，求得S△FMN==a×a=a2，S四边形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣•2a•a﹣﹣=a2．即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，
∴BE=CE，
过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．
∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，点F是CE的中点，
∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，[来源:学*科*网]
在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
在△EFG与△CFH中，，
∴△EFG≌△CFH，
∴FG=FH=a，EG=CH=a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四边形CDGH是矩形，
∴CH=DG=a，
∴BH=BC﹣CH=a．
∵MN⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴==，
∴MN=FH=a，BN=BH=a，
∴MN=AB，
∵BN=CH=a，
∴NH=BC﹣BN﹣CH=a，
∴S△FMN==a×a=a2，
S四边形FEBN=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDE﹣S△CNF=4a2﹣•2a•a﹣﹣=a2．
∴=•=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上．
19．解方程：﹣2=．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣1）=﹣3，
去括号得：x﹣2x+2=﹣3，
移项合并得：﹣x=﹣5，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
四、解答题
21．材料一：如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101=10，d（10）=1；
材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n）
（1）根据劳格数的定义，填空：d（102）= 2 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；
（2）若d（2）=0.301，求d（4）+d（16）的值；
（3）已知d（3）=2a+b，d（9）=3a+2b+c，d（27）=6a+2b+c，证明：a=b=c．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；新定义；整式．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义变形，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）已知等式利用题中新定义化简，即可得证．
【解答】解：（1）根据题意得：d（102）=2，d（10﹣2）=﹣2；
（2）∵d（2）=0.301，
∴原式=2d（2）+4d（2）=6d（2）=1.806；
（3）已知等式整理得：d（3）=2a+b，
d（9）=2d（3）=4a+2b=3a+2b+c，即a=c，
d（27）=d（3）+d（9）=2a+b+3a+2b+c=6a+2b+c，即a=b，
则a=b=c，
故答案为：（1）2；﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．
（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan5°≈0.09）
（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作
2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出CD、BD的长，根据正切的定义求出AD的长，计算即可；
（2）根据工作效率、工作时间之间的关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=20×0.21=4.2米，
BD=BC•cs∠CBD=20×0.98=19.6米，
在Rt△CAD中，AD=≈46.7米，
故斜坡新起点到原起点B的距离AB=AD﹣BD=27.1米．
（2）由题意得：
+×4×（1+a%）=1，
解得a=30．
答：a的值是30．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、一元一次方程解应用题，熟记锐角三角函数的定义、根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
五、解答题(本大题2个小題，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上。
23．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．
【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积．
【分析】（1）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；
（3）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE﹣DF=BG．
【解答】解：如图1，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即AB•DE+AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG，
∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，
∴DE=DF=3，
∴BG=6，
∵∠A=45°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AB=BG=6，
∴AC=6；
（2）证明：如图2，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，
即AB•DE+AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG；
（3）DE﹣DF=BG，
证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积﹣△ACD的面积，
即AB•DE﹣AC•DF=AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE﹣DF=BG．
【点评】本题考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．
24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=
（1）求抛物线的解折式．
（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求这个最大值，并求此时点P的坐标．
（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由解析式求得C的坐标，然后根据tan∠ABC=求得OB=3，从而求得B的坐标，进而根据待定系数法即可求得解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．
（3）根据题意求得M的坐标，然后分三种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2可知C的坐标为（0，﹣2），
∴OC=2，
∵tan∠ABC==
∴OB=3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
把A、B的坐标代入y=ax2+bx﹣2得：
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2﹣x﹣2；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x， x2﹣x﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣2．
∴Q点的坐标为（x， x﹣2），
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OE+QP•EB
=×4×2+（2x﹣x2）×3
=﹣x2+3x+4
=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为．此时P点的坐标为（，﹣）．
（3）设直线AM交y轴于D，
∵∠MBA=∠ABC，
∴OD=OC=2，
∴D（0，2），
设直线AM的解析式为y=mx+2，
代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=﹣，
∴直线AM的解析式为y=﹣x+2，
解得或，
∴M（﹣2，），
设N（x， x﹣2），
∵BM2=（3+2）2+（）2，MN2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，BN2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，
当MB=BN时，N（﹣2，﹣）或（8，）；
当MB=MN时，则（3+2）2+（）2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，
整理得13x2﹣28x﹣33=0，
解得x1=3，x2=﹣，
∴N（﹣，﹣）；
当BN=MN时，（x+2）2+（x﹣2﹣）2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，
整理得10x=﹣35，
解得x=﹣
∴N（﹣，﹣）；
综上，点N的坐标为（﹣2，﹣）或（8，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．本题考查了二次函数综合题型．其中涉及到了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意，对于动点问题，需要分类讨论
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