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山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4
2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0
3．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
10．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 ．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．
14．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ．
16．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣5=0．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为 ．
19．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD的值．
20．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当=时，求sin∠CFP的值．
24．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．
【解答】解：（x+6）2=16，
两边直接开平方得：x+6=±4，
则：x+6=4，x+6=﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断．
【解答】解：A、△=0﹣4×3=﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=4﹣4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、x2+2x+1=0，△=4﹣4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D、x1=﹣3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，
∴小明与小红同车的概率是： =．
故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
故选：D．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米[来源:Z,xx,k.Com]
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC==x，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8米，
∴BC=8﹣3=5米．
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．
9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
10．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D． 170°
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 x1=5，x2= ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]=0，
可得x﹣5=0或3x﹣17=0，
解得：x1=5，x2=．
故答案为：x1=5，x2=[来源:学科网]
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．
∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用数形结合得出图象在x轴下方部分y＜0是解题关键．
13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 14 颗．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，，
解得n=14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
[来源:Zxxk.Com]
14．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 20 L．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【解答】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣•x=10，
解得：x=60（舍去）或x=20．
答：每次倒出20升．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 3+ ．
【考点】解直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
故答案为：3+．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴=．
∵双曲线的解析式是y=，即xy=k
∴S△BOD=S△COE=|k|，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=k=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣5=0．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）原式=2+﹣4×+=2+﹣2+=1；
（2）方程两边同除以4，变形得x2﹣2x=，
配方，得x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=2.5，x2=﹣0.5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
[来源:学_科_网]
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为 π ．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；
（3）利用扇形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）（2）如图：
（3）∵BC=3，
∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为： =π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及图形的平移、旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
19．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据tanB=设AD=5x，AB=3x，证△CDE∽△BDA，得出比例式，求出CE=x，DE=x，求出AE=x，解直角三角形得出即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=，即=，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，
∴△CDE∽△BDA，
∵BD=2CD，
∴===，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=x，
∴tan∠CAD===．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．
20．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画出树状图，
（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解；
（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=；
（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=，传到乙脚下的概率=，
所以球回到乙脚下的概率大．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，
∴B坐标（1，﹣2），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；
（2）设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；
（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
【解答】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=，
∴CP=AP•tan∠PAC=x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×，
∴x+x=15，
解得x=，
∴PB=x=，
∴航行时间：÷30=（小时）．
答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当=时，求sin∠CFP的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；
（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可证得△ABP≌△PGF，继而证得结论；
（3）首先证得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，继而求得答案；
（4）首先作CH⊥PF于H，易证得△PHC∽△PGF，由相似三角形的对应边成比例，可得，然后设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分别求得FC，HC，继而求得答案．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°．
∴∠APB+∠GPF=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠GPF，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABP=∠PGF=90°，
在△ABP与△PGF中，
，
∴△ABP≌△PGF（AAS）．
∴FG=BP；
（3）解：由（2）知AB=PG，
∵AB=BC，
∴BC=PG．
∴BC﹣PC=PG﹣PC．
∴BP=CG，
又∵FG=BP，
∴FG=CG．
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°；
（4）解：如图2，作CH⊥PF于H，
∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，
∴△PHC∽△PGF．
∴，
根据，
设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，
∴PF==5a，CF==3a，
∴．
∴HC=a，
∴sin∠CFP==．
【点评】此题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；
（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面积法可求得BF=2．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（﹣3，﹣4），然后可判断出点B′在抛物线上；
（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标
【解答】解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为y=﹣+x+．
（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．
∵BC⊥x轴，
∴点C的横坐标为5．
∵点C在直线y=﹣2x上，
∴C（5，﹣10）．
∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，
∴B′F=BF．
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．
∵S△OBC=OC•BF=OB•BC，
∴5×BF=5×10．
∴BF=2．
∴BB′=4．
∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，
∴∠B′BE=∠BCF．
又∵∠B′EB=∠OBC=90°，
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．
∴，即．
∴B′E=4，BE=8．
∴OE=BE﹣OB=3．
∴点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．
当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．
所以，点B′在该抛物线上．
（3）存在．
理由：如图所示：
设直线B′C的解析式为y=kx+b，则，解得：
∴直线B′C的解析式为y=．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣）．
∵PD∥BC，
∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，
∴﹣（﹣）=10．．
解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）．
当x=2时， =．
∴当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查的是二次函数综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定，证得Rt△B′EB∽Rt△OBC，从而得到点B′的坐标是解决问题（2）的关键，依据平行四边形的判定定理得到PD=BC，从而列出关于x的方程是解决问题（3）的关键．
2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4
2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0
3．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
10．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 ．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．
14．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ．
16．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣5=0．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为 ．
19．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD的值．
20．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当=时，求sin∠CFP的值．
24．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．
【解答】解：（x+6）2=16，
两边直接开平方得：x+6=±4，
则：x+6=4，x+6=﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+3=0 B．x2+2x=0 C．（x+1）2=0 D．（x+3）（x﹣1）=0
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断．
【解答】解：A、△=0﹣4×3=﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=4﹣4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、x2+2x+1=0，△=4﹣4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D、x1=﹣3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，
∴小明与小红同车的概率是： =．
故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
故选：D．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
8．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米[来源:Z,xx,k.Com]
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC==x，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8米，
∴BC=8﹣3=5米．
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．
9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
10．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D． 170°
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是 x1=5，x2= ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]=0，
可得x﹣5=0或3x﹣17=0，
解得：x1=5，x2=．
故答案为：x1=5，x2=[来源:学科网]
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．
∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用数形结合得出图象在x轴下方部分y＜0是解题关键．
13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 14 颗．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，，
解得n=14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
[来源:Zxxk.Com]
14．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 20 L．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【解答】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣•x=10，
解得：x=60（舍去）或x=20．
答：每次倒出20升．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 3+ ．
【考点】解直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
故答案为：3+．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴=．
∵双曲线的解析式是y=，即xy=k
∴S△BOD=S△COE=|k|，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=k=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣5=0．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）原式=2+﹣4×+=2+﹣2+=1；
（2）方程两边同除以4，变形得x2﹣2x=，
配方，得x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=2.5，x2=﹣0.5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
[来源:学_科_网]
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为 π ．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；
（3）利用扇形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）（2）如图：
（3）∵BC=3，
∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为： =π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及图形的平移、旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
19．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据tanB=设AD=5x，AB=3x，证△CDE∽△BDA，得出比例式，求出CE=x，DE=x，求出AE=x，解直角三角形得出即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=，即=，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，
∴△CDE∽△BDA，
∵BD=2CD，
∴===，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=x，
∴tan∠CAD===．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．
20．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画出树状图，
（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解；
（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=；
（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=，传到乙脚下的概率=，
所以球回到乙脚下的概率大．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，
∴B坐标（1，﹣2），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；
（2）设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；
（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
【解答】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=，
∴CP=AP•tan∠PAC=x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×，
∴x+x=15，
解得x=，
∴PB=x=，
∴航行时间：÷30=（小时）．
答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当=时，求sin∠CFP的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；
（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可证得△ABP≌△PGF，继而证得结论；
（3）首先证得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，继而求得答案；
（4）首先作CH⊥PF于H，易证得△PHC∽△PGF，由相似三角形的对应边成比例，可得，然后设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分别求得FC，HC，继而求得答案．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°．
∴∠APB+∠GPF=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠GPF，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABP=∠PGF=90°，
在△ABP与△PGF中，
，
∴△ABP≌△PGF（AAS）．
∴FG=BP；
（3）解：由（2）知AB=PG，
∵AB=BC，
∴BC=PG．
∴BC﹣PC=PG﹣PC．
∴BP=CG，
又∵FG=BP，
∴FG=CG．
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°；
（4）解：如图2，作CH⊥PF于H，
∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，
∴△PHC∽△PGF．
∴，
根据，
设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，
∴PF==5a，CF==3a，
∴．
∴HC=a，
∴sin∠CFP==．
【点评】此题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；
（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面积法可求得BF=2．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（﹣3，﹣4），然后可判断出点B′在抛物线上；
（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标
【解答】解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为y=﹣+x+．
（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．
∵BC⊥x轴，
∴点C的横坐标为5．
∵点C在直线y=﹣2x上，
∴C（5，﹣10）．
∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，
∴B′F=BF．
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．
∵S△OBC=OC•BF=OB•BC，
∴5×BF=5×10．
∴BF=2．
∴BB′=4．
∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，
∴∠B′BE=∠BCF．
又∵∠B′EB=∠OBC=90°，
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．
∴，即．
∴B′E=4，BE=8．
∴OE=BE﹣OB=3．
∴点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．
当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．
所以，点B′在该抛物线上．
（3）存在．
理由：如图所示：
设直线B′C的解析式为y=kx+b，则，解得：
∴直线B′C的解析式为y=．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣）．
∵PD∥BC，
∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，
∴﹣（﹣）=10．．
解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）．
当x=2时， =．
∴当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查的是二次函数综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定，证得Rt△B′EB∽Rt△OBC，从而得到点B′的坐标是解决问题（2）的关键，依据平行四边形的判定定理得到PD=BC，从而列出关于x的方程是解决问题（3）的关键．
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