高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试练习

这是一份高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试练习，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中人教A版（2019）必修第一册第二章
一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1.已知实数 x,y 满足 x>y>0 ，且 x+y=1 ，则 2x+3y+1x−y 的最小值为（    ）
A. 103                                  B. 32+2                                  C. 3+22                                  D. 22
2.已知关于 x 的不等式 mx−1x+3>0 的解集为 (m,n) ，则 m+n 的值为（    ）
A. -5                                 B. −103                                 C. -4                                 D. −5 或 −103
3.若正数x、y满足 x+y=xy ，则 x+4y 的最小值等于（    ）
A. 4                                           B. 5                                           C. 9                                           D. 13
4.已知 x>0,y>0，若2yx+8xy>m2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（   ）
A. m≥4或m≤−2               B. m≥2或m≤−4               C. −2 5.设函数 f(x)=mx2−2mx−1 ,若对于 x∈[2,3] , f(x)<−m+4 恒成立,则 m 的取值范围为（    ）
A. (−∞,54)                          B. (−∞,54]                          C. (−∞,45)                          D. (−∞,5)
6.已知 a>0 ，那么 a−2+4a 的最小值是(    )
A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 5
7.若 x>0 ，则函数 y=x+12x+1 的最小值为（   ）
A. 2+12                              B. 2−12                              C. 2+1                              D. 2−1
8.若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（  ）

A. 18                                       B. 6                                       C. 23                                       D. 243
9.函数 f(x)=x−3x+1 的最大值是（   ）
A. 14                                         B. 12                                         C. 22                                         D. 1
10.已知 x>0 ， y>0 ， z>0 ，且 4y+z+1x=1 ，则 x+y+z 的最小值为（   ）
A. 8                                          B. 9                                          C. 12                                          D. 16
二、填空题
11.已知 a>0,b>0,1a+2b=1 ，则 2a+b 的最小值是      .
12.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为 F1(−c,0) ， F2(c,0) ，点O为坐标原点，动点 P(x,y) 满足 |PF1|⋅|PF2|=a2 （ a≥0 且为常数），化简得曲线 E:x2+y2+c2=4x2c2+a4 ．下列四个命题中，正确命题的序号是       ．
（将你认为正确的命题的序号都填上）
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②当 a=c 时， |PO| 的最大值为 2a ；
③ |PF1|+|PF2| 的最小值为 2a ；
④ △F1PF2 面积的最大值为 12a2 ．
13.设 x,y∈R+ 且 1x+4y=2 ，则 x+y 的最小值为________．
14.已知a＞0，b＞0，且4a﹣b≥2，则 1a−1b 的最大值为       ．
15.已知 a>b>0 ,且 ab=4 ,则当 a2+b2a−b 取得最小值时相应的 a−b= ________.
三、解答题
16.已知集合A={x|x2 - 3x - 4＜0}，集合B={x|1-2a＜x＜2a}
（1）求集合A
（2）若A∩B=B，求参数a的取值范围.
17.已知 f(x)=2x2−(a+2)x+a ， a∈R .
（1）解关于 x 的不等式 f(x)>0 ；
（2）若方程 f(x)=x+1 有两个正实数根 x1 ， x2 ，求 x2x1+x1x2 的最小值.
18.已知关于 x 的函数 f(x)=2x2−ax+1(a∈R) .
（Ⅰ）当 a=3 时，求不等式 f(x)≥0 的解集；
（Ⅱ）若 f(x)≥0 对任意的 x∈(0,+∞) 恒成立，求实数 a 的最大值.
19.x>0,y>0,a=x+y,b=x2+xy+y2,c=mxy . 问：是否存在正数m ， 使得对于任意正数 x,y ，可使 a,b,c 为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 2x+3y+1x−y=(2x+3y+1x−y)(x+3y+x−y2)=12[3+2(x−y)x+3y+x+3yx−y]
≥12[3+22(x−y)x+3y⋅x+3yx−y]=3+222 ,
当且仅当 2(x−y)x+3y=x+3yx−y,x=−1+222,y=3−222 时取等号
故答案为：B
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.
2.【答案】 B
【考点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由题设， (mx−1)(x+3)>0 的解集为 (m,n) ，
∴ m<0 ，
当 m<−13 ，则 −3 当 m=−13 ，无解，
当 0>m>−13 ，则 1m 综上， m+n=−103 .
故答案为：B

【分析】首先由一元二次不等式的解法，结合已知条件由m的取值范围，即可得出m与n的值，由此得出答案。
3.【答案】 C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数x、y满足 x+y=xy ，所以 y=xx−1 （ x>1 ），
所以 x+4y=x+4xx−1 =x+4+4x−1 ，令 t=x−1 ， t>0 ，
x+4y=t+5+4t=t+4t+5 ，
由对勾函数 f(t)=t+4t 在 (0,2] 上单调递减，在 [2,+∞) 上单调递增，所以 f(t)min=f(2)=4 ，
所以 x+4y 的最小值为9，此时 x=3,y=32 ．
故答案为：C．
【分析】由 x+y=xy 得 y=xx−1 （ x>1 ），代入 x+4y 后变形，换元后用对勾函数的单调性求解．
4.【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式可得 2yx＋8xy ≥2 16=8  ，
若 2yx＋8xy>m2＋2m 恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2
故答案为：D．
【分析】根据题意结合基本不等式的性质即可求出最小值，再由一元二次不等式的解法求解出m的取值范围即可。
5.【答案】 A
【考点】函数恒成立问题，二次函数的性质，一元二次不等式
【解析】【解答】 ∵ 函数 f(x)=mx2−2mx−1 ,若对于 x∈[2,3] , f(x)<−m+4 恒成立，
∴mx2−2mx−1<−m+4 在 x∈[2,3] 恒成立，
∴ m(x−1)2<5 ，即 m<5(x−1)2 ，
设 g(x)=5(x−1)2 ，
若 m<5(x−1)2 恒成立，只需 m 易知 g(x) 在 x∈[2,3] 单调递减，
所以 g(x)min=g(3)=54 ，
故答案为：A
【分析】由题意采用分离参数化为 m<5(x−1)2 ，求 5(x−1)2 在 x∈[2,3] 上的最小值即可.
6.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意， a>0 ，则 a−2+4a⩾2a×4a−2=4−2=2 ，
当且仅当 a=2 时等号成立，
即 a−2+4a 的最小值是2；
故答案为： B ．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案。
7.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ x>0 ，∴ y=x+12x+1=x+12+12x+12−12≥2−12 （当且仅当 x+12=12x+12 时，即 x=2−12 时，取“=”），所以函数 y=x+12x+1 的最小值为2−12。
故答案为：B.

【分析】利用已知条件借助均值不等式变形求出函数 y=x+12x+1 的最小值。
8.【答案】 B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】因为， 所以， 当且仅当时“＝”成立.故选B.

9.【答案】 A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 x−3=t(t⩾0) ，则 x=t2+3 ，
求函数 f(x)=x−3x+1 的最大值可化为： g(t)=tt2+4 ，
t=0 时， g(0)=0
t>0 ，有 0 当且仅当 t=2 时“ = ”成立，
综上， 0≤g(t)⩽14
f(x)=x−3x+1 的最大值为 14 ，
故答案为：A．
【分析】令 x−3=t(t⩾0) ，则 x=t2+3 ，问题转化为求 g(t)=tt2+4 的最大值，根据基本不等式的性质求出其最大值即可．
10.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 x>0 ， y>0 ， z>0 得， x+y+z=x+(y+z)=[x+(y+z)](4y+z+1x)
=5+4xy+z+y+zx ≥5+24xy+z⋅y+zx=9 ，当且仅当 x=3,y+z=6 时等号成立。
故答案为：B。

【分析】由已知得到x+y+z=[x+(y+z)](4y+z+1x) ， 利用基本不等式即可求出 x+y+z 的最小值.
二、填空题
11.【答案】 8
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 a>0,b>0,1a+2b=1 ，
所以 2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba⋅4ab=8 ，
当且仅当 {ba=4ab1a+2b=1 时，即 a=2,b=4 时取等号.
故答案为：8 ．

【分析】首先整理原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
12.【答案】 ①②④
【考点】基本不等式，两点间的距离公式
【解析】【解答】①：以 −x 代 x ，得： (−x)2+y2+c2=4(−x)2c2+a4⇒x2+y2+c2=4x2c2+a4 ，所以曲线关于纵轴对称；
以 −y 代 y ，得： x2+(−y)2+c2=4x2c2+a4⇒x2+y2+c2=4x2c2+a4 ，所以曲线关于横轴对称；
同时以 −x 代 x ，以 −y 代 y 得：
(−x)2+(−y)2+c2=4(−x)2c2+a4⇒x2+y2+c2=4x2c2+a4 ，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故本命题是真命题；
②：当 a=c 时，
由 x2+y2+a2=4x2a2+a4⇒y2=4x2a2+a4−x2−a2≥0 ，
解得： x2≤2a2 ，
因此有 |PO|2=x2+y2=4x2a2+a4−a2≤4⋅2⋅a2⋅a2+a4−a2=2a2 ，
即 |PO|≤2a ，故本命题是真命题；
③：因为 |PF1|⋅|PF2|=a2 ，
所以当 a>0 时，有 |PF1|+|PF2|≥2|PF1|⋅|PF2|=2a ，
当 a=0 时，显然 P 与 F1(−c,0) ， F2(c,0) 中一点重合，故此时 |PF1|+|PF2|=2c ，
因此本命题是假命题，
④： △F1PF2 面积为： 12|PF1|⋅|PF2|⋅sin∠F1PF2=12a2⋅sin∠F1PF2 ，
当 ∠F1PF2=π2 时， △F1PF2 面积的最大值为 12a2 ，故本命题是真命题，
故答案为：①②④

【分析】①对曲线方程以 −x 代 x ， 以 −y 代 y ， 同时以 −x 代 x ， 以 −y 代 y你进行判断即可；②利用曲线方程求出x的取值范围，结合两点间距离公式进行判断即可；
③ 利用基本不等式进行判断即可；
④利用三角形面积公式，结合题中定义进行判断即可。
13.【答案】 92
【考点】基本不等式
【解析】【解答】 x+y=12(x+y)(1x+4y)=12(5+yx+4xy) ,
因为 x,y∈R+ ，由基本不等式可得 yx+4xy≥24=4 ，
当且仅当 y=2x 即 x=32,y=3 时等号成立，
故 (yx+4xy)min=4 ，故 x+y 的最小值为 92 .
故答案为： 92 .

【分析】由题意可知x+y=12(x+y)(1x+4y)=12(5+yx+4xy) ， 再利用基本不等式可得 x+y 的最小值 。
14.【答案】 12
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，4a≥b+2＞2，a＞ 12 ， 1b ≥ 14a−2 ，
∴ 1a−1b ≤ 1a ﹣ 14a−2
令y= 1a ﹣ 14a−2
则y′=﹣ 1a2 + 4(4a−2)2 = −4(3a−1)(a−1)a2(4a−2)2 ，
∴ 12 ∴a=1时，ymax= 12 ，
∴ 1a−1b ≤ 12 ，
故答案为 12 ．
【分析】由题意，4a≥b+2＞2，a＞ 12 ， 1b ≥ 14a−2 ，可得 1a−1b ≤ 1a ﹣ 14a−2 ，令y= 1a ﹣ 14a−2 ，求导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
15.【答案】 22
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 a>b>0 ,且 ab=4 ,
所以有： a2+b2a−b=(a−b)2+2aba−b=(a−b)+8a−b≥2(a−b)⋅8a−b=42 ,当且仅当
a−b=8a−b 时取等号,即 (a−b)2=8⇒a−b=22 .
故答案为： 22
【分析】根据所给的代数式特征,利用公式 a2+b2=(a−b)2+2ab 进行恒等变形,利用基本不等式的性质可以求出当 a2+b2a−b 取得最小值时相应的 a−b 的值.
三、解答题
16.【答案】 （1）解：由集合 A 知： x2−3x−4=(x+1)(x−4)<0 ，解得 −1 ∴集合 A 为 {x|−1
（2）解：由A∩B=B知： B⊆A ，结合（1）有：
当 B=∅ 时， 1−2a≥2a ，得 a≤14 ；
当 B≠∅ 时， {1−2a≥−12a≤42a>1−2a ，得 14 综上，有 a≤1 .
【考点】集合的包含关系判断及应用，一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用因式分解求一元二次不等式的解集即可；（2）由已知条件可知 B⊆A ，再分类讨论 B=∅ 、 B≠∅ 时求a的范围.
17.【答案】 （1）解：由 f(x)>0 得 (2x−a)(x−1)>0 ，
当 a>2 时，原不等式的解集为 (−∞ ， 1)∪(a2 ， +∞) ，
当 a=2 时，原不等式的解集为 {x|x≠1} ，
当 a<2 时，原不等式的解集为 (−∞ ， a2)∪(1 ， +∞) ；

（2）解：方程 f(x)=x+1 有两个正实数根 x1 ， x2 ，
等价于 2x2−(a+3)x+a−1=0 有两个正实数根 x1 ， x2 ，
∴ {△=(a+3)2−8(a−1)≥0x1+x2=a+32>0x1x2=a−12>0⇒a>1 ，
则 x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(a+32)2a−12−2=12[(a−1)+16a−1]+2
≥2+12·2(a−1)·16a−1=6
当且仅当 a=5 时取等号，
故 x2x1+x1x2 的最小值为6．
【考点】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用，一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而解出关于 x 的不等式 f(x)>0的解集。
（2） 方程 f(x)=x+1 有两个正实数根 x1 ， x2 ，等价于 2x2−(a+3)x+a−1=0 有两个正实数根 x1 ， x2 ，再利用判别式法结合韦达定理，从而求出实数a的取值范围，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 x2x1+x1x2 的最小值 。
 
18.【答案】 解：（Ⅰ）由题意，当 a=3 时，函数 f(x)=2x2−3x+1 ，
由 f(x)≥0 ，即 2x2−3x+1=(x−1)(2x−1)≥0 ，解得 x≥1 或 x≤12 ，
所以不等式 f(x)≥0 的解集为 {x|x≤12或x≥1} .
（Ⅱ）因为 f(x)=2x2−ax+1≥0 对任意的 x∈(0,+∞) 恒成立，即 a≤2x+1x ，
又由 2x+1x≥22x⋅1x=22 ，当且仅当 2x=1x 时，即 x=22 时，取得最小值，
所以 a≤22 ，即实数 a 的最大值为 22 .
【考点】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由 a=3 时，根据 f(x)≥0 ，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由 f(x)=2x2−ax+1≥0 对任意的 x∈(0,+∞) 恒成立，得到 a≤2x+1x ，利用基本不等式求得最小值，即可求解.
19.【答案】 解：x＞0，y＞0，a=x+y，b= x2+xy+y2 ，c=m xy ，
由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，
可得a＞b，
由题意可得要构成三角形，必须
b+c＞a且a+b＞c，
即有 x2+xy+y2 +m xy ＞x+y
且x+y+ x2+xy+y2 ＞m xy ．
由m＜ x+y+x2+xy+y2xy ，
x+y+x2+xy+y2xy ≥ 2xy+2xy+xyxy =2+ 3 ，
当且仅当x=y取得等号．
可得m＜2+ 3 ①
由m＞ x+y−x2+xy+y2xy ，
x+y−x2+xy+y2xy = xy + yx ﹣ xy+yx+1 ，
令u= xy ，则上式为u+ 1u ﹣ u2+1u2+1 ．
可令t=u+ 1u （t≥2），可得上式为t﹣ t2−1 = 1t+t2−1 ，
可得在[2，+∞）递减，可得t﹣ t2−1 ≤2﹣ 3 ，
即有m＞2﹣ 3 ②
由①②可得m的取值范围是（2﹣ 3 ，2+ 3 ）．
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题利用三角形两边之和大于第三边的性质，结合均值不等式求最值的方法求出m的取值范围，注意构造法和换元法的应用，构造相关函数利用单调性求出m的取值范围是解决本题的关键。