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山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1．cos60°•sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（ ）
A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3
7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直线必过圆心
10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．
13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D= 度．
15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．
16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC= ．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．按下列的要求解一元二次方程：
（1）（因式分解法）x2+7x+12=0
（2）（配方法）x2+4x+1=0．
19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．
20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？
23．如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
25． 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2017-2018学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1．cos60°•sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：cos60°•sin60°=×=，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（ ）
A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】首先移项，把﹣81移到等号右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣81=0，
移项得：x2=81，
两边直接开平方得：x=±9，
到x1=9，x2=﹣9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误；
B、∵反比例函数y=﹣中，k=﹣1＜0，∴当x＞0时y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大，故本选项错误．
故选B．[来源:Zxxk.Com]
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目．
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴===，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．
5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【考点】圆周角定理；正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用“上加下减、左加右减”的平移规律进行解答．
【解答】解：将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；
再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；
故选C．
【点评】此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减．
7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】求出根的判别式△的值再进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+7=0中，
△=（﹣5）2﹣4×1×7=﹣3＜0，
所以原方程无实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC的长．
【解答】解：由tanA==，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直线必过圆心
【考点】命题与定理．
【分析】根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断．
【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以A选项错误；
B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以B选项正确；
C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以C选项错误；
D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．
【解答】解：∵xy=4，
∴xy=4，
∴y=（x＞0，y＞0），
当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，
故选：C．
【点评】考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•10•24=240π（cm2），
所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．
【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处
∴AM=A′M，
又∵A′为MN的中点，
∴AM=A′M=A′N，
∵DE∥AC，
∴=，
∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴BC=AC，
∴=
∴AE=2，
∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，
∴∠MAE=30°，
∴AM=，ME=1，
∴DE=2，
∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．
13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4a×3=0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4a×3=0，
解得a=．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D= 90 度．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数．[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补
∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3
设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x
∴2x+3x+4x+3x=360°
∴x=30°
∴∠D=90°．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用．
15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S△ABC：S△DEF=9：16
∴S△DEF=．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC= 6cm ．[来源:学§科§网]
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】由题意可知OD平分BC，OE为△ABC的中位线，根据直径求出半径，进而求出OE的长度，再根据中位线原理即可解答．
【解答】解：∵点D平分，
∴OD平分BC，
∴OE为△ABC的中位线，
又∵⊙O的直径AB=10cm，
∴OD=5cm，DE=2cm，
∴0E=3cm
则弦AC=6cm．
故答案为6cm．
【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．按下列的要求解一元二次方程：
（1）（因式分解法）x2+7x+12=0
（2）（配方法）x2+4x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x+4=0或x+3=0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x+2）2=3，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x+4）（x+3）=0，
x+4=0或x+3=0，
所以x1=﹣4，x2=﹣3；
（2）x2+4x=﹣1，
x2+4x+4=3，
（x+2）2=3，
x+2=±
所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】探究型．
【分析】（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，
∴=6，m=6．
∴反比例函数的解析式为：y2=，
∴=2，a==3，
∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，
∴，
解这个方程组，得
∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；
（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∵点A（1，6），B（3，2），
∴1≤x≤3．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．
20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：在△ADC与△ACB中，
∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AB•AD，
∵AD=2，AB=7，
∴AC2=7×2=14，[来源:学|科|网]
∴AC=．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；
②相似三角形的对应边成比例．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】利用每件利润×销量=3750，进而求出答案即可．
【解答】解：设该玩具的销售单价为x元，则依题意有：[300﹣10（x﹣30）]（x﹣20）=3750
化简得x2﹣80x+1575=0
解这个方程得：x1=35，x2=45
因为利润不得超过原价的100%，
所以x2=45应舍去．
答：该玩具应定价为35元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘以销量，难度不大．
23．如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；
（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2﹣4=0，解得a=1，
所以抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4；
（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，
则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），
所以△ODC的面积=×3×4=6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；[来源:学科网ZXXK]
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．
（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE、OC．
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC=∠OEC．
又∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OEC=90°．
∴∠OBC=90°．
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．
∴BC=．
【点评】此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．
25． 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3．
则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得，解得，
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
∴当x=﹣时，QD有最大值．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
2017-2018学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1．cos60°•sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（ ）
A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3
7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直线必过圆心
10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．
13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D= 度．
15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．
16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC= ．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．按下列的要求解一元二次方程：
（1）（因式分解法）x2+7x+12=0
（2）（配方法）x2+4x+1=0．
19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．
20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？
23．如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
25． 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2017-2018学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1．cos60°•sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：cos60°•sin60°=×=，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（ ）
A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】首先移项，把﹣81移到等号右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣81=0，
移项得：x2=81，
两边直接开平方得：x=±9，
到x1=9，x2=﹣9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误；
B、∵反比例函数y=﹣中，k=﹣1＜0，∴当x＞0时y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大，故本选项错误．
故选B．[来源:Zxxk.Com]
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目．
4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴===，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．
5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【考点】圆周角定理；正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（ ）
A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用“上加下减、左加右减”的平移规律进行解答．
【解答】解：将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；
再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；
故选C．
【点评】此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减．
7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】求出根的判别式△的值再进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+7=0中，
△=（﹣5）2﹣4×1×7=﹣3＜0，
所以原方程无实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC的长．
【解答】解：由tanA==，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直线必过圆心
【考点】命题与定理．
【分析】根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断．
【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以A选项错误；
B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以B选项正确；
C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以C选项错误；
D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．
【解答】解：∵xy=4，
∴xy=4，
∴y=（x＞0，y＞0），
当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，
故选：C．
【点评】考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•10•24=240π（cm2），
所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．
【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处
∴AM=A′M，
又∵A′为MN的中点，
∴AM=A′M=A′N，
∵DE∥AC，
∴=，
∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴BC=AC，
∴=
∴AE=2，
∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，
∴∠MAE=30°，
∴AM=，ME=1，
∴DE=2，
∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．
13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4a×3=0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4a×3=0，
解得a=．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D= 90 度．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数．[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补
∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3
设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x
∴2x+3x+4x+3x=360°
∴x=30°
∴∠D=90°．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用．
15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S△ABC：S△DEF=9：16
∴S△DEF=．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC= 6cm ．[来源:学§科§网]
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】由题意可知OD平分BC，OE为△ABC的中位线，根据直径求出半径，进而求出OE的长度，再根据中位线原理即可解答．
【解答】解：∵点D平分，
∴OD平分BC，
∴OE为△ABC的中位线，
又∵⊙O的直径AB=10cm，
∴OD=5cm，DE=2cm，
∴0E=3cm
则弦AC=6cm．
故答案为6cm．
【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．按下列的要求解一元二次方程：
（1）（因式分解法）x2+7x+12=0
（2）（配方法）x2+4x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x+4=0或x+3=0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x+2）2=3，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x+4）（x+3）=0，
x+4=0或x+3=0，
所以x1=﹣4，x2=﹣3；
（2）x2+4x=﹣1，
x2+4x+4=3，
（x+2）2=3，
x+2=±
所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】探究型．
【分析】（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，
∴=6，m=6．
∴反比例函数的解析式为：y2=，
∴=2，a==3，
∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，
∴，
解这个方程组，得
∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；
（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∵点A（1，6），B（3，2），
∴1≤x≤3．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．
20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：在△ADC与△ACB中，
∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AB•AD，
∵AD=2，AB=7，
∴AC2=7×2=14，[来源:学|科|网]
∴AC=．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；
②相似三角形的对应边成比例．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】利用每件利润×销量=3750，进而求出答案即可．
【解答】解：设该玩具的销售单价为x元，则依题意有：[300﹣10（x﹣30）]（x﹣20）=3750
化简得x2﹣80x+1575=0
解这个方程得：x1=35，x2=45
因为利润不得超过原价的100%，
所以x2=45应舍去．
答：该玩具应定价为35元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘以销量，难度不大．
23．如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；
（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2﹣4=0，解得a=1，
所以抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4；
（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，
则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），
所以△ODC的面积=×3×4=6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；[来源:学科网ZXXK]
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．
（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE、OC．
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC=∠OEC．
又∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OEC=90°．
∴∠OBC=90°．
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．
∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，
∴DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．
∴BC=．
【点评】此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．
25． 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3．
则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得，解得，
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
∴当x=﹣时，QD有最大值．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
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