初中数学1.1 锐角三角函数巩固练习

浙教版2021年秋季九年级下册：1.1 锐角三角函数 同步练习

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．在中，，若，则的正切值是（ ）

A． B． C． D．2

4．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列各项中正确的是（     ）

A．a＝c·sinB B．a＝c·cosB

C．a＝c·tanB D．以上均不正确

5．在中，，如果，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论中正确的是 (　  　)

A．sin A＝    B．cos A＝    C．sin A＝    D．tan A＝

7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切是（     ）

A．2 B． C． D．

8．如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，，则下列比值中不等于的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．已知是锐角，，则________．

10．ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长_____．

11．已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是____．

12．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，则∠BAD=_______．

13．如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于_________．

三、解答题

14．如图，在Rt中，，求和的值．

15．分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值．

16．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S△ABC＝10，求tanC的值．

17．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．

18．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD．

参考答案

1．B

【分析】

根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．

【详解】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，

∴sin∠B=，

故选B．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

2．D

【分析】

根据三角函数的定义即可求解．

【详解】

解：如图，在Rt△ABC中，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC=4，

∴,

∴，，．

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的意义，熟知三角函数的意义是解题的关键．

3．B

【分析】

根据已知可设，则，根据三角函数的定义从而求出的正切值．

【详解】

解：设，则，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查了是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握正切函数的定义．

4．B

【分析】

作出图形,根据三角函数与直角三角形的边长之间的关系,列出比例即可解题.

【详解】

解：见下图

由三角函数定义可知sinB=,cosB=,tanB=,

∴c·sinB=c·=b, c·cosB= c·=a, c·tanB= c·=,

故选B.

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的边角关系是解题关键.

5．A

【分析】

设，则，根据勾股定理求出b，再利用三角函数定义求解即可；

【详解】

解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，

设，则，结合，得，

可得；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了三角函数定义和勾股定理，准确计算是解题的关键．

6．C

【解析】

试题分析：根据勾股定理可得：AC=，则sinA=，cosA=，tanA=．

考点：三角函数的计算．

7．B

【分析】

过点作于点，过点作于点，则，，利用勾股定理可求出，的长，利用等面积法可求出的长，由勾股定理求出，再利用正切的定义可求出的正切值．

【详解】

过点作于点，过点作于点，则，，如图所示．

，，

在中，由等面积法得：，

即，

，

在中，,

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出长度是解题的关键．

8．D

【分析】

利用锐角三角函数定义判断即可．

【详解】

在中， ,

在中， ,

, ,

,

在中，,

故选：D．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

9．

【分析】

根据设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则，和a2+b2＝c2，

由知，设a＝5x，则b＝12x，

∵a2+b2＝c2

∴c＝13x．

∴．

故答案为：．

【点睛】

求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

10．

【详解】

首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：

∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，， ∴．

∴．

故答案为

11．4

【分析】

根据三角函数的定义，求得的长度，再根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：由三角函数的定义可得：

又∵

∴

由勾股定理得

故答案为4

【点睛】

此题考查了三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义．

12．15°

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=45°,根据∠BAD=∠BAC-∠DAC即可解题.

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，

∴△ACB为等腰直角三角形,

∴∠BAC=45°,

∵∠DAC＝30°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=45°-30°=15°.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质,特殊角的三角函数值,属于简单题,判断等腰直角三角形是解题关键.

13．##

【分析】

设小正方形的边长为1，过C作CD⊥AB于D，求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AB和AC，根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出AD，再求出答案即可．

【详解】

解：设小正方形的边长为1，

过C作CD⊥AB于D，

S△ABC2，

由勾股定理得：AB2，AC2，

∴2CD，

解得：CD，

由勾股定理得：AD，

∴cos∠BAC，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面积是解此题的关键．

14．图（1），，图（2），

【分析】

图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可．

【详解】

解：如图（1），在中，由勾股定理得

．

∴，．

如图（2），在中，由勾股定理得

．

∴，．

【点睛】

本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键．

15．图（1），，，，，；图（2），，，，，；图（3），，，，，

【分析】

先由勾股定理求出每个直角三角形未知的第三边，再由锐角三角函数的定义即可求得两个锐角的各个三角函数值．

【详解】

解：图（1）由勾股定理得：

∴，，，，，；

图（2）由勾股定理得：

，，， ，，；

图（3）由勾股定理得：

，，， ，，；

【点睛】

本题考查了锐角三角函数定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．

16．

【解析】

【分析】

作辅助线,根据AB∶BC＝2∶5，设AB＝2k,BC＝5k,再利用30°角所对直角边等于斜边一半得BD＝k，根据S△ABC＝10，求出k=2,最后利用tanC＝代入边长求值即可.

【详解】

解：如图，过A作AD⊥BC于D，

∵∠B＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∴AB∶BD＝2∶1，

又∵AB∶BC＝2∶5，

∴AB∶BD∶BC＝2∶1∶5，

设AB＝2k，则BD＝k，BC＝5k(k＞0)，

∴AD＝k，

∵S△ABC＝10，

∴BC·AD＝10，即·5k·k＝10，

∴k＝2，

∴AD＝2，CD＝BC－BD＝10－2＝8，

tanC＝＝＝.

【点睛】

本题考查了三角函数的应用,勾股定理,中等难度,熟悉三角函数的表示,作辅助线构造直角三角形是解题关键.

17．，，

【分析】

根据正弦、余弦、正切的定义求解即可；

【详解】

中，，，，

，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．

18．sin∠ACD，cos∠ACD，tan∠ACD．

【分析】

先得到∠B=∠ACD，根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得∠B即∠ACD的三角函数值．

【详解】

解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠B+∠BCD =∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD，

Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

AC=，

∴sin∠ACD=sinB=，

cos∠ACD=cosB=，

tan∠ACD= tanB=．

【点睛】

本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键．