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山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分
1．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3
3．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
7．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
二、填空题：每小题3分，共15分，只要求填写最后结果
11．如图，在坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ．
12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
13．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）
三、解答题：共55分
16．解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．
18．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
20．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
22．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分
1．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
第二个图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第二个图形共2个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3
【考点】随机事件．
【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故本选项正确；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项错误；
C、在只装了红球的袋子中摸到白球是不可能事件，故本选项错误；
D、掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3是随机事件，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
3．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．
【解答】解：∵C1为OC的中点，
∴OC1=OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴=，B1C1∥BC，
∴=，
∴=，
即=
∴A1B1=2．
故选B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
6．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，
∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
7．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），
根据题意，，
解不等式（1），得m＞0，
解不等式（2），得m＞﹣1；
所以不等式组的解集为m＞0．
故选B．
【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．
[来源:学+科+网]
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数的系数为﹣3＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴图形位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0，
∴图形在二象限，
∴0＜y1＜y2．
故选C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
【考点】正多边形和圆；弧长的计算．
【专题】压轴题．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可．
【解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），
∵AB=BC=3，
∴C点的坐标是（4，4），
∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；
当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，
因而1≤k≤16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理解题意进而求出k的值．
二、填空题：每小题3分，共15分，只要求填写最后结果
11．如图，在坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P（1，﹣1）．
故答案是：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是 ﹣4 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
13．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为 ．
【考点】概率的意义．
【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率．
【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，
∵在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴遇到绿灯的概率为1﹣=；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 4 cm．
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=CE=4cm，
故答案为：4
【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
[来源:学科网ZXXK]
15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 ①②③ （把正确说法的序号都填上）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】结合图象和题意可知，a＜0，b=﹣2a，c＞0，且当x=2时，图象在x轴上方，x=3时，图象在x轴下方，由此即可得出结论．
【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=﹣=1，即b=﹣2a．
将x=0代入二次函数y=ax2+bx+c中得c＞0，
∵a＜0，b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，即①成立，
由抛物线的对称轴为x=1，可知当x=﹣1与x=3时函数值相同，
即a﹣b+c＜0，②成立，
∵b=﹣2a，
∴a﹣b+c=3a+c＜0，③成立，
结合图象可知，当x接近﹣1或3时，图象在x轴下方，即④不成立．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出a＜0，b=﹣2a，c＞0，并结合图象，利用数形结合得出结论．
三、解答题：共55分
16．解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣6x=﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x+32=﹣5+32，即（x﹣3）2=4，
∴x=3±2，
∴原方程的解是：x1=5，x2=1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．[来源:学科网]
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；
（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．
【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，
∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，
在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，
x2=（x﹣8）2+122，
解得：x=13．
（2）∵OM=OB，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M，[来源:学科网ZXXK]
又∠M=∠D，
∴∠D=30°，
在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，
∴OE=4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．
18．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），
则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC=S△ODA+S△ODC即可求出．
【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=•|BO|•|BA|=•（﹣x）•y=，
∴xy=﹣3，
又∵y=，
即xy=k，
∴k=﹣3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；
（2）由y=﹣x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∵A、C在反比例函数的图象上，
∴，解得，，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．
【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．
20．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；
（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【解答】解：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），
所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；
（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴，
∴．
②如图1，，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴=．
故答案为：．
（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得
，
∴BD==．
综上所述，BD的长为4或．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
22．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．
（2）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．
（3）分三种情况讨论：
①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；
②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；
③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=﹣=；（2分）
（2）由抛物线y=ax2﹣5ax+4可知C（0，4），对称轴x=﹣=，
∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（﹣3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）
把点A坐标代入y=ax2﹣5ax+4中，
解得a=﹣，（6）
∴y=x2+x+4．（7分）
（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）
在Rt△ANP1中，P1N====，
∴P1（，﹣）．（9分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．
在Rt△BMP2中MP2==
=
=，（10分）
∴P2=（，）．（11分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，
∴∠P3CK=∠BAQ，∠CKP3=∠AQB，
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．
∴==．[来源:Z&xx&k.Com]
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P3（2.5，﹣1）．（14分）
【点评】此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分
1．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3
3．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
7．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
二、填空题：每小题3分，共15分，只要求填写最后结果
11．如图，在坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ．
12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
13．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 （把正确说法的序号都填上）
三、解答题：共55分
16．解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．
18．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
20．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
22．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
2017-2018学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分
1．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
第二个图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第二个图形共2个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．在只装了红球的袋子中摸到白球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3
【考点】随机事件．
【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故本选项正确；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项错误；
C、在只装了红球的袋子中摸到白球是不可能事件，故本选项错误；
D、掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3是随机事件，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
3．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】位似变换．
【专题】计算题．
【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．
【解答】解：∵C1为OC的中点，
∴OC1=OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴=，B1C1∥BC，
∴=，
∴=，
即=
∴A1B1=2．
故选B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
6．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．
【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，
∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
7．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），
根据题意，，
解不等式（1），得m＞0，
解不等式（2），得m＞﹣1；
所以不等式组的解集为m＞0．
故选B．
【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．
[来源:学+科+网]
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数的系数为﹣3＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴图形位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0，
∴图形在二象限，
∴0＜y1＜y2．
故选C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B．2，π C．， D．2，
【考点】正多边形和圆；弧长的计算．
【专题】压轴题．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可．
【解答】解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），
∵AB=BC=3，
∴C点的坐标是（4，4），
∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；
当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，
因而1≤k≤16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理解题意进而求出k的值．
二、填空题：每小题3分，共15分，只要求填写最后结果
11．如图，在坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P（1，﹣1）．
故答案是：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是 ﹣4 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
13．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为 ．
【考点】概率的意义．
【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率．
【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，
∵在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴遇到绿灯的概率为1﹣=；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 4 cm．
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=CE=4cm，
故答案为：4
【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
[来源:学科网ZXXK]
15．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 ①②③ （把正确说法的序号都填上）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】结合图象和题意可知，a＜0，b=﹣2a，c＞0，且当x=2时，图象在x轴上方，x=3时，图象在x轴下方，由此即可得出结论．
【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=﹣=1，即b=﹣2a．
将x=0代入二次函数y=ax2+bx+c中得c＞0，
∵a＜0，b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，即①成立，
由抛物线的对称轴为x=1，可知当x=﹣1与x=3时函数值相同，
即a﹣b+c＜0，②成立，
∵b=﹣2a，
∴a﹣b+c=3a+c＜0，③成立，
结合图象可知，当x接近﹣1或3时，图象在x轴下方，即④不成立．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出a＜0，b=﹣2a，c＞0，并结合图象，利用数形结合得出结论．
三、解答题：共55分
16．解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣6x=﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x+32=﹣5+32，即（x﹣3）2=4，
∴x=3±2，
∴原方程的解是：x1=5，x2=1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．[来源:学科网]
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；
（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．
【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，
∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，
在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，
x2=（x﹣8）2+122，
解得：x=13．
（2）∵OM=OB，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M，[来源:学科网ZXXK]
又∠M=∠D，
∴∠D=30°，
在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，
∴OE=4．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．
18．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：6500（1﹣x）2=5265，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
则平均每年下调的百分率为10%；
（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为5265×（1﹣10%）=4738.5（元/米2），
则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴张强的愿望可以实现．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC=S△ODA+S△ODC即可求出．
【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=•|BO|•|BA|=•（﹣x）•y=，
∴xy=﹣3，
又∵y=，
即xy=k，
∴k=﹣3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；
（2）由y=﹣x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∵A、C在反比例函数的图象上，
∴，解得，，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD•（|x1|+|x2|）=×2×（3+1）=4．
【点评】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．
20．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；
（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
【解答】解：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），
所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；
（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴，
∴．
②如图1，，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴=．
故答案为：．
（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得
，
∴BD==．
综上所述，BD的长为4或．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
22．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．
（2）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．
（3）分三种情况讨论：
①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；
②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；
③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=﹣=；（2分）
（2）由抛物线y=ax2﹣5ax+4可知C（0，4），对称轴x=﹣=，
∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（﹣3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）
把点A坐标代入y=ax2﹣5ax+4中，
解得a=﹣，（6）
∴y=x2+x+4．（7分）
（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）
在Rt△ANP1中，P1N====，
∴P1（，﹣）．（9分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．
在Rt△BMP2中MP2==
=
=，（10分）
∴P2=（，）．（11分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，
∴∠P3CK=∠BAQ，∠CKP3=∠AQB，
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．
∴==．[来源:Z&xx&k.Com]
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P3（2.5，﹣1）．（14分）
【点评】此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．
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