2020-2021学年河南省周口市某校初三（上）期末考试数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省周口市某校初三（上）期末考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 下列事件中，必然事件是( )
A.明天太阳从东方升起
B.购买一张彩票，中奖
C.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
D.若a是实数，则|a|>0

3. 顶点为1,−4，开口方向和形状与函数y=2x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A.y=2x−12+4B.y=2x+12+4
C.y=2x−12−4D.y=2x+12−4

4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A.x2−2x+4=0B.x2+2x=0C.x+22+1=0D.x2+5=3x

5. 如图，⊙O被抛物线y=12x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为( )

A.2B.5 C.4D.22

6. 如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，DE//BC．若AD=3，CD=1，AE=4，则BE的长为( )

A.23B.43C.2D.83

7. 若点A−1,y1，B2,y2，C3,y3 在反比例函数y=−m2−1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y1>y3>y2D.y3>y2>y1

8. 如图，∠1=∠2，如果增加一个条件就能使结论AB⋅DE=AD⋅BC成立，那么这个条件可以是( )

A.∠B=∠DB.∠B=∠AED
C.∠C=∠DD.AEAB=ADAC

9. 如图，在等边△ABC中， AC=12，点O在AC上，且AO=4，点P是AB边上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60∘得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是( )

A.7B.8C.9D.10

10. 二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc>0；②b2>4ac；③4a+2b+c>0.
其中正确的是( )

A.①②B.①③C.②③D.①②③
二、填空题

已知关于x的方程a−1xa2+1−5=0是一元二次方程，则a=________.

如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40∘，∠APD=75∘，则∠B=________.


如图，过反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB=2，则k的值为________．


如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________．


已知：△ABC中，E是AB的中点，点F在边AC上， AB=8，AC=10，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长是________.
三、解答题

密闭容器内有一定质量的氧气，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示：

(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；

(2)当V=10m3时，求氧气的密度ρ.

已知关于x的一元二次方程x2−5x+6−m=0.
(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，统计情况如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误.

(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；

(2)为了进一步了解学生对垃圾分类投放的情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，求抽到A和F的概率.

一次数学活动课上，某小组利用直尺和标杆测量学校内旗杆的高度．如图所示，他们在地面一条水平线 MN上立标杆CD，小红站在A点处时，她的视线恰好经过标杆CD的顶端D和旗杆EF的顶端E．经测量小红的眼睛距地面的高度AB=1.55m，标杆CD=3.15m，AC=3.20m，CF=17.65m.

(1)求旗杆EF的高度（结果精确到0.01m）；

(2)据学校领导介绍该旗杆的实际高度为12m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

如图，在△ABC中，AB=AC，BC经过⊙O的圆心O，交⊙O于点D，E，AB，AC是⊙O的切线，点F，G是切点．

(1)求证：BO=CO；

(2)①当∠C=________​∘时，四边形FOCG是平行四边形：
②当四边形AFOG是边长为4的正方形时，BO=________.

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=−6x2+2的图象并探究该函数的性质．

(1)列表，写出表中a，b的值： a=________， b=________；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是________.
①函数y=−6x2+2的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数y=−6x2+2有最小值，最小值是−3；
③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大；
④函数y=−6x2+2与x轴必有两个交点；

(3)已知函数y=−13x−53的图象如图所示，结合所画的函数图象，直接写出不等式−6x2+2<−13x−53的解集．

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG.

(1)填空：BE和DG的数量关系是________，BE和DG的位置关系是________；

(2)把正方形ECGF绕点C旋转，如图(2)，(1)中的两个结论是否成立？如果成立，请仅就图2给予证明；如果不成立，请说明理由；

(3)设正方形ABCD的边长为6，正方形ECGF的边长为52，正方形ECGF绕点C旋转过程中，当A，C，E三点共线时，请直接写出DG的长.

如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标是 −3,0，点C的坐标是 0,−3，点P是抛物线上一动点．

(1)请直接写出抛物线的解析式及点B的坐标：

(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)是否存在点P，使得S△ACP=S△AOC？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省周口市某校初三（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
必然事件
【解析】
必然事件就是一定发生的事件，据此即可判断．
【解答】
解：A，明天太阳从东方升起，是必然事件，选项正确；
B，购买一张彩票，中奖是随机事件，选项错误；
C，随意翻到一本书的某页，页码是奇数是随机事件，选项错误；
D，若a是实数，则a≥0，所以a>0是随机事件，选项错误．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
由抛物线的顶点为1，−4，可设抛物线的解析式为y=ax−12−4，由条件可以得出a=2 ，即可得到答案.
【解答】
解：∵ 抛物线的顶点为1，−4，
∴ 设抛物线的解析式为y=ax−12−4a≠0，
∵ 该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=2x2的图象相同，
∴ a=2，
∴ y=2x−12−4.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
根的判别式
【解析】
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】
解：A，x2−2x+4=0中，Δ=−22−4×1×4=−12<0，方程没有实数根；
B，x2+2x=0中，Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根；
C，x+22+1=0整理为x2+4x+5=0，Δ=42−4×1×5=−4<0，方程没有实数根；
D，x2+5=3x整理为x2−3x+5=0，Δ=(−3)2−4×1×5=−11<0，方程没有实数根.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据AB=4，求出BC的长，得到点B的横坐标，代入抛物线的解析式求出点B的纵坐标，得到OC的长，根据勾股定理求出OB的长，得到答案．
【解答】
解：如图，连接OB，
∵ AB=4，
∴ BC=2，则点B的横坐标为2，纵坐标y=12×22=2，
∴ 点B的坐标为 2,2，
∴ OC=2，
在Rt△OCB中， BC=2， OC=2，
由勾股定理得，OB=22，
即⊙O的半径为22.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
由DE//BC得到ADDC=AEBE，代入数值即可求解.
【解答】
解：∵ DE//BC，
∴ ADDC=AEBE，即31=4BE，
解得BE=43.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
先判断出反比例函数图象在第二，四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而增大判断．
【解答】
解：∵ m2≥0，
∴ m2+1≥1，
∴ −m2−1 ≤−1，
∴ 反比例函数y=−m2−1x的图象位于第二，四象限，
在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵ 2<3，
∴ y2又∵ −1<0，
∴ y1>0，
∴ y1>y3>y2.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
要使AB⋅DE=AD⋅BC成立，需证△ABC∼△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=2D或∠C=∠AED或AEAC=ADAB.
【解答】
解：若这个条件为：∠B=∠D.
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，且∠B=∠D，
∴ △ABC∼△ADE，
∴ AB⋅DE=AD⋅BC；
若这个条件为：∠B=∠AED或∠C=∠D或AEAB=ADAC，
只能证明△ABC∼△AED，即AB⋅DE=AE⋅BC.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
根据AC=12，AO=4，求出OC=8，再根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60∘，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60∘，根据三角形内角和和平角定义得∠AOP+∠APO+∠A=180∘，∠AOP+∠COD+∠POD=180∘，利用等量代换可得∠APO=∠COD，然后证出△AOP≅△CDO，得出AP=CO=8.
【解答】
解：∵ AC=12，AO=4，
∴ OC=8，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠A=∠C=60∘，
∵ 线段OP绕点D逆时针旋转60∘得到线段OD，
∴ OD=OP，∠POD=60∘，
∴ ∠AOP+∠APO+∠A=180∘，∠AOP+∠COD+∠POD=180∘，
∴ ∠AOP+∠APO=120∘，∠AOP+∠COD=120∘，
∴ ∠APO=∠COD.
在△AOP和△CDO中，
∠A=∠C,∠APO=∠COD,OP=OD,，
∴ △AOP≅△CDOAAS，
∴ AP=CO=8.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象与x轴的交点情况确定b2−4ac>0 ，当x=2时，确定代数式的符号．
【解答】
解：∵ 抛物线的开口向下，
∴ a<0.
∵ x=−b2a>0，
∴ b>0.
∵ 抛物线与y轴交于正半轴，
∴ c>0，
∴ abc<0，①错误；
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2>4ac，②正确；
∵ x=2时，y>0，
∴ 4a+2b+c>0，故③正确.
故选C．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据一元二次方程的定义，列得到a−1≠0，且a2+1=2，求得a的值即可．
【解答】
解：∵ 关于x的方程a−1xa2+1−5=0是一元二次方程，
∴ a−1≠0，且a2+1=2，
解得，a=−1.
故答案为：−1.
【答案】
35∘
【考点】
圆周角定理
三角形内角和定理
【解析】
由∠APD=75∘，可知∠BPD的度数，由圆周角定理可知∠A=∠D，故能求出∠B．
【解答】
解：∵ ∠APD=75∘，
∴ ∠BPD=105∘，
由圆周角定理可知∠A=∠D=40∘（同弧所对的圆周角相等），
在△BDP中，∠B=180∘−∠BPD−∠D=35∘.
故答案为：35∘.
【答案】
4
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
根据S△AOB＝2利用反比例函数系数k的几何意义即可求出k值，再根据函数在第一象限有图象即可确定k的符号，此题得解．
【解答】
解：∵ AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2，
∴ S△AOB=12|k|=2，
∴ k=±4.
∵ 反比例函数在经过第一象限，
∴ k=4．
故答案为：4.
【答案】
2π−4
【考点】
扇形面积的计算
正方形的性质
三角形的面积
【解析】
如图，作辅助线；首先求出半圆O的面积，其次求出△ABP的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积＝4(S半圆0−S△ABP)，求出值，即可解决问题．
【解答】
解：如图，连结PA，PB，OP．
则S半圆O=π⋅122=π2，S△ABP=12AB⋅OP=12×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4(S半圆O−S△ABP)
=4(π2−1)=2π−4.
故答案为：2π−4.
【答案】
5或165
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形对应边成比例进行解答．
【解答】
解：分两种情况：
①若△AEF∼△ABC，
则AE:AB=AF:AC，
即48=AF10，
解得：AF=5；
②若△AFE∼△ABC，
则AF:AB=AE:AC,
即：AF8=410，
解得AF=165.
故答案为：5或165.
三、解答题
【答案】
解：(1)设ρ与V的函数解析式为ρ=mV，
将V=4，ρ=3.575代入，得3.575=m4，
∴ m=14.3，
∴ 密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=14.3V．
(2)当V=10时，ρ=14.310=1.43，
即当V=10m3时，氧气的密度是1.43kg/m3．
【考点】
反比例函数的应用
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设ρ与V的函数解析式为ρ=mV，
将V=4，ρ=3.575代入，得3.575=m4，
∴ m=14.3，
∴ 密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=14.3V．
(2)当V=10时，ρ=14.310=1.43，
即当V=10m3时，氧气的密度是1.43kg/m3．
【答案】
解：(1)∵ 方程x2−5x+6−m=0总有两个不相等的实数根，
∴ Δ=−52−4×1×6−m
=4m+1>0，
∴ m>−14．
(2)当x=1时，即12−5×1+6−m=0，
∴ m=2，
当m=2时，
原方程为x2−5x+4=0，
∴ x1=1，x2=4．
∴ m的值为2，方程的另一根是4．
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】


【解答】
解：(1)∵ 方程x2−5x+6−m=0总有两个不相等的实数根，
∴ Δ=−52−4×1×6−m
=4m+1>0，
∴ m>−14．
(2)当x=1时，即12−5×1+6−m=0，
∴ m=2，
当m=2时，
原方程为x2−5x+4=0，
∴ x1=1，x2=4．
∴ m的值为2，方程的另一根是4．
【答案】
解：(1)8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58.
(2)由题意，列表如下：
共有12种情况，抽到A和F的有2种情况， 故概率为16.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）利用列表法可得所有等可能结果．
【解答】
解：(1)8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58.
(2)由题意，列表如下：
共有12种情况，抽到A和F的有2种情况， 故概率为16.
【答案】
解：(1)如图所示，设过B的水平线与CD，EF分别交于G，H．
依题意可知：四边形BACG，GCFH，BAFH均为矩形．
∴ BG=AC=3.20m，GH=CF=17.65m，
BH=AF=AC+CF=3.20+17.65=20.85(m)，
HF=AB=GC=1.55m．
DG=DC−GC=3.15−1.55=1.60(m).
又∵ △BGD∼△BHE，
∴ BGBH=DGEH，
即．
∴ EH=10.425m，
∴ EF=EH+HF=10.425+1.55=11.975≈11.98(m)
∴ 旗杆EF的高度约为11.98m．
(2)误差为12−11.98=0.02m
建议多次测量，取测量数据的平均值．
【考点】
相似三角形的应用
有理数的减法
算术平均数
【解析】


【解答】
解：(1)如图所示，设过B的水平线与CD，EF分别交于G，H．
依题意可知：四边形BACG，GCFH，BAFH均为矩形．
∴ BG=AC=3.20m，GH=CF=17.65m，
BH=AF=AC+CF=3.20+17.65=20.85(m)，
HF=AB=GC=1.55m．
DG=DC−GC=3.15−1.55=1.60(m).
又∵ △BGD∼△BHE，
∴ BGBH=DGEH，
即．
∴ EH=10.425m，
∴ EF=EH+HF=10.425+1.55=11.975≈11.98(m)
∴ 旗杆EF的高度约为11.98m．
(2)误差为12−11.98=0.02m
建议多次测量，取测量数据的平均值．
【答案】
(1)证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∵ AB，AC是⊙O的切线，点F，G是切点，
∴ BF⊥OF，CG⊥OG，
∴ ∠BFO=∠CGO=90∘.
∵ OF=OG，
∴ △BFO≅△CGOAAS，
∴ BO=CO.
45,42
【考点】
切线的性质
全等三角形的性质与判定
平行四边形的判定
勾股定理的应用
正方形的性质
【解析】
(1)利用切线的性质和全等三角形的判定即可证明；
(2)①利用平行四边形的判定进行证明即可；②利用正方形性质和勾股定理进行求解即可。
【解答】
(1)证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∵ AB，AC是⊙O的切线，点F，G是切点，
∴ BF⊥OF，CG⊥OG，
∴ ∠BFO=∠CGO=90∘.
∵ OF=OG，
∴ △BFO≅△CGOAAS，
∴ BO=CO.
(2)解：①若∠C=45∘时，∠FOB=∠COG=45∘，
∴ ∠FOG=90∘，
∴ FO//AC.
∵ OG=OF，
∴ ∠FGO=∠OFG=45∘，
∴ ∠FGO=∠COG=45∘，
∴ FG//CO，
∴ 四边形FOCG是平行四边形.
故答案为：45.
②∵ 四边形AFOG是正方形，
∴ ∠A=90∘.
∵ AB=AC，
∴ ∠B=45∘.
∵ AB是☉O的切线，
∴ ∠BFO=90∘，
∴ ∠BOF=∠B=45∘，
∴ BF=OF=4，
∴ BO=42+42=42.
故答案为：42.
【答案】
−611,−3
①②
(3)不等式−6x2+2<−13x−53表现在图象上，
即函数y=−6x2+2的图象比函数y=−13x−53的图象低，
因此观察图象，即可得到−6x2+2<−13x−53的解集为：x<−4或−2【考点】
函数的图象
不等式的解集
【解析】
(1)令x=−3，可得a=−611；令x=0，可得b=−3，描点、连线，即可得到函数的图象；
(2)结合函数的图象和函数的解析式进行分析即可得到答案；
(3)不等式−6x2+2<−13x−53表现在图象上，即函数y=−6x2+2的图象比函数y=−13x−53的图象低，因此观察图象，即可得到答案.
【解答】
解：(1)函数y=−6x2+2，
令x=−3，可得y=−611，
故a=−611；
令x=0，可得y=−3，
故b=−3，
描点、连线，在画出该函数的图象如下：
故答案为：−611；−3.
(2)由函数的图象可得：
①函数y=−6x2+2的图象关于y轴对称，①正确；
②当x=0时，函数y=−6x2+2有最小值，最小值是−3，②正确；
③自变量x>0时，函数y的值随自变量x的增大而增大；
自变量x<0时，函数y的值随自变量x的增大而减小，③错误；
④由于y=−6x2+2<0恒成立，故函数的图象与x轴不可能有交点，④错误，
故答案为：①②.
(3)不等式−6x2+2<−13x−53表现在图象上，
即函数y=−6x2+2的图象比函数y=−13x−53的图象低，
因此观察图象，即可得到−6x2+2<−13x−53的解集为：x<−4或−2【答案】
BE=DG,BE⊥DG
(2)成立. 理由如下：
∵ 在正方形ABCD和正方形ECGF中，
BC=CD，EC=GC，∠BCD=∠ECG=90∘，
∴ ∠BCE=∠DCG，
∴ △BCE≅DCG(SAS)，
∴ BE=DG，∠BEC=∠DGC.
取GD与CE的交点为H，GD与BE的交点为P.
∵ ∠CGH+∠CHG=90∘，∠EHD=∠CHG,
∴ ∠DHE+∠BEC=90∘，
∴ ∠EPH=90∘，
∴ BE⊥DG.
(3)①当正方形ECGF绕到如图位置时，A，C，E共线，
连接AC，GD，BE，GE，CF，且GE与CF的交点为M.
∵ 在正方形ABCD和正方形ECGF中，
∠ECG=90∘，∠ACB=45∘，∠GCM=45∘，
∴ ∠BCG=45∘，
∴ D，C，M三点共线.
又GE⊥CF，
∴ DG=GM2+DM2.
又GM=12GE=12CG2+CE2=5，
DM=CD+CM=6+5=11，
∴ DG=146;
②当正方形ECGF绕到如图位置时，A，C，E共线，
连接BE，CD，FD，CE，且CE与CD的交点为M，易证CE⊥CD，
∴ DG=MD2+MG2.
∵ MD=6−5=1，
∴ DG=52+12=26.
综上，DG的长为146或26.
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
勾股定理
【解析】
（1）根据已知，利用SAS判定△BCG≅△DCE，全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，因为∠CBG+∠BGC=90∘，所以∠BHE=90∘，得出结论；
【解答】
解：(1)①∵ 四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，
∴ CD=CB，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴ 在△BCE和△DCG中，
CB=CD，∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴ △BCE≅△DCG(SAS),
∴ BE=DG；
②延长DG交BE于点O，
由①知，△BCE≅△DCG，
∴ ∠BEC=∠DGC.
又∠CDG+∠CGD=90∘，
∴ ∠CDG+∠BEC=90∘.
又∠CDG=∠ODE，
∴ ∠ODE+∠OED=90∘，
∴ ∠EOD=90∘，
∴ BE⊥DG.
故答案为：BE=DG；BE⊥DG.
(2)成立. 理由如下：
∵ 在正方形ABCD和正方形ECGF中，
BC=CD，EC=GC，∠BCD=∠ECG=90∘，
∴ ∠BCE=∠DCG，
∴ △BCE≅DCG(SAS)，
∴ BE=DG，∠BEC=∠DGC.
取GD与CE的交点为H，GD与BE的交点为P.
∵ ∠CGH+∠CHG=90∘，∠EHD=∠CHG,
∴ ∠DHE+∠BEC=90∘，
∴ ∠EPH=90∘，
∴ BE⊥DG.
(3)①当正方形ECGF绕到如图位置时，A，C，E共线，
连接AC，GD，BE，GE，CF，且GE与CF的交点为M.
∵ 在正方形ABCD和正方形ECGF中，
∠ECG=90∘，∠ACB=45∘，∠GCM=45∘，
∴ ∠BCG=45∘，
∴ D，C，M三点共线.
又GE⊥CF，
∴ DG=GM2+DM2.
又GM=12GE=12CG2+CE2=5，
DM=CD+CM=6+5=11，
∴ DG=146;
②当正方形ECGF绕到如图位置时，A，C，E共线，
连接BE，CD，FD，CE，且CE与CD的交点为M，易证CE⊥CD，
∴ DG=MD2+MG2.
∵ MD=6−5=1，
∴ DG=52+12=26.
综上，DG的长为146或26.
【答案】
解：1将点A，C的坐标代入函数表达式得：−32−3b+c=0,c=−3,
解得：b=2,c=−3,
故函数的表达式为：y=x2+2x−3；
令y=0，则x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
故点B的坐标为1,0.
2存在，P点坐标为−1,−4或2,5.
理由：若△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，分两种情况：
①当∠ACP=90∘时，
∵ A−3,0，C0,−3，
∴ 直线AC的解析式为y=−x−3.
∵ ∠ACP=90∘，
∴ AC⊥CP.
∴ 设yCP=x+b，且过点C0,−3，
∴ b=−3，
∴ yCP=x−3，
∴ y=x−3,y=x2+2x−3,
解得：x1=0,y1=−1（舍去）或x2=−1，y2=−4，
∴ P−1,−4；
②当∠CAP=90∘时，
∴ 直线AC的解析式为y=−x−3，
∵ ∠CAD=90∘，
∴ CA⊥AP，
∴ 设yAP=x+b1，且过点A−3，0，
∴ b1=3，
∴ yAP=x+3，
∴ y=x+3,y=x2+2x−3,
解得：x1=−3,y1=0（舍去），x2=2,y2=5,
∴ P2,5.
综上所述P的坐标是−1,−4或2,5.
3存在，点P的横坐标是−3+212或−3−212.
理由如下：当OP//AC时，S△ACP=S△AOC恒成立，
∵ OP过点O(0,0)，
∴ 直线OP的解析式为y=−x.
∴ y=−x,y=x2+2x−3,
解得x=−3±212，
即点P的横坐标是−3+212或−3−212；
若点P在AC下方，
则有y=−x−6,y=x2+2x−3,
此时方程无解，
综上，点P的横坐标是−3+212或−3−212.
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数综合题
【解析】
1将点A、C的坐标代入函数表达式，求得b、c的值，即可得到函数解析式，再令y=0，得到x2+2x−3=0，解方程即可得到点B的坐标；
2分∠ACP=90∘、∠CAP=90∘两种情况，分别求解；
3利用三角形的面积公式进行解答即可.
【解答】
解：1将点A，C的坐标代入函数表达式得：−32−3b+c=0,c=−3,
解得：b=2,c=−3,
故函数的表达式为：y=x2+2x−3；
令y=0，则x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
故点B的坐标为1,0.
2存在，P点坐标为−1,−4或2,5.
理由：若△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，分两种情况：
①当∠ACP=90∘时，
∵ A−3,0，C0,−3，
∴ 直线AC的解析式为y=−x−3.
∵ ∠ACP=90∘，
∴ AC⊥CP.
∴ 设yCP=x+b，且过点C0,−3，
∴ b=−3，
∴ yCP=x−3，
∴ y=x−3,y=x2+2x−3,
解得：x1=0,y1=−1（舍去）或x2=−1，y2=−4，
∴ P−1,−4；
②当∠CAP=90∘时，
∴ 直线AC的解析式为y=−x−3，
∵ ∠CAD=90∘，
∴ CA⊥AP，
∴ 设yAP=x+b1，且过点A−3，0，
∴ b1=3，
∴ yAP=x+3，
∴ y=x+3,y=x2+2x−3,
解得：x1=−3,y1=0（舍去），x2=2,y2=5,
∴ P2,5.
综上所述P的坐标是−1,−4或2,5.
3存在，点P的横坐标是−3+212或−3−212.
理由如下：当OP//AC时，S△ACP=S△AOC恒成立，
∵ OP过点O(0,0)，
∴ 直线OP的解析式为y=−x.
∴ y=−x,y=x2+2x−3,
解得x=−3±212，
即点P的横坐标是−3+212或−3−212；
若点P在AC下方，
则有y=−x−6,y=x2+2x−3,
此时方程无解，
综上，点P的横坐标是−3+212或−3−212.
A
C
F
G
A
CA
FA
GA
C
AC
FC
GC
F
AF
CF
GF
G
AG
CG
FG
A
C
F
G
A
CA
FA
GA
C
AC
FC
GC
F
AF
CF
GF
G
AG
CG
FG