福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．方程x（x﹣2）=0的解是（　　）
A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=2
　
2．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．某投篮高手投篮一次就投中
C．打开电视机，正在播放足球比赛
D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
　
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．35° C．25° D．20°
　
5．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
　
6．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
　
7．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289
　
8．如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，将△ABO绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），则点A′的坐标是（　　）

A．（2，0） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）
　
9．已知m＜0，则函数y=的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
　
10．如图，圆内接四边形ABCD，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径是（　　）

A．6 B．5 C．3 D．3
　
11．已知Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，以AB为轴将Rt△ABC旋转一周，所得到的圆锥的侧面积是（　　）
A．120πcm2 B．60πcm2 C．160πcm2 D．80πcm2
　
12．已知关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为一切实数
　
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是　　　　　　．
　
14．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于4的概率是　　　　　　．
　
15．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为　　　　　　．
　
16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度是　　　　　　m．
　
17．如图所示，一个半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的弧长是　　　　　　．

　
18．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是　　　　　　．

　
　
三、解答题（共9小题，满分90分）
19．已知关于x的一元二次方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，求a的值．
　
20．解方程：x2﹣2x=1．
　
21．如图，正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过正方形的中心D．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

　
22．一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球．
（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；
（2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
　
23．如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′=30°，求∠B的度数．

　
24．某商场销售一种笔记本，进价为每本10元，试营销阶段发现：当销售单价为12元时，每天可卖出100本．如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10本．
（1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（x＞10）；
（2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过15元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销售利润最大？并求出最大值．
　
25．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；
（2）若OA=，CE=1，求△ABC的面积．

　
26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长是　　　　　　；
（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．

　
27．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．

　
　

2017-2018学年福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．方程x（x﹣2）=0的解是（　　）
A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=﹣2 D．x=0或x=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】原方程已化为了方程左边为两个一次因式的乘积，方程的右边为0的形式；可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，从而求出原方程的解．
【解答】解：由题意，得：x=0或x﹣2=0，
解得x=0或x=2；故选D．
【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．
　
2．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．某投篮高手投篮一次就投中
C．打开电视机，正在播放足球比赛
D．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
【考点】随机事件．
【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，A正确；
某投篮高手投篮一次就投中是随机事件，B错误；
打开电视机，正在播放足球比赛是随机事件，C错误；
抛掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
　
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
　
4．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．35° C．25° D．20°
【考点】圆周角定理．
【专题】探究型．
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB=45°．
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
5．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
　
6．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y=（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
　
7．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
∴方程为289（1﹣x）2=256．
故选答：A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B．
　
8．如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，将△ABO绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），则点A′的坐标是（　　）

A．（2，0） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转．[来源:Z|xx|k.Com]
【专题】计算题．
【分析】通过解方程组可得A（1，2），则AB=2，OB=1，再根据旋转的性质得AB=A′B′=2，OB=OB′=1，∠A′B′O=∠ABO=90°，∠BOB′=90°，所以点B′在y轴的正半轴上，A′B′⊥y轴，然后利用第二象限点的坐标特征写出A′点的坐标．
【解答】解：解方程组得或，则A（1，2），
∵AB⊥x轴，
∴B（1，0），
∴AB=2，OB=1，
∵△ABO绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O（点A对应点A′），如图，
∴AB=A′B′=2，OB=OB′=1，∠A′B′O=∠ABO=90°，∠BOB′=90°，
∴点B′在y轴的正半轴上，A′B′⊥y轴，
∴A′点的坐标为（﹣2，1）．
故选C．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了旋转的性质．
　
9．已知m＜0，则函数y=的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象．
【分析】根据反比例函数的性质，分别分析x＞0和x＜0时图象所在象限．
【解答】解：当x＞0时，y==，
∵m＜0，
∴图象在第四象限；
当x＜0时，y==﹣，
∵m＜0，
∴﹣m＞0，
∴图象在第三象限；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
　
10．如图，圆内接四边形ABCD，AB=3，∠C=135°，若AB⊥BD，则圆的直径是（　　）

A．6 B．5 C．3 D．3
【考点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理解得即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=45°，又AB⊥BD，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AD=AB=3，
∵AB⊥BD，
∴线段AD为圆的直径，
∴圆的直径为3，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理的应用，掌握相关的定理、灵活运用性质是解题的关键．
　
11．已知Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，以AB为轴将Rt△ABC旋转一周，所得到的圆锥的侧面积是（　　）
A．120πcm2 B．60πcm2 C．160πcm2 D．80πcm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据勾股定理求出Rt△ABC的斜边长，根据题意求出圆锥的底面周长，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵Rt△ABC的一条直角边AB=8cm，另一条直角边BC=6cm，
∴斜边AC==10cm，
圆锥的底面周长为：2π×6=12πcm，
则圆锥的侧面积为：×12π×10=60πcm2．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
　
12．已知关于x的方程只有一个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为一切实数
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】方程只有一个实数根，则函数y=和函数y=x2﹣2x+3只有一个交点，根据二次函数所处的象限，即可确定出a的范围．
【解答】解：∵方程只有一个实数根，
∴函数y=和函数y=x2﹣2x+3只有一个交点，
∵函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴x=1，顶点为（1，2），抛物线交y轴的正半轴，
∴反比例函数y=应该在一、三象限，
∴a＞0，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和反比例函数的图象，确定二次函数的图象所处的位置是解题的关键．
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是　2　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0，得出一个关于c的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0得：4﹣2﹣c=0，
解得：c=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于c的方程是解此题的关键．
　
14．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于4的概率是　　．
【考点】概率公式．
【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，大于4的点数有5、6，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于4的概率．
【解答】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点数为5、6才大于4，[来源:学科网]
所以这个骰子向上的一面点数大于4的概率是=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
　
15．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为　（2，﹣1）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】计算题．
【分析】根据点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）即可得到点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）．
　
16．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度是　12　m．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为xm，
由题意得， =，
解得：x=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
　
17．如图所示，一个半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的弧长是　π　．

【考点】相切两圆的性质．
【分析】连接OA、CB，则CB⊥OB，由切线长定理得出∠BOC=×60°=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OC=2CB=2，求出OA=OC+CA=3，扇形的弧长公式即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接CB，
则CB⊥OB，
∴∠OBC=90°，∠BOC=×60°=30°，
∵CA=CB=1，
∴OC=2CB=2，
∴OA=OC+CA=3，
∴扇形的弧长==π．
故答案为：π．

【点评】本题考查了相切两圆的性质、切线长定理、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式；熟练掌握相切两圆的性质，求出扇形的半径是解决问题的关键．
　
18．如图，点A，B分别在函数y=（k1＞0）与y=（k2＜0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是　4　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad=4，即可得出答案．
【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，
∴OC=OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），
代入得：k1=ab，k2=﹣ad，
∵S△AOB=2，
∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad=2，
∴ab+ad=4，
∴k1﹣k2=4，
故选：4．

【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad=4，4是解此题的关键．
　
三、解答题（共9小题，满分90分）
19．已知关于x的一元二次方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，求a的值．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于a的等式，求出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×a=1﹣4a=0，
解得a=．
【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
20．解方程：x2﹣2x=1．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x=1
∴（x﹣1）2=2
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
21．如图，正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过正方形的中心D．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】（1）根据正方形的性质即可求得D的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵正方形的边长为2，边OA，OC分别在x轴与y轴上，
∴A（2，0），C（0，2），B（2，2），
∵点D是正方形的中心，
∴D（1，1）；
（2）设反比例函数的解析式为y=，
且该函数图象过点D（1，1），
∴=1，
∴k=1，
∴反比例函数的解析式为y=．
【点评】本题考查了正方形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
　
22．一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球．
（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；
（2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字积为奇数有4种情况，再利用概率公式即可求得答案
【解答】解：（1）根据题意，可以画如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等；
（2）由（1）得：其中两次摸出的球上的数字积为奇数的有4种情况，
场P（两次摸出的球上的数字积为奇数）=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
23．如图，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′=30°，求∠B的度数．

【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△AB′C′，根据全等三角形的性质可得AC=AC′，∠B=∠AB′C′，则△ACC′是等腰直角三角形，然后根据三角形的外角的性质求得∠AB′C′即可．
【解答】解：由旋转的性质可得：△ABC≌△AB′C′，点B′在AC上，
∴AC=AC′，∠B=∠AB′C′．
又∵∠BAC=∠CAC′=90°，
∴∠ACC′=∠AC′C=45°．
∴∠AB′C′=∠ACC′+∠CC′B′=45°+30°=75°，
∴∠B=∠AB′C′=75°．
【点评】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的性质和三角形的外角的性质，注意到△ACC′是等腰直角三角形是关键．
　
24．某商场销售一种笔记本，进价为每本10元，试营销阶段发现：当销售单价为12元时，每天可卖出100本．如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10本．
（1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（x＞10）；
（2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过15元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销售利润最大？并求出最大值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）把y=﹣10x2+320x﹣2200化为y=﹣10（x﹣16）2+360，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）y=（x﹣10）[100﹣10（x﹣12）
=（x﹣10）（100﹣10x+120）=﹣10x2+320x﹣2200；

（2）y=﹣10x2+320x﹣2200=﹣10（x﹣16）2+360，
由题意可得：10＜x≤15，
∵a=﹣10＜0，对称轴为直线x=16，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴当x=15时，y取最大值为350元，
答：销售单价为15元时，该文具每天的销售利润最大，最大值是350元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得．
　
25．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；
（2）若OA=，CE=1，求△ABC的面积．

【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连接AE，OE，∠AEB=90°，∠BAC=90°，在Rt△ACE中，D为AC的中点，则DE=AD=CD=AC，得出∠DEA=∠DAE，由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，则∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，即可得出结论；
（2）AB=2AO=2，由△BCA∽△BAE，得出=，求出BE=3，BC=4，由勾股定理得AC==2，则S△ABC=AB•AC代入即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△ACE中，D为AC的中点，
∴DE=AD=CD=AC，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OA=OE，[来源:学科网ZXXK]
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AO=，
∴AB=2AO=2，
∵∠CAB=∠AEB=90°，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAE，
∴=，即AB2=BE•BC=BE（BE+EC），
∴（2）2=BE2+BE，
解得：BE=3或BE=﹣4（不合题意，舍去），
∴BE=3，
∴BC=BE+CE=3+1=4，
∴在Rt△ABC中，AC===2，
∴S△ABC=AB•AC=×2×2=2．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
　
26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长是　5﹣t　；
（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，根据题意用t表示出AP，结合图形计算即可；
（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质计算即可；
（3）连接BP、BM，根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一得到BP=BQ，根据勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵点P的速度是每秒一个单位，移动时间为t秒，
∴AP=t，
则PC=AC﹣AP=5﹣t，
故答案为：5﹣t；
（2）当CP=CQ时，t=5﹣t，
解得t=，
当QP=QC时，过点Q作QH⊥AC于H，如图1，
则PH=HC=PC=（5﹣t），QC=t，
∵QH⊥AC，∠B=90°，
∴△CHQ∽△CBA，
∴=，即=，
解得t=，
当PQ=PC时，如图2，
过点P作PN⊥QC于N，
则NC=NQ=QC=t，
∵△CPN∽△CAB，得
=，即=，
解得t=，
综上所述，当t=或t=或t=时，△PCQ为等腰三角形；
（3）连接BP、BM，如图3，则∠BMQ=90°，
∵M为PQ的中点，[来源:学科网ZXXK]
∴BP=BQ，
过点P作PK⊥AB于K，
∵AP=t，
∴PK=t，AK=t，
∴BK=3﹣t，
在Rt△BPK中，PB2=PK2+BK2=（3﹣t）2+（t）2，又BQ=4﹣t，
∴（4﹣t）2=（3﹣t）2+（t）2，
解得t=．
∴以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，t的值为．



【点评】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用数形结合思想、正确作出辅助线是解题的关键．
　
27．如图，已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB时，求出点P的坐标；
（3）以OB为边最第四象限内作等边△OBM．设点E为x轴的正半轴上一动点（OE＞OH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0，求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点A、B的横坐标；
（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，﹣4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，则易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；
（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．过点B，F作直线交对称轴于点G．构建全等三角形：△EOM≌△FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：
∠OBF=120°为定值，即BF所在直线为定直线．过D点作DK⊥BF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度．
【解答】解：（1）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），
如图1，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．
连接BP，设∠NBP=∠CDB．
令x=0，得y=x2﹣2x﹣3=﹣3，
∴C（0，﹣3）
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）．
由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2．
∴BD2=BC2+CD2，
∴∠BCD=90°．
∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．
∴△BCD∽△PNB．
∴=，
=，即x2﹣5x+6=0，
解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）．
∴当x=2时，y=﹣3
∴P（2，﹣3）；

（3）正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2．
过点B，F作直线交对称轴于点G．
由题意可得：
，
∴△EOM≌△FBM，
∴∠MBF=∠MOB=60°．
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值，
∴BF所在直线为定直线．
过D点作DK⊥BF，K为垂足．
在Rt△BGH中，∠HBG=180°﹣120°=60°，
∴∠HGB=30°．
∵HB=3，
∴BG=4，HG=2．
∵D（1，﹣4），
∴DH=4，
∴DG=2+4．
在Rt△DGK中，∠DGK=30°．
∴DK=DG=2+．
∵当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，
则GF=4+1=5．
而GK=DK=3+2＞5，即点K在点F运动的路径上，
所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+．


【点评】本题考查了二次函数综合题．需要掌握抛物线与x轴的交点坐标，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识点，难度较大，主要考查学生数形结合的数学思想方法．[来源:学*科*网]