2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）_(带答案解析).docx
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2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
| 一、 选择题（共12题） |
1. 已知集合，集合，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是
A. B. C. D.
4. 调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为
A.个 B.个 C.个 D.个
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A. B. C. D.
6. 在中，，，则
A.
B.
C.
D.
7. 已知数列为等比数列，满足；数列为等差数列，其前项和为，且，则
A. B. C. D.
8. 已知双曲线，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点右侧的点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为
A.
B.
C.
D.
9. 某几何体的三视图如图所示其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是
A.
B.
C.
D.
11. 若函数，，，，则
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数，若方程为常数有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
| 二、 填空题（共4题） |
13. 部分与整体 以某种相似 的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为__．
14. 已知，满足约束条件，则的最小值为__．
15. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为，则椭圆的方程为__．
16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__．
| 三、 解答题（共7题） |
17. 在中，，，，为线段上的一点，为的中点．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，求的长度．
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ若，为线段的中点，求三棱锥的体积．
19. 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量单位：毫克，质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
产品质量毫克
| 频数
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Ⅰ由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？
| 甲流水线
| 乙流水线
| 总计
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合格品
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不合格品
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总计
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附表：
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参考公式：
Ⅱ按照以往经验，在每小时次品数超过件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在单位：百件产品中，得到次品数量单位：件的情况汇总如表所示：
百件
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件
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根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产件的任务？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；
20. 已知抛物线的焦点为，点在上，的中点坐标为．
Ⅰ求抛物线的方程；
Ⅱ若直线与抛物线相切于点异于原点，与抛物线的准线相交于点，证明：．
21. 已知函数，，为自然对数的底数．
Ⅰ当时，证明：函数只有一个零点；
Ⅱ若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围．
22. 直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．
Ⅰ求曲线的普通方程和极坐标方程；
Ⅱ已知直线与曲线和曲线分别交于和两点均异于点，求线段的长．
23. 已知函数，．
Ⅰ若，解不等式；
Ⅱ对任意，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】
【解析】
利用交集定义直接求解．
集合，
集合，
．
故选：
2. 【答案】
【解析】
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标得答案．
由，
得．
则复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第一象限．
故选：．
3. 【答案】
【解析】
先阅读题意，再结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是，得解
由题意有：农民采摘的果实的个数是，
故选：．
4. 【答案】
【解析】
利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求解．
在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：
该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；
在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：
该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的，故②正确；
在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，
无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．故③错误．
故选：．
5. 【答案】
【解析】
由流程线循环次，输出．
初始值，，是，
第一次循环：，，是，
第二次循环：，，是，
第三次循环：，，是，
第四次循环：，，否，输出．
故选：．
6. 【答案】
【解析】
由平面向量的基本定理得：：，得解
，
故选：．
7. 【答案】
【解析】
利用等比数列通项公式求出，从而，再由，能求出结果．
数列为等比数列，满足，
，
解得
数列为等差数列，其前项和为，且，
，
．
故选：．
8. 【答案】
【解析】
由三角形的面积比等于相似比的平方，可得，即可求出渐近线方程．
由三角形的面积比等于相似比的平方，
则，
，
，
的渐近线方程为，
故选：．
9. 【答案】
【解析】
根据三视图知该几何体是一正方体，截去两个相同的圆柱体，结合图中数据求出几何体的体积．
根据三视图知，该几何体是棱长为的正方体，截去两个半径为的圆柱体，如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积为
．
故选：．
10. 【答案】
【解析】
根据图象确定，同时确定函数的周期和，利用五点法求出的值即可得到结论．
由图象知函数的最大值为，
即，
即，
即，
由五点对应法得，
得，得，
故选：．
11. 【答案】
【解析】
可以得出，从而得出，同样的方法得出，从而得出，，的大小关系．
，，
；
，且；
．
故选：．
12. 【答案】
【解析】
求出当时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数的图象，由数形结合进行求解即可．
当时，函数，
由得得，得，
由得得，得，
即当时，函数取得极大值，
极大值为，
当时，，
作出函数的图象如图：
要使为常数有两个不相等的实根，
则或，
即实数的取值范围是，
故选：．
二、 填空题
13. 【答案】
【解析】
由归纳推理得：设图中个小阴影三角形的面积为，则图中阴影部分的面积为：，又图中大三角形的面积为，
由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为，得解
设图中个小阴影三角形的面积为，
则图中阴影部分的面积为：，
又图中大三角形的面积为，
由几何概型中的面积型可得：
此点取自阴影部分的概率为，
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】
作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．
作出，满足约束条件对应的平面区域如图：
由，得表示，斜率为纵截距为的一组平行直线，
平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，
由，解得，
此时．
故答案为：．
15. 【答案】
【解析】
利用已知条件列出方程，求解，即可得到椭圆方程．
椭圆的离心率为，可得．
，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，
当直线垂直于轴时，四边形的面积为，
，解得，．，
解得，
则椭圆的方程为：．
故答案为：．
16. 【答案】
【解析】
分别计算出四棱锥的体积和表面积，利用公式计算出该四棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．
四棱锥的体积为，
如下图所示，
易证，，，，
所以，四棱锥的表面积为，
所以，四棱锥的内切球的半径为，
因此，此球的最大表面积为．
三、 解答题
17. 【答案】在中，由正弦定理可得，，
，
，且，
，
；
中，由可得，，
，
，
中，由余弦定理可得，，
，
．
【解析】见答案
18. 【答案】Ⅰ证明：取的中点，连接，
为等边三角形，，
平面，平面平面，平面平面，
平面，
平面，，
底面为正方形，，
，平面，
又平面，平面平面；
Ⅱ解：由Ⅰ知，平面，
到平面的距离．
底面为正方形，，
又平面，平面，
平面，
，两点到平面的距离相等，均为，
又为线段的中点，
到平面的距离．
由Ⅰ知，平面，
平面，，
．
【解析】本题列出平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
Ⅰ取的中点，连结，说明通过平面平面，证明平面得到，结合证明平面，即可证明平面平面．
Ⅱ求出到平面的距离说明，两点到平面的距离相等，均为求出利用求解即可．
19. 【答案】Ⅰ由乙流水线样本的频率分布直方图可知：
合格品的个数为：，
故列联表是：
| 甲流水线 | 乙流水线 | 总计 |
合格品 | | | |
不合格品 | | | |
总计 | | | |
故，
故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关；
Ⅱ由已知可得：，
，
，
，
由回归直线的系数公式得：
，
故，
故，
当时，，符合题意，
故按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产件的任务．
【解析】见答案
20. 【答案】Ⅰ抛物线的焦点为，点在上，的中点坐标为，
可得，
可得：，
解得：．
则的方程为：．
证明：Ⅱ由，可得，
设点，则直线的方程为，即，
令，得
，
，
．
【解析】见答案
21. 【答案】Ⅰ由题知：令，．
当，，所以在上单调递减．
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故只有一个零点．
Ⅱ由Ⅰ知：不合题意．
当时，因为，；，．
又因为，所以；又因为．
因为函数．
所以，即．
所以存在，满足．
所以．
此时存在两个极值点，，符合题意．
当时，因为，；，；
所以；所以，即在上单调递减，
所以无极值点，不合题意．
综上可得：．
【解析】见答案
22. 【答案】Ⅰ因为曲线的参数方程为为参数，
所以的普通方程为①，
在极坐标系中，将代入①得，
化简得，的极坐标方程为：②
Ⅱ因为直线的极坐标方程为，
且直线与曲线和和曲线分别交于，，可设，，
将代入②得，
将代入曲线得．
所以．
【解析】见答案
23. 【答案】Ⅰ时，函数，
①当时，，
不等式可化为，
解得，所以；
②当时，，
不等式可化为，
解得，所以；
当时，，
不等式可化为，
解得，所以；
综上，不等式的解集为或；
Ⅱ因为，
所以，
对任意，恒成立，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】见答案
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