湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷（解析版），共28页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断，细心填一填，试试自己的伸手！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。


2017-2018学年湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷
　
一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中）
1．方程x2=﹣x的解是（　　）
A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=0
　
2．下列各点中，在函数的图象上的是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）
　
3．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
　
4．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
　
5．如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π
C．4π D．条件不足，无法求
　
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）

A． x（80﹣x）=640 B． x（80﹣2x）=640 C．x（80﹣2x）=640 D．x（80﹣x）=640
　
7．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（　　）

A． B． C． D．
　
8．如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C． D．
　
9．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A． B． C． D．
　
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
　
　
二、细心填一填，试试自己的伸手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为　　　　　　．
　
12．已知点A（1，3），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是　　　　　　．
　
13．一块△ABC余料，已知AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　　　　　　cm2．
　
14．在一个不透明的袋子中，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，在这n个球中，红球、白球、黑球至少各有一个，则当n=　　　　　　时，这个事件必然发生．
　
15．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为　　　　　　．

　
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2，将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y=的图象上，得矩形A′B′C′D′，则反比例函数的解析式为　　　　　　．

　
　
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分）
17．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．
　
18．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE=3，则EF=　　　　　　．

　
19．已知抛物线y=x2+（2k+1）+k2+1（k是常数）与x轴交于A（x1，0），A（x2，0）（x1＜x2）两点．
（1）求实数k的取值范围．
（2）O为坐标原点，若OA+OB=OA•OB，求k的值．
　
20．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．

　
21．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
　
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

　
23．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

　
24．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．
（1）求a、c的值．
（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　
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2017-2018学年湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中）
1．方程x2=﹣x的解是（　　）
A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程移项得：x2+x=0，
分解因式得：x（x+1）=0，
可得x=0或x+1=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
2．下列各点中，在函数的图象上的是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数的比例系数为﹣2，找到横纵坐标的积等于﹣2的坐标即可．
【解答】解：A、2×1=2，不符合题意，
B、﹣2×1=﹣1，符合题意；
C、2×﹣2=﹣4，不符合题意；
D、1×2=2，不符合题意；
故选B．
【点评】考查反比例函数图象上的点的坐标的特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
　
3．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把（1，1）代入解析式可得到a+b的值，然后计算a+b+1的值．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
　
4．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理．
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
　
5．如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π
C．4π D．条件不足，无法求
【考点】反比例函数图象的对称性；圆的认识．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，求出圆的面积即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，
∵圆的半径是2，
∴图中阴影部分的面积是×π×22=2π．
故选B．
【点评】本题主要考查对圆的认识，反比例函数图象的对称性等知识点的理解和掌握，能根据图象得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半是解此题的关键．
　
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）

A． x（80﹣x）=640 B． x（80﹣2x）=640 C．x（80﹣2x）=640 D．x（80﹣x）=640
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据AB的长表示出线段AD或线段BC的长，利用矩形的面积列出方程即可．
【解答】解：设AB的长为x米，则AD=（80﹣x），
根据矩形的面积得： x（80﹣x）=640，
故选A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是表示出矩形的宽，难度不大．
　
7．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
【解答】解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y=90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA=OC，
∴y=45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；

（2）当点P沿C→D运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时，
当点P在点D的位置时，y=45°，
当点P在点0的位置时，y=90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
　
8．如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C． D．
【考点】切线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
【解答】解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE=，
∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴，
∵BD2+CD2=BC2，
∴，
解得BC=，
∵AB=BC，
∴AB=，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
　
9．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式．
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=，
∴AE=，同理可得：AC=，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．
故选：B．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．
　
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】①函数图象的对称轴为：x=﹣==1，所以b=﹣2a，即2a+b=0；
②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想得出当﹣1≤x≤3时，y≤0；
③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性；
④由图象过点（3，0），即可得出9a+3b+c=0．
【解答】解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口方向朝上，
∴a＞0，
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），
∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0），
∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中．
　
二、细心填一填，试试自己的伸手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为　　．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程两边除以a2变形后，利用公式法即可所求式子的值即可．
【解答】解：方程整理得：1+﹣（）2=0，
∵△=1+4=5，
∴=，
故答案为：
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
　
12．已知点A（1，3），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是　（﹣3，1）　．[来源:Z|xx|k.Com]
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（﹣y，x）解答即可．
【解答】解：∵A、A1两点是绕原点逆时针旋转90°得到的，
∴A1的坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（﹣y，x）．
　
13．一块△ABC余料，已知AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4π　cm2．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，然后利用面积法求得圆的半径，最后利用圆的面积公式求解即可．
【解答】解：∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°．
设△ABC的内切圆的半径为rcm，
则AB×AC=（AB+AC+BC）r，
即×5×12=（5+12+13）r，
解得：r=2，
∴圆的最大面积是22π=4π（cm2）．
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；明确三角形的面积=AB×AC=（AB+AC+BC）r是解题的关键．
　
14．在一个不透明的袋子中，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，在这n个球中，红球、白球、黑球至少各有一个，则当n=　7或8或9　时，这个事件必然发生．
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念解答即可．[来源:学,科,网]
【解答】解：当n=1或2时，红球、白球、黑球至少各有一个，是不可能事件，
当n=3或4或5或6时，红球、白球、黑球至少各有一个，是随机事件，
当n=7或8或9时，红球、白球、黑球至少各有一个，是必然事件，
故答案为：7或8或9．
【点评】本题考查的是随机事件、必然事件和不可能事件的概念以及概率的计算，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
　
15．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为　2　．

【考点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t， t），利用二次函数图象上点的坐标特征得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，则BD=1，OD=，然后根据菱形性质得BC=2BD=2，OA=2OD=2，再利用菱形面积公式计算即可．
【解答】解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=BD，
设BD=t，则OD=t，
∴B（t， t），
把B（t， t）代入y=x2得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，
∴BD=1，OD=，
∴BC=2BD=2，OA=2OD=2，
∴菱形OBAC的面积=×2×2=2．
故答案为2．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
　
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2，将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y=的图象上，得矩形A′B′C′D′，则反比例函数的解析式为　y=　．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．
【分析】由四边形ABCD是矩形，得到AB=CD=1，BC=AD=2，根据A（﹣3，），AD∥x轴，即可得到B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），由点A′，C′在在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得到方程（﹣3+m）=（﹣1+m），即可求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，BC=AD=2，
∵A（﹣3，），AD∥x轴，
∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；
∵将矩形ABCD向右平移m个单位，
∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），
∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴（﹣3+m）=（﹣1+m），
解得：m=4，
∴A′（1，），
∴k=，
∴反比例函数的解析式为：y=．
故答案为y=．
【点评】本题考查了矩形的性质，图形的变换﹣平移，反比例函数图形上点的坐标特征，求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题的关键．
　
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分）
17．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0，推出方程x﹣2=0，x+1=0，求出方程的解即可
【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0，x+1=0，
∴x1=2，x2=﹣1．
【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
　
18．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE=3，则EF=　5　．

【考点】作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】作图题；证明题．
【分析】（1）在CB的延长线上截取BM=DE，则△ABM满足条件；
（2））①由旋转性质得AM=AE，∠MAE=90°，则∠MAF=∠EAF=45°，则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF；
②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理计算出DE=3，则CE=3，设EF=x，则BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32=x2，然后解方程求出x即可．
【解答】（1）解：如图，△ABM为所作；

（2）①证明：∵ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∴AM=AE，∠MAE=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠MAF=45°，
∴∠MAF=∠EAF，
在△AMF和△AEF中
，
∴△AMF≌△AEF；
②解：∵△AMF≌△AEF，
∴EF=MF，
即ME=BF+MB，
而BM=DE，
∴EF=BF+DE，
在Rt△ADE中，DE==3，
∴CE=6﹣3=3，
设EF=x，则BF=x﹣3，
∴CF=6﹣（x﹣3）=9﹣x，[来源:Z.xx.k.Com]
在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，
∴（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，
解EF=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．
　
19．已知抛物线y=x2+（2k+1）+k2+1（k是常数）与x轴交于A（x1，0），A（x2，0）（x1＜x2）两点．
（1）求实数k的取值范围．
（2）O为坐标原点，若OA+OB=OA•OB，求k的值．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点问题可判断方程x2+（2k+1）+k2+1的两个实数解，利用判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系可k的范围得到x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1•x2=k2+1＞0，则利用有理数的性质可判断x1＜0，x2＜0，则OA=﹣x1，OB=﹣x2，所以2k+1=k2+1，解得k1=0，k2=2，然后根据（1）中k的范围可确定k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程x2+（2k+1）+k2+1的两个实数解，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
∴k＞；
（2）根据题意得x1、x2是方程x2+（2k+1）+k2+1的两个实数解，且k＞，
∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，
x1•x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，
OA•OB=﹣x1•（﹣x2）=x1•x2，
∴2k+1=k2+1，
整理得k2+2k=0，
∴k1=0，k2=2，
又∵k＞，
∴k=2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．熟练掌握根的判别式的意义和根与系数的关系是解决此题的关键．
　
20．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=15；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=8，B（﹣4，﹣2），
解，解得；

（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），
∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；

（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在不同的象限，
∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
　
21．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【考点】利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；

（2）
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）==；

（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴=0.95，
解得：x=16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
　
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
连结OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵直线BC过半径OD的外端，
∴直线BC与⊙O相切．
（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴．
∴所求图形面积为．

【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
　
23．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价﹣成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

【考点】二次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征抛物线的顶点为（6，4），可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4，将点（3，1）代入可得出函数解析式．
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．
【解答】解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．

（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），
故可设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4．
∵抛物线过（3，1）点，
∴a（3﹣6）2+4=1．
解得．
故抛物线的解析式为Q=﹣（t﹣6）2+4，
即，其中t=3，4，5，6，7．

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，
∴
解得
∴，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M﹣Q==．
即，
其中t=3，4，5，6，7．
当t=5时，W有最小值为元，
即30000件商品一个月内售完至少获利=110000（元）．
答：该公司一个月内至少获利110000元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大．
　
24．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．
（1）求a、c的值．
（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）先求出A（0，c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得•c•2c=4，解得c=2，接着把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；
（2）如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形；
（3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2，于是可得Q点坐标为（6，2）；当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102，解方程求出m的值即可得到Q点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，
∴A（0，c），则OA=c，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=c，
∴•c•2c=4，解得c=2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣；
（2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得，解得，
则直线AB的解析式为y=x+2，
设F（t，t+2），
∵抛物线y=﹣x2+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，
∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t+2，
把C（2，0）代入得﹣（2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，
∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+8，
∴F（6，8），
∴OF==10，
令y=0，﹣（x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，
∴OE=10，
∴OE=OF，
∴△OEF为等腰三角形；
（3）存在．点Q的位置分两种情形．
情形一：点Q在射线HF上，
当点P在x轴上方时，如图2，
∵∠EQP=90°，EP=EP，
∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，
而HE=10﹣6=4，
∴QH==2，
此时Q点坐标为（6，2）；

当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，
在Rt△PQK中，QK===8，
∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，
∵∠PKQ=∠QHE=90°，
∴△PKQ∽△QHE，
∴，∴，解得QH=3，
∴Q（6，3）．
情形二、点Q在射线AF上，
当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，
∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，
当x=10时，y=x+2=12，∴Q（10，12）．

当QE=OE=10时，如图5，
过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N．
设Q的坐标为为（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，
在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4±，
当x=4+时，如图5，y=x+2=6+，∴Q（4+，6+），
当x=4﹣时，如图5，y=x+2=6﹣，∴Q（4﹣，6﹣），
综上所述，Q点的坐标为（6，2）或（6，3）或（10，12）或（4+，6+）或（4﹣，6﹣），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数平移的规律和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住两点间的距离公式．