高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试练习，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中人教A版（2019）必修第一册第一章
集合与常用逻辑用语
一、单选题
1.设集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|3x﹣4＞0}，则A∩B=（   ）
A. （﹣2，﹣ 43 ）                  B. （﹣2， 43 ）                  C. （1， 43 ）                  D. （2，+∞）
2.命题“∀x∈R ， x2>0”的否定是（     ）
A. ∀x∈R ， x2≤0        B. ∃x∈R ， x2>0        C. ∃x∈R ， x2<0        D. ∃x∈R ， x2≤0
3.设命题p：∃x0∈（0，+∞）， 3x0 A. ∀x∈（0，+∞），3x＜x3                                   B. ∀x∈（0，+∞），3x＞x3
C. ∀x∈（0，+∞），3x≥x3                                    D. ∃x∈（0，+∞），3x≥x3
4.设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（　　）
A. ﹣1＜a≤2                                B. a＞2                               C. a≥﹣1                                D. a＞﹣1
5.下列有关命题的说法中错误的是（    ）
A. 若 p∧q 为假命题,则p、q均为假命题
B. “ x=1 ”是“ x2−3x+2=0 ”的充分不必要条件
C. 命题“若 x2−3+2=0 ,则 x=1 “的逆否命题为：“若 x≠1 ,则 x2−3x+2≠0 ”
D. 对于命题p： ∃x∈R ,使得 x2+x+1<0 ,则 ¬p ： ∀x∈R ,均有 x2+x+1≥0
6.已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(  )
A. a≤－2或a＝1                        B. a≤－2或1≤a≤2                        C. a≥1                        D. －2≤a≤1
7.设 S 是实数集 R 的非空子集，如果 ∀a ,b∈S , 有 a+b∈S ,a−b∈S ，则称 S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是（   ）
A. 存在有限集 S ， S 是一个“和谐集”                
B. 对任意无理数 a ，集合 {x|x=ka,k∈Z} 都是“和谐集”
C. 若 S1≠S2 ，且 S1 ,S2 均是“和谐集”，则 S1∩S2≠∅         
D. 对任意两个“和谐集” S1 ,S2 ，若 S1≠R ,S2≠R ，则 S1∪S2=R
8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①M={（x，y）|y= 1x2 }；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是（   ）
A. ②③④                                B. ①②④                                C. ①③④                                D. ①②③
9.数列{an}满足a1=1，an+1=r•an+r（n∈N* ， r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{an}成等差数列”的（   ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
10.集合 A={−1,0,1} ， B={x|−2 11.已知集合 A={2,4,a2−4a+6} , B={2,a} , A∩B=B ,则实数a的取值的集合为________.
12.给出下列条件p与q：
① p ： x=1 或 x=2 ； q ： x2−3x+2=0
② p ： x2−1=0 ， q ： x−1=0
③ p ：一个四边形是矩形； q ：四边形的对角线相等
其中 p 是 q 的必要不充分条件的序号为________.
13.fx=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1若∃x1 ， x2∈R，x1≠x2 ， 使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是        
14.若集合 A={x|x2+2x−8<0} ， B={x|5−m 15.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2 ， y＝y1+y2 ， （x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的区域的面积为________．
16.设 是非空集合，定义 ={ 且 }，已知 ， ，则 =        ．
17.若不等式 x−m+1x−2m<0 成立的一个充分非必要条件是 13 三、解答题
18.设全集为U={x|x≤4}，A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x（x﹣1）≥0}．
求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）∁U（A∩B）．





19.已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．






20.已知函数 f(x)=4−x+1x−2 的定义域为集合 A ，集合 B={x|2m （1）若 A∩B=A, 求实数 m 的取值范围.
（2）若 (CRA)∪B=R, 求实数 m 的取值范围.






21.已知集合 A={x|x=m2−n2,m,n∈Z} .
（1）判断8、9、10是否属于 A ，并证明；
（2）已知集合 B={x|x=2k+1,k∈Z} ，证明 x∈A 的一个充分不必要条件是 x∈B ；
（3）写出所有满足集合 A 的偶数.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，
B={x|3x﹣4＞0}={x|x＞ 43 }，
则A∩B={x|x＞2}，
故选：D
【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．
2.【答案】 D
【解析】【解答】对于全称命题的否定就是将任意改为存在，并将结论变为否定即可，故可知答案为， ， 选D.
【分析】主要是考查了全称命题和特称命题的关系，属于基础题。

3.【答案】 C
【解析】【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞）， 3x0 则命题p的否定为：∀x∈（0，+∞），3x≥x3 ．
故选：C．
【分析】利用命题p的否定等腰即可得出．
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵A∩B≠∅，

∴A，B有公共元素
∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，
∴a＞﹣1
故选D．
【分析】根据A∩B≠∅，可知A，B有公共元素，利用集合A，B即可确定a的取值范围
5.【答案】 A
【解析】【解答】对于A选项， p∧q 为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可．
对于B项, x=1 可得 x2−3x+2=0 ,反之无法推出,所以“ x=1 ”是“ x2−3x+2=0 ”的充分不必要条件.
对于C项条件,结论否定且互换,正确.
特称命题的否定是全称命题 ,可知D判断正确．
故答案为：A.
【分析】根据命题的真假,充分与必要条件的关系以及命题之间的关系,特称命题的否定为全称命题等逐一判断即可得结果.
6.【答案】 A
【解析】【解答】“由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.故选A.

【分析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q同时为真命题；判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断即可。
7.【答案】 D
【解析】【解答】 S={0} 是有限集且也是“和谐集”，A正确；
任意 x,y∈{x|x=ka,k∈Z} ，则存在 k1,k2∈Z 有 x=k1a,y=k2a ，则 x+y=(k1+k2)a ， x−y=(k1−k2)a 。因为 k1,k2∈Z ，所以 k1+k2∈Z,k1−k2∈Z ，所以 x+y∈{x|x=ka,k∈Z} ， x−y∈{x|x=ka,k∈Z} ，故 {x|x=ka,k∈Z} 是“和谐集”，B正确；
根据“和谐集”的定义可知，任意“和谐集”都包含元素0，所以 0∈S1 ∩S2 ，即 S1 ∩S2≠∅ ，C正确；
S1 ={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z} ，则 S1 ,S2 都是“和谐集”，但 5∉S1∪S2 ，所以 S1∪S2≠R ，D不正确，
故答案为：D
【分析】“和谐集”是指集合中两个元素的和与差也是集合的元素,结合这个定义对各选项判断.
8.【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足： 对于任意A（x1 ， y1）∈M，存在B（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此 OA⊥OB ．所以，若M是“垂直对点集”，
那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．
对于①：M={（x，y）|y= 1x2 }，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，
所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；
对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；
对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），
且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，
过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；
对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，
过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），
则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，
所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．
故选：D．
【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：当r=1时，等式an+1=r•an+r化为an+1=an+1，即an+1-an=1（n∈N*）．
所以，数列{an}是首项a1=1，公差为1的等差数列；
“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分条件；
当r不等于1时，
由 an+1=ran+r=ran+r2r−1−rr−1 ，得： an+1+rr−1=r(an+rr−1) ，
所以，数列{ an+rr−1 }是首项为 1+rr−1=2r−1r−1 ，公比为r的等比数列
所以， an+rr−1=2r−1r−1⋅rn−1 ，
an=r1−r+2r−1r−1⋅rn−1 ．
当r= 时，an=1．{an}是首项为1，公差为0的等差数列．
因此，“r=1”不是“数列{an}成等差数列”的必要条件．
综上可知，“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分但不必要条件．
故答案为：A．

【分析】利用递推公式结合等差数列的定义，用充分条件、必要条件的判断方法推出“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分但不必要条件。
二、填空题
10.【答案】 1
【解析】【解答】 A中仅有 −1∈B ，故 A∩B 中元素的个数为1，填1 .
【分析】对A中元素逐个检验后可得 A∩B 中元素的个数.
11.【答案】 {3,4}
【解析】【解答】当 a=4 时, a2−4a+6=6 ,符合；当 a2−4a+6=a ,解得 a=2 , a=3 ,由集合元素的互异性, a=2 舍去.故 a=4 或 a=3 .
故答案为：{3,4}
【分析】分成 a=4,a=a2−4a+6 两种情况，结合集合元素的互异性，求得 a 的取值的集合.
12.【答案】 ②
【解析】【解答】对于①：由 x2−3x+2=0 得 (x−1)(x−2)=0 ，解得 x=1 或 x=2 ，
p ： x=1 或 x=2 ；所以 p 是 q 的充分必要条件，故①不正确，
对于②：由 x2−1=0 解得： x=±1 ，所以 p ： x=±1 ， q ： x=1
由必要不充分条件的定义可知 p 是 q 的必要不充分条件，故②正确，
对于③：一个四边形是矩形则它的对角线相等， p⇒q ，
一个四边形的对角线相等，但它不一定是矩形， q⇏p
所以 p 是 q 的充分不必要条件，故③不正确，
故答案为：②
【分析】利用必要不充分条件的定义对①②③逐一判断即可得正确答案.
13.【答案】 （﹣∞，2）
【解析】【解答】由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．

分情况讨论：
（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，
即对称轴在x=a2满足a2＜1，
解得：a＜2
（2）x≤1时，f（x）是单调的，
此时a≥2，f（x）为单调递增．
最大值为f（1）=a﹣1
故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，
因此f（x）在R上单调增，不符条件．
综合得：a＜2
故实数a的取值范围是（﹣∞，2）
故答案为：（﹣∞，2）
【分析】若∃x1 ， x2∈R，x1≠x2 ， 使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．
14.【答案】 (−∞,3]
【解析】【解答】由 A={x|x2+2x−8<0}={x|−4 【分析】通过解不等式确定集合A，结合集合间的关系，解不等式组即可求出实数m的取值范围.
15.【答案】 18+π
【解析】【解答】由x＝x1+x2 ， y＝y1+y2 ， 得x1＝x﹣x2 ， y1＝y﹣y2 ，
∵（x1 ， y1）∈A，
∴把x1＝x﹣x2 ， y1＝y﹣y2 ， 代入x2+y2≤1，
∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1
点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，
其面积为：5+6+4+3+π＝18+π
故答案为：18+π．

【分析】转化条件得（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1即点集Q所表示的区域是以集合B表示的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，计算即可得解.
16.【答案】 {x|x>2}
【解析】【解答】 A∪B={x|x≥0},A∩B={x|0≤x≤2},∴A×B={x|x>2} .
故答案为:{ x | x > 2 } .
【分析】先要弄清新定义集合间的运算实质,是两个集合中并集中但不是交集中的元素组成的,由具体的集合A,B由新定义运算得到结果.
17.【答案】 14≤m≤43
【解析】【解答】
试题分析: 因为不等式的 x−m+1x−2m<0 成立的充分非必要条件是 13 {m−1≤132m≥12m>−1 ，解之得： 14≤m≤43 ，当 m−1=2m 即 m=−1 时，不等式 x−m+1x−2m<0 解集为 ϕ ；当 m−1<2m 即 m<−1 时，不等式 x−m+1x−2m<0 解集为 {x|2m 【分析】本题利用p是q的充分不必要条件，利用逻辑推理，求出m的取值范围。
三、解答题
18.【答案】 （1）解：全集为U={x|x≤4}，
A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，
B={x|x（x﹣1）≥0}={x|x≤0或x≥1}；
A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|x≤0或x≥1}={x|﹣2＜x≤0}

（2）解：A∪B={x|﹣2＜x＜1}∪{x|x≤0或x≥1}=R
（3）解：由A∩B={x|﹣2＜x≤0}，
∴∁U（A∩B）={x|x≤﹣2或x＞0}
【解析】【分析】本题整体考查交、并、补集的混合运算，解题过程中借助数轴得出答案更加准确直观.
19.【答案】 解：（1）命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题，

得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x2﹣x）max
得m＞2
即B=（2，+∞）
（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0
①当3a＞2+a，即a＞1时
解集A=（2+a，3a），
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，
∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．
②当3a=2+a即a=1时
解集A=∅ ，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立．
③当3a＜2+a，即a＜1时
解集A=（3a，2+a），若
x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立，
∴3a≥2此时a∈[23,1) ．
综上①②③：a∈[23,+∞) ．
【解析】【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max ， 求出m的范围．

（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A⊆B，求出a的范围．
20.【答案】 （1）解：由 {4−x≥0x−2>0 ，解得 A=(2,4] .
由于 A∩B=A ，故 {2m≤21−m>4 ，解得 m<−3

（2）解： CRA=(−∞,2]∪(4,+∞) ，而 (CRA)∪B=R ，故 {2m≤21−m>4 ，解得 m<−3
【解析】【分析】（1）由已知得到函数定义域的集合A，利用 A∩B=A 列式，即可求出实数 m 的取值范围；
（2）由（1）得到 CRA=(−∞,2]∪(4,+∞) ，利用 (CRA)∪B=R 列式，即可求出实数 m 的取值范围.
21.【答案】 （1）解： ∵8=32−1 ， 9=52−42 ， ∴8∈A ， 9∈A ，
假设 10=m2−n2 ， m 、 n∈Z ，
则 (|m|+|n|)(|m|−|n|)=10 ，且 |m|+|n|>|m|−|n|>0 ，
∵10=1×10=2×5 ， ∴{|m|+|n|=10|m|−|n|=1 ，或 {|m|+|n|=5|m|−|n|=2 ，显然均无整数解， ∴10∉M ，
∴8∈A ， 9∈A ， 10∉A

（2）解： ∵ 集合 B={x|x=2k+1,k∈Z} ，则恒有 2k+1=(k+1)2−k2 ， ∴2k+1∈A ，
即一切奇数都属于 A ，所以， B⊆A ，
又 ∵8∈A ，但 8∉B ，所以， B Ü A ，
因此，“ x∈A ”的一个充分非必要条件是“ x∈B ”；

（3）解：集合 A={x|x=m2−n2,m,n∈Z} ， m2−n2=(m+n)(m−n) 成立，
①当 m 、 n 同奇或同偶时， m+n 、 m−n 均为偶数， (m+n)(m−n) 为4的倍数；
②当 m 、 n 一奇、一偶时， m+n 、 m−n 均为奇数， (m+n)(m−n) 为奇数；
③当 m 、 n 都是偶数时， m+n 、 m−n 均为偶数， (m+n)(m−n) 为4的倍数.
综上所有满足集合 A 的偶数为 4k(k∈Z) .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合元素与集合的关系，从而判断出8、9、10与集合 A 的关系。
（2）利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而证出 x∈A 的一个充分不必要条件是 x∈B 。
（3)利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合奇数与偶数的定义，从而利用元素与集合的关系，进而写出所有满足集合 A 的偶数。